中考数学一轮复习专题2.9 实数章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.9 实数章末拔尖卷（北师大版）（解析版），共19页。

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）在数轴上，点A表示的数为−1，点B表示的数为2，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（ ）
A．2−1B．2−12C．−2−2D．−22−1
【答案】C
【分析】首先根据数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为2，可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为2，
∴BA=2−−1=2+1，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴BA=AC，
设点C表示的数为x，则2+1=−1−x，
∴x=−2−2；
∴点C的坐标为：−2−2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是实数与数轴的关系，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
2．（3分）（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）已知3既是a+5的平方根，也是7a−2b+1的立方根，则关于x的方程ax−22−9b=0的解是（ ）．
A．x=12B．x=72C．x=43或83D．x=12或72
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的概念可得a+5=9，7a−2b+1=27，求解可得a=4，b=1，然后带入原方程，利用平方根解方程即可．
【详解】解：根据题意，3既是a+5的平方根，也是7a−2b+1的立方根，
可得a+5=32=9，7a−2b+1=33=27，
解得a=4，b=1，
则关于x的方程ax−22−9b=0即为4x−22−9=0，
∴(x−2)2=94，
∴x−2=±32，
解得 x=12或x=72．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．
3．（3分）（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）若m=27+3−8，则m的取值范围是（ ）
A．1【答案】C
【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可．
【详解】解：m=27+3−8=27−2，
∵25<27<36，
∴5<27<6
∴3故选C．
【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键．
4．（3分）（2023春·湖南·八年级期末）已知x，y为实数，且y=x2−9−9−x2+4，则x−y=（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【答案】C
【详解】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵y=x2−9−9−x2+4，
∴x2−9≥0，9−x2≥0
∴x2−9=0
∴y＝4，
∴x=±3，
当x=3,y=4时，x−y=3−4=−1；
当x=−3,y=4时，x−y=−3−4=−7；
∴x−y=−1或x−y=−7，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
5．（3分）（2023春·山东·八年级校联考期中）若7的小数部分是a，则a2+4a的值为（ ）
A．1B．4−27C．3D．12
【答案】C
【分析】根据题意得出a的值，然后化简计算原式即可．
【详解】解：∵4<7<9，
∴2<7<3，
∴a=7−2，
∴a2+4a
=(7−2)2+4×(7−2)
=7−47+4+47−8
=3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数大小估算的方法是解题的关键．
6．（3分）（2023春·山东威海·八年级统考期中）化简二次根式 a−a+2a2的结果是（ ）
A．−a−2B．－−a−2C．a−2D．－a−2
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】∵a−a+2a2∴a+2<0∴a<−2
∴a−a+2a2=a−a−2a2=a•−a−2−a=−−a−2
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
7．（3分）（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值x为16时，输出y值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值y为3时，输入值x为9
D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，16=4，4=2，即y=2，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
8．（3分）（2023春·福建厦门·八年级统考期中）实数x,y,z在数轴上的对应点的位置如图所示，若z+yA．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】解：根据数轴可知x①若原点的位置为A点时，x＞0，则z+y=z+y，x+y=x+y，x+y∴z+y>x+y，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，x<0,y>0,z>0,|z|>|x|,|z|>|y|，
则|x+y|<|y|或|x+y|<|x|，z+y=|z|+|y|，
∴z+y>x+y，舍去；
③若原点的位置为D点时，x<0,y<0,z>0,|y|>|z|
则|x+y|<|y|+|x| z+y<|y|，
∴z+y∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
9．（3分）（2023春·湖南永州·八年级统考期末）设S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+1992+11002，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
【答案】B
【分析】由1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1，代入数值，求出S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002=99+1-1100，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵1+1n2+1(n+1)2
=n2n+12+n2+n+12nn+1
=1+n+n22nn+1
=1+n+n2n(n+1)
=1+1n−1n+1，
∴S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+ …+1+1992+11002
=1+11−12+1+12−13+⋯+1+199−1100
=99+1−1100
=100-1100，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1是解答本题的基础．
10．（3分）（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( ).
A．1B．−1C．22002D．−22001
【答案】B
【分析】由原式得2x−12=1994，得4x2−4x+1=1994，原式变形后再将4x2−4x+1=1994代和可得出答案.
【详解】∵x=1+19942，
∴2x−12=1994，即4x2−4x−1993=0，
∴4x3−1997x−1994=x4x2−4x−1993+4x2−4x−1993−1=−1．
∴原式=−12019=−1．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）若最简二次根式x−1x+y与4x−2y是同类二次根式，则xy2= ．
【答案】92
【分析】由同类二次根式的定义可知x−1=2，x+y=4x−2y，从而可求得x、y的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式x−1x+y与4x−2y是同类二次根式，
∴x−1=2，x+y=4x−2y．
解得：x=3，y=3．
∴ xy2=92．
故答案为：92．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得到关于x、y的方程组是解题的关键．
12．（3分）（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱长的 倍．
【答案】3
【分析】设正方体A的棱长是a，正方体B的棱长是b，根据题意得出a3=27b3，根据立方根的定义得出a=3b，即可求解．
【详解】解：设正方体A的棱长是a，正方体B的棱长是b，
依题意得：a3=27b3，
∴a=3b，
即正方体A的棱长是正方体B的棱长的3倍.
故答案为：3
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
13．（3分）（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知n是正整数，51+n是整数，则n的最小值为 ．
【答案】13
【分析】根据当51+n是最小的完全平方数时，n最小，从而得出答案．
【详解】解：∵72=49，82=64，
∴51+n=64，
∴n=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了二次根式，掌握算术平方根与平方的关系是解题的关键．
14．（3分）（2023春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1a值为 ．
【答案】6−2+1
【分析】运用完全平方公式化简，后估算法确定整数部分和小数部分，最后分母有理化计算即可．
【详解】∵3+5−3−5
=6+252−6−252
=5+122−5−122
=5+12−5−12
=1+12=2，且1＜2＜2，a为3+5−3−5的小数部分，
∴a=2−1；
∵6+33−6−33
=12+632−12−632
=3+322−3−322
=3+32−3−32
=232=6，且2＜6＜3，b为6+33−6−33的小数部分，
∴b=6−2；
∴2b−1a=26−2−12−1=6+2−2−1
=6−2+1，
故答案为：6−2+1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化，二次根式的加减运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质，无理数的估算，分母有理化是解题的关键．
15．（3分）（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）将1、2、3、4……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：
①（6，6）表示的数是 ；
②若2021在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ．
【答案】 31 125
【分析】观察式子，得到如下规律，第n排的个数为(2n−1)个，前n排的总数为n2个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
【详解】解：观察式子可得，
第1排的个数为2×1−1=1，前1排的总数为1=12，
第2排的个数为2×2−1=3，前2排的总数为4=22，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为2×3−1=5，前3排的总数为9=32，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为2×4−1=7，前4排的总数为16=42，从右到左依次增大排列，
……
第n排的个数为(2n−1)个，前n排的总数为n2个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
（6，6）表示第6排从左向右第6个数
前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大，
第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数，
所以（6，6）表示的数为25+6=31；
因为442=1936<2021，452=2025>2021
所以2021是在第45排，即x=45
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为2021−1936=85，所以y=85
将x=45，y=85代入(2x−y)3得(2x−y)3=(90−85)3=125
故答案为：31，125
【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律．
16．（3分）（2023春·河北保定·八年级统考期中）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，则：
（1）较小正方形的边长为 ．
（2）设两处空白部分的面积分别为S1，S2，
①S1 S2；（填>， <或=）
②若S1+S2=230−6，则正方形内部较大的正方形面积为 ．
【答案】 10 = 12
【分析】（1）根据面积和算术平方根的定义可求解；
（2）先求得重叠部分正方形的的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的长，最后求出较大正方形的边长即可求出面积．
【详解】解：（1）∵较小的正方形面积为10，
∴较小正方形的边长为10，
故答案为：10；
（2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴S1=S2；
②由①得，∴重叠部分也为正方形，
∵重叠部分的面积为3，
∴重叠部分的边长为3，
∴一个空白长方形的宽为10−3，
∵空白部分的面积为230−6，
∴一个空白长方形面积为30−3，即310−3，
∴一个空白长方形的长为310−310−3=3，
∴较大正方形边长为3+3=23，
∴大正方形面积=232=12，
故答案为：①=；②12．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·河南信阳·八年级统考期末）计算：
(1)75÷3−0.5×12−24；
(2)2−32+2−3×3．
【答案】(1)5+6
(2)2−6
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）原式 =25−6−26
=5+6
（2）原式 =2−32−3+3
=2−3⋅2
=2−6
【点睛】本题考查的是二次根式混合运算，熟知二次根式的运算法则是解答此题的关键．
18．（6分）（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．
（1）求S阴=_______________．
（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．
【答案】（1）10；（2）见解析
【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，据此作图即可．
【详解】解：（1）S阴=4×4−12×1×3×4=10，
故答案为：10；
（2）边长为13的正方形，则面积为(13)2=13，
则每个三角形的面积为14(5×5−13)=3，
则作图如下：
.
【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长．
19．（8分）（2023春·河北邯郸·八年级校考期中）已知a+3的立方根是2，b−1的算术平方根为3，c2=16．
(1)分别求a，b，c的值；
(2)若c<0，求3a−b+c的平方根．
【答案】(1)a=5，b=10，c=±4，
(2)±1
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的含义先求解a，b，c，从而可得答案；
（2）先求解3a−b+c，再求解平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+3的立方根是2，b−1的算术平方根为3，
∴a+3=8，b−1=9，
解得：a=5，b=10，
∵c2=16，
∴c=±4；
（2）∵c<0，则c=−4，
∵a=5，b=10，
∴3a−b+c=15−10−4=1，
∴3a−b+c的平方根是±1；
【点睛】本题考查的是平方根，算术平方根，立方根的含义，熟记基本概念是解本题的关键．
20．（8分）（2023春·山东临沂·八年级统考期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m(1)无理数5的“近整区间”是_________；无理数−10的“近整区间”是_________；
(2)实数x，y满足关系式：y=x−2023+2023−x，求x+y的算术平方根的“近整区间”．
【答案】(1)2,3；−4,−3；
(2)44,45
【分析】（1）根据“近整区间”的定义，确定5和−10介于哪两个整数之间，即可得到答案；
（2）根据算术平方根被开方数大于等于0，求得x=2023，y=0，进而得到x+y的算术平方根为2023，即可求出其“近整区间”．
【详解】（1）解：∵22=4<5<9=32，
∴2<5<3，
∴无理数5的“近整区间”是2,3；
∵32=9<10<16=42，
∴3<10<4，
∴−4<−10<−3，
∴无理数−10的“近整区间”是−4,−3，
故答案为：2,3；−4,−3；
（2）解：∵y=x−2023+2023−x，
∴x−2023≥0，2023−x≥0，
∴x=2023，y=0，
∴x+y的算术平方根为2023，
∵442=1936<2023<452=2025，
∴44<2023<45，
∴x+y的算术平方根的“近整区间”是44,45．
【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法，正确理解“近整区间”的定义是解题关键．
21．（8分）（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
(1)由103=1000，1003=1000000，可以确定359319是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定359319的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27，43=64，由此可以确定、59319的十位上的数字是______；
(2)已知32768，−274625都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根．
【答案】(1)两，9，3；
(2)32，−65；
【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；
（2）按照题给方法，依次推算即可；
【详解】（1）∵103=1000,1003=1000000
∴359319 是两位数
∵59319 的个位上的数是 9
∴359319 的个位上的数字是 9
∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ，33=27,43=64
∴359319 的十位上的数字是 3
故答案是：两，9，3 ；
（2）①求 32768 的立方根
∵1000<32768<1000000
∴32768 的立方根是两位数
∵32768 个位数是 8
∴32768 的立方根个位数是 2
∵33<32<43
∴32768 的立方根十位数是 3
综合可得 32768 的立方根是 32
②求−274625立方根
∵1000<274625<1000000
∴274625 的立方根是两位数
∵274625 个位数是 5
∴274625 的立方根个位数是 5
∵63<274<73
∴274625的立方根十位数是6
∴274625的立方根65
∴−274625的立方根是−65
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围．
22．（8分）（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）经研究发现：30=2×3×5，由于30没有大于1的平方约数，因此30a为有理数的条件是正整数a=30t2（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得30a=12，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足a≤b≤c．当30a+30b+30c=1时，称a,b,c为“三元数组”．
①若a,b,c为“三元数组”，且a=b=c，则a=b=c=________；
②若a,270,c为“三元数组”，且a≠c，则a=________，c=________；
③“三元数组”共有_________个．
【答案】(1)120
(2)①270；②a=120，c=1080；③3
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）①由a=b=c可得30a=30b=30c=13，即可解答；
②设a=30t2，c=30m2（t，m为正整数而且t③设a=30x2，b=30y2，c=30z2（x，y，z为正整数而且x【详解】（1）解：∵30a=12，
∴30a=(12)2，
∴a=120，
故答案为：120；
（2）①∵a=b=c，
∴30a=30b=30c，
又∵30a+30b+30c=1，
∴30a=30b=30c=13，
∴30a=(13)2，
∴a=b=c=270，
故答案为：270，
②∵b=270，
∴30a+30270+30c=1，
∴30a+30c=23，
设a=30t2，c=30m2（t，m为正整数而且t∴3030t2+3030m2=23，即1t+1m=23，
∵12+16=23，
∴1t=12，1m=16，
∴t=2，m=6，
∴a=120，c=1080；
故答案为：120，1080；
③设a=30x2，b=30y2，c=30z2（x，y，z为正整数而且x∵30a+30b+30c=1，
∴3030x2+3030y2+3030z2=1，
∴1x+1y+1z=1，
又∵1x≥1y≥1z
∴1x≥13，1z≤13，
当1x=13时，1x=1y=1z=1，此时x=y=z=3，a=b=c=270，
当1x=12，∴1y+1z=12，∴12>1y≥14，
当1y=13时，同②，a=120，b=270，c=1080；
当1y=14时，1z=14，a=120，b=480，c=480；
综上所述：“三元数组”共有3个．
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将30a+30b+30c=1转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．
23．（8分）（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：12×3+13×4+14×5=12−13+13−14+14−15=12−15=310．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：12+1=2−12+12−1=2−1，13+2=3−23+23−2=3−2．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：110+9=______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子1n+n−1=______．
(3)利用根式裂项求解：12+1+13+2+14+3+⋯+12023+20222023+1．
【答案】(1)10−9
(2)n−n−1
(3)2022
【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可；
（2）根据题中材料进行总结，即可得出答案；
（3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可．
【详解】（1）解：110+9=10−9(10+9)(10−9)=10−9；
故答案为：10−9．
（2）解：1n+n−1=n−n−1(n+n−1)(n−n−1)=n−n−1；
故答案为：n−n−1．
（3）解：原式=2−1+3−2+4−3+⋯+2023−20222023+1
=2023−12023+1
=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简.