中考数学一轮复习专题1.6 特殊平行四边形章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

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参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·江苏苏州·九年级校考期中）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （ ）
A．AB＝ADB．OA＝OBC．AC＝BDD．DC⊥BC
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、AB＝AD，则▱ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；
B、OA＝OB，根据平行四边形的对角线互相平分，AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确；
C、AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD是矩形，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.
2．（3分）（2023春·河南新乡·九年级统考期末）如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）

A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断
【答案】B
【分析】先证明四边形ABCD为平行四边形，过点A作AE⊥BC,AF⊥CD，证明△ABE≌△ADF，得到AB=AD，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC,AF⊥CD，

由题意，得：AD∥BC,AB∥CD,AE=AF，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形；
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握邻边相等的平行四边形是菱形，是解题的关键．
3．（3分）（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）如图，四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线BF交AD于点G，连接CG，若∠BCG=30°，AG=4，则菱形ABCD的面积为（ ）

A．16B．83C．123D．12
【答案】B
【分析】由作图可知：BF⊥AD，再根据菱形的性质可得AD∥BC,AB=BC=AD，从而可得BF⊥BC，然后设BG=x，利用勾股定理可得BC=3x，最后在Rt△ABG中，利用勾股定理求出BG的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：BF⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,AB=BC，
∴BF⊥BC，
设BG=x，
∵在Rt△BCG中，∠BCG=30°，
∴CG=2BG=2x,BC=CG2−BG2=3x，
∴AB=3x，
在Rt△ABG中，AG2+BG2=AB2，即42+x2=3x2，
解得x=22（负值已舍去），即：BG=22，
∴AB=3x=3×22=26，
∴AD=26，
∴菱形ABCD的面积为AD⋅BG=26×22=83；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、基本作图—作垂线、含30度角的直角三角形，勾股定理，通过作图方法，得到BF⊥AD，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
4．（3分）（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为1，2，3，四个正方形的面积从左到右依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）

A．10B．8C．6D．4
【答案】A
【分析】将已知的等腰直角三角形翻折得到正方形，运用勾股定理可知，每两个相邻得正方形面积和等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，已知的等腰直角三角形翻折得到正方形，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDEAAS，
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2=1，
同理可得S3+S4=9，
∴ S1+S2+S3+S4=10
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，运用全等三角形的判定及性质，勾股定理，发现两个小正方形的面积和是之间的等腰直角三角形的面积的两倍是解题的关键．
5．（3分）（2023春·河北邯郸·九年级统考期末）如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．24B．36C．72D．144
【答案】C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝12EF＝12×8＝4，
由勾股定理得，AO＝AE2−OE2＝52−42＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝12BD•AC＝12×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
6．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠FAE+∠EPC的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
【答案】C
【分析】作PH⊥BC交BC的延长线于H，证明CP是∠DCH的角平分线，由∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH即可解决问题．
【详解】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△ADF≌△BAEASA，
∴DF=AE，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴DF=PE，DF∥PE，∠DFE=∠DPE，
∴AE⊥PE，AE=PE，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°，
∴∠BAE=∠PEH，
∵∠ABE=∠H=90°，AE=PE，
∴△ABE≌△EHPAAS，
∴PH=BE，AB=EH=BC，
∴BE=CH=PH，
∴∠PCH=45°，
∵∠DCH=90°，
∴∠DCP=∠PCH，
∴CP是∠DCH的角平分线，
∴点P的运动轨迹是∠DCH的角平分线，
∵∠BAE=∠PEH，
∴∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH，
而∠PCH=12∠DCH=45°，
∴∠FAE+∠EPC一直不变，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、余角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及得到点P的运动路线是解答的关键．
7．（3分）（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第四中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，如果AB=3,AD=4，那么( )

A．PE+PF=125B．125