中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共7页。

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\l "_Tc17462" 【题型1 不等式的定义】 PAGEREF _Tc17462 \h 1
\l "_Tc27332" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc27332 \h 2
\l "_Tc6460" 【题型3 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc6460 \h 2
\l "_Tc20188" 【题型4 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc20188 \h 3
\l "_Tc13462" 【题型5 根据不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc13462 \h 3
\l "_Tc21124" 【题型6 根据不等式的性质比较大小】 PAGEREF _Tc21124 \h 4
\l "_Tc8855" 【题型7 根据不等式的解集求字母取值范围】 PAGEREF _Tc8855 \h 4
\l "_Tc12091" 【题型8 根据不等式的性质求式子取值范围】 PAGEREF _Tc12091 \h 5
\l "_Tc25450" 【题型9 根据不等式的性质求最值】 PAGEREF _Tc25450 \h 5
\l "_Tc1661" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc1661 \h 5
\l "_Tc13460" 【题型11 利用不等式性质证明不等式】 PAGEREF _Tc13460 \h 6
【知识点1 认识不等式】
用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
【题型1 不等式的定义】
【例1】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）下列式子：x−1≥1；2x+2；−2<0；x−12y=0；x+2y≤0．其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-1】（2023春·八年级统考课时练习）某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克
B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克
D．每100克内含钙不超过150毫克
【变式1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是( )
A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人
C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人
【变式1-3】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：<表示不小于；>表示不大于，≫表示远大于；≪表示远小于等．下列选项中表达错误的是（ ）
A．2<2B．−1>0C．100≫1D．−2≪−99
【题型2 取值是否满足不等式】
【例2】（2023秋·八年级课时练习）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：
（1）x=−2是不等式的一个解；
（2）−2，−1，0都是不等式的解；
（3）不等式的正整数解只有1，2，3；
（4）不等式的非正整数解只有−2，−1，0；
（5）不等式的解中不含0．
【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）x=3是下列不等式（ ）的一个解．
A．x+1<0B．x+1<4C．x+1<3D．x+1<5
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）下列各数中，能使不等式12x−2<0成立的是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【变式2-3】（2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．x=2是不等式3x>5的一个解B．x=2是不等式3x>5的唯一解
C．x=2是不等式3x>5的解集D．x=2不是不等式3x>5的解
【题型3 在数轴上表示不等式】
【例3】（2023秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式( )
A．x＞－2B．x＜－2C．x≥－2D．x≤－2
【变式3-1】（2023春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝ 2 ．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
(1)x≥－3；(2)x＞－1；(3)x≤3；(4)x<－32.
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，412，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？
【题型4 根据实际问题列出不等式】
【例4】（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）用不等式表示：x的2倍与y的34的和不大于5，正确的是（ ）
A．2x+34y>5B．2x+34y≥5C．2x+34y≤5D．2x+34y≤5
【变式4-1】（2023春·河南周口·八年级校考期中）据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为14°C，最低气温为6°C，则当天气温t°C的变化范围是 ．
【变式4-2】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）某校女子100m跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的100m成绩为t秒，则用不等式表示为 ．
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ．
【知识点2 不等式的基本性质】
性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.
性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
若a＞b，则a±c＞b±c.
性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc
【题型5 根据不等式的性质判断正误】
【例5】（2023秋·湖北鄂州·八年级校考期末）下列说法中，错误的个数为( )
①若a>b，则a+c>b+c；
②若a>b，则ac>bc；
③若a>b，则ac2>bc2；
④若a>b，c>d，则ac>bd；
⑤若aA．2个B．3个C．4个D．5个
【变式5-1】（2023·四川南充·八年级校考期末）若m＞n，则下列不等式不成立的是（ ）
A．m-2＞n-2B．a-m＞a-nC．ma2+1>na2+1D．-m5 ＜-n5
【变式5-2】（2023春·山东威海·八年级统考期末）设x，y，z是实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x>y，则xz>yzB．若xC．若xy，则x−z>y−z
【变式5-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如果4x−1<4y−1，那么下列不等式正确的是（ ）
A．5x<5yB．−2x<−2yC．3x−1>3y−1D．2x+1>2y+1
【题型6 根据不等式的性质比较大小】
【例6】（2023春·上海普陀·六年级校考期中）比较大小：如果ac>bc，c<0时，那么a b；如果ab>1，b<0，那么a b．
【变式6-1】（2023春·北京大兴·八年级统考期末）比较5a−3b−3a2−2b与5a+3b+1的大小，并说明理由．
【变式6-2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）比较7a与4a的大小关系是（ ）
A．7a<4aB．7a=4aC．7a>4aD．不能确定
【变式6-3】（2023秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）若a−b>0，则a>b；若a−b=0，则a=b；若a−b<0，则a(1)试比较代数式5m2−4m+2与4m2−4m−7的值之间的大小关系；
(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等，试用等式的性质比较a，b的大小关系．
(3)已知12m−13n−1=12n−13m，试用等式的性质比较m，n的大小关系．
【题型7 根据不等式的解集求字母取值范围】
【例7】（2023·安徽合肥·八年级统考期末）不等式（2a-1）x＜2（2a-1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜12C．a＜−12D．a＞−12
【变式7-1】（2023春·福建泉州·八年级校考期末）若xa−2y，则a的取值范围是 ．
【变式7-2】（2023春·广西南宁·八年级统考期末）若关于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＜﹣1
【变式7-3】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）若x>y，且(a+3)x<(a+3)y，求a的取值范围 ．
【题型8 根据不等式的性质求式子取值范围】
【例8】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知x−y=5，且x>3,y<0，则x+y的取值范围是（ ）
A．1【变式8-1】（2023春·河南漯河·八年级统考期末）已知−1A．12<1−12x≤1B．−32<1−12x≤1
C．1≤1−12x≤32D．1≤1−12x<32
【变式8-2】（2023春·上海杨浦·六年级校考期中）已知2a+3b+c=0,a>b>c，求2−3ca的取值范围？
【变式8-3】（2023春·四川德阳·八年级统考期末）若6a=2b−6=3c，且b≥0，c≤2，设t=2a+b−c，则t的取值范围为 ．
【题型9 根据不等式的性质求最值】
【例9】（2023春·安徽六安·八年级校考阶段练习）若a+b=−2，且a≥2b，则（ ）
A．a有最小值43B．b有最小值为−23C．ab有最大值2D．ab有最小值−23
【变式9-1】（2023·甘肃天水·校联考一模）若x+y=3，x≥0，y≥0，则2x+3y的最小值为（ ）
A．0B．3C．6D．9
【变式9-2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）若a，b，c，d为整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜100，则a可能取的最大值是（ ）
A．2367B．2375C．2391D．2399
【变式9-3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知实数aa≥0，b满足a−23=1−b2，若m=a+3b，则m的最大值为（ ）
A．9B．7C．5D．72
【题型10 不等关系的简单应用】
【例10】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）P , Q , R , S四个小朋友玩跷跷板，结果如图所示，则他们的体重大小关系为（ ）
A．R【变式10-1】（2023春·八年级课时练习）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A．a+b2>c+d2B．a+b2【变式10-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．
例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．
（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；
（2）已知：t＝4abc（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足4a与bc的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．
【变式10-3】（2023春·重庆渝北·八年级统考期末）中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委组织义务植树活动，让七、八、九三个年级的学生到某苗圃为本年级的种植点选购树苗，购买树苗的钱由学校统一支付．该苗圃共有a种树苗可供选择，每种树苗分别有大、中、小三类树苗，且每种树苗大、中、小三类的单价分别为80元/棵、10m元/棵、10n元/棵，其中3≤n【题型11 利用不等式性质证明不等式】
【例11】（2023春·全国·八年级专题练习）【阅读】在证明“如果a>b>0，c<0，那么a2+bc>ab+ac”时，小明的证明方法如下：
证明：∵a>b>0，
∴a2> ． ∴a2+bc> ．
∵a>b，c<0，
∴bc> ． ∴ab+bc> ．
∴a2+bc>ab+ac．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a>b，②ab ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
【变式11-1】（2023春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【变式11-2】（2023春·全国·八年级专题练习）请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知n>0，求证: m−12n证明:因为−12<−15，又因为n>0，根据不等式基本性质2，得−12n<−15n，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得m−12n仿照上例，证明下题：已知x<0，求证2x−5y>3x−5y．
【变式11-3】（2023春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求证：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜−1．