河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份河南省南阳市六校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了已知数列满足，，则，已知数列满足，设数列的前项和为，已知，，则等内容，欢迎下载使用。

命题学校：社旗一高 审题学校：方城五高
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知在等差数列中，，，则
A.0B.6C.8D.10
2.已知数列为递减的等比数列，且，，则的公比为
A.B.C.D.
3.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图，该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的是
A.变量与负相关
B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C.变量与有较强的线性相关性
D.若选择模型二，的图象不一定经过点
4.已知数列满足，，则
A.B.C.D.
5.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是
A.20B.21C.26D.27
6.某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数
A.B.C.D.
7.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为
A.16B.18C.24D.36
8.已知数列满足：，，则所有可能的取值之和是
A.6B.7C.9D.17
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是
A.
B.时，的最小值为2023
C.有最大值
D.时，的最大值为4045
10.设数列的前项和为，已知，，则
A.B.
C.数列是等比数列D.数列是等比数列
11.已知数列满足，，则下列说法正确的是
A.当时，数列是递减数列B.当时，数列是等差数列
C.当时，D.当时，数列存在最小值
12.将个数排成行列的一个数阵，如下图所示，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有
A.B.
C.D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.设正项等比数列满足，，则的最大值为______.
14.某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则______0（填“>”或“<”）.
15.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.
16.若表示自然数的最大奇因数，例如，，，记（为自然数），则______.，的通项公式为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据。爬虫软件在互联网上爬行并采集目标数据，这个过程类似于一只大蜘蛛在互联网上爬行，因此得名“爬虫”.现有某电商运营部门为分析消费能力与性别的关系，使用爬虫软件了解到，2023年第4季度在本店网购的消费者共12000名，现随机抽取100名消费者，其中男女各半.若消费者总消费金额不低于3000元，则称其为网购达人.男性消费者中，网购达人占.网购达人中，男性消费者占.
（1）请完成答题卡上的列联表；
（2）认为是否为网购达人与性别有关犯错误的概率不超过，那么根据临界值表最精确的的值应为多少？请说明理由.
参考公式：，其中
参考数据：
18.（本小题满分12分）
在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
数列满足，，当时，，，成等差数列.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列满足，记，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）
如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（精确到0.01）加以说明；
（2）建立关于的回归方程（精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：参考数据：，，，.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.
22.（本小题满分12分）
已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，为数列的前项和，且恒成立，求的最大值.
2024年春期六校第一次联考
高二年级数学参考答案
1.【答案】A
【解析】在等差数列中，，得，公差，
所以.故选：A.
2.【答案】C
【解析】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，的公比.故选：C.
3.【答案】D
【解析】对于A，由散点图可知随年份的增大而增大，所以变量与正相关，所以A错误；
对于B，由散点图可知变量与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，C错误；
对于D，若选择模型二：，令，则的图象经过点，不一定过，故正确，故选：D.
4.【答案】B
【解析】由，得，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以，.故选：B.
5.【答案】B
【解析】交点个数依次构成数列1，3，6，10…，即，，，，由此猜想，所以.故选：B.
6.【答案】D
【解析】由题可知，假设甲令为，所以，，所以，
，改为正确数据时得，
，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得.故选：D
7.【答案】A
【解析】由题意可得，
即①，
②，
且等差数列满足，
①②两式相加得，代入求和公式可得，
，解得.故选：A.
8.【答案】C
【解析】若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；
若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；
若为偶数，则由可得，若为奇数.
故或8综上，取值之和为9，故选：C.
9.【答案】CD
【解析】对于A：由可得，，，
故等差数列的公差，故A错误；
对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，，故时，的最小值为2024，故B错误；
对于C：由A得，，故是关于的二次函数，图像开口方向向下，有最大值，没有最小值，故C正确；
对于D：因为数列的前2023项均为正数，且，，时，的最大值为4045，故D正确.
故选：CD.
10.【答案】ABD
【解析】对于A，，所以，A正确；
对于B，因为，所以，所以，所以，于是，B正确；
对于C，，但不满足，故不是等比数列，C错误；
对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为5的等比数列，D正确.
故选：ABD.
11.【答案】BC
【解析】选项A，当时，，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，，数列递增，故A错误；
选项B，当时，，故，即，所以数列是等差数列，故B正确；
选项C，当时，，，所以是公差为1的等差数列，又，所以，所以，故C正确；
选项D，当时，，，则是首项是1，公差为的等差数列，，则，则，所以为递减数列且当趋近于无穷大时，趋近于负无穷，故无最小值，D错误.故选：BC.
12.【答案】ACD
【解析】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则，所以选项D是正确的，故选：ACD.
13.【答案】64
【解析】设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或4时，取得最大值.
14.【答案】<
【解析】画出散点图如下：
从而可以看出中，.
15.【答案】
【解析】两个等差数列和的前项和分别为和，且，可得.故答案为：.
16.【答案】（第一空2分，第二空3分）22 ，
【或答4 ，也得分】
【解析】
第一种答案：
由题意，表示的最大奇因数，可得
，，，，，，，，
可得，
，
，
可猜想时，，
证明如下：
因为
当时，
.
即，
所以，，，…，，
可得，
当时，也成立，
所以，
第二种答案：
，
17.【答案】
（1）
（2）认为是否为网购达人与性别有关系出错的可能性大约有.
【解析】
（1）由题意可得男性消费者50人，女性消费者50人，男性消费者网购达人有人，
则男性消费者中非网购达人有人，则网购达人共有人，
则女性消费者中网购达人有人，女性消费者中非网购达人有.
故得列联表如下：
（2）由（1）可得，，
因为，认为是否为网购达人与性别有关系犯错的概率不超过.
18.【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）在等比数列中，，且，
所以，，即，则，
因为2是与的等比中项，所以，，
因为数列是递减数列，则，则，所以，，
所以，，
所以，；
（2）因为，
当时，，.
当时，，
.
综上所述，.
19.【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）①，
当时，②，
两式①②得：，
当时，，符合上式，
所以；
（2）令，所以，
故，
，
两式相减得，，
故
20.【答案】
（1）证明见解析；
（2）
【解析】
（1）由题意知，，即，，
则，，又，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
则
，
又当时，符合上式，
；
（2）由（1）得，
21.【答案】
（1）答案见解析
（2），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨
【解析】
（1），
，
，
因为正向趋近1，所以说明这组样本数据的线性相关程度很强；
（2）由（1）可知：，
，
，所以
当时，，
所以关于的回归方程为，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨
22.【答案】
（1），，，.
（2）10
【解析】
（1）根据数列的递推式，采用两式相减的方法可求得其通项公式，根据，可证明数列为等比数列，即可求得其通项公式.
（2）利用（1）的结果可求得的通项，继而求得，将恒成立，化为，即，结合数列的单调性，即可求得答案.
（1）因为①，
当时，；
当时，②.
①②可得，
所以时.
经检验，符合上式，所以，
对于，由题意可得，，当，，所以
时，，则，
即，，因为，，符合上式，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，；
（2）因为，
所以
，
则，
恒成立，等价于，
化简得，即即可.
令，则，
若，则，
即时，数列单调递增；又因为，，所以，
即，可得的最大值为104.8
5.8
7
8.3
9.1
2.8
4.1
7.2
9.1
11.8
性别
网购达人
非网购达人
合计
男性
女性
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
网购达人
非网购达人
合计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
合计
50
50
100
性别
网购达人
非网购达人
合计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
合计
50
50
100