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2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破）（原卷版）
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这是一份2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第6章 反比例函数（知识归纳+题型突破）（原卷版），共13页。
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
题型一 反比例函数的定义及有关概念
【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练：
1．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
5．如果是反比例函数，那么的值是 ．
题型二 反比例函数的图像与性质
【例2】关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第一、三象限B．函数图像经过点
C．函数图像过，则D．函数图像关于原点成中心对称
巩固训练：
1．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点B．函数图像位于第一、三象限
C．函数值随着的增大而增大D．当时，
4．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ．
5．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ．
6．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ．
7．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是( )．
A． B． C． D．
题型三 反比例函数有关的面积问题
【例3】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（ ）
A．4B．C．8D．
巩固训练：
1．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．
3．点，是反比例函数上关于原点对称的任意两点，平行于轴，交轴于点，平行于轴，交轴于点，设四边形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ）
A．3B．6C．12D．24
5．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点A在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点A作交轴于点，点在直线上，连接，．若的面积为4.5，则的值为 ．
题型四 反比例函数与不等式
【例4】．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像；
(2)结合图像，直接写出不等式组的解集_________．
(3)把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积．
巩固训练：
1．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．
(1)直接写出的值以及，的坐标；
(2)根据图象直接写出：当时x的取值范围；
(3)求的面积．
题型五 反比例函数的图像与性质的综合分析
【例5】．已知点与点在反比例函数的图象上，( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
巩固训练：
1．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型六 反比例函数的实际应用
【例6】．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．
(1)当气体的体积为时，它的压强是多少？
(2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？
题型七 反比例函数综合解答题
【例7】．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
巩固训练：
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求b与m的值；
(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，
两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直线分别交x轴、y轴于两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出的平分线，交直线于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②求出点P的坐标．
3．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
4．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．
(1)__________________．直线的表达式为__________________
(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．
5．【探索发现】
如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段上取点I，使得为，则______．
【拓展应用】
如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接．
（1）如图3，当轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______．
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
时间x(天)
3
5
6
8
……
硫化物的浓度
4
2.4
2
1.5
……
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.
一、反比例函数的概念
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
要点：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.
二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点：
观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；
②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.
注：正比例函数与反比例函数，
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
（4）反比例函数y＝中的意义
①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
题型一 反比例函数的定义及有关概念
【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练：
1．下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ）
A．被除数（不为零）一定，除数与商B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量
C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间
3．下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知关于x的反比例函数，则m的值为 ．
5．如果是反比例函数，那么的值是 ．
题型二 反比例函数的图像与性质
【例2】关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第一、三象限B．函数图像经过点
C．函数图像过，则D．函数图像关于原点成中心对称
巩固训练：
1．在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．若点，，是反比例函数图像上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图像经过点B．函数图像位于第一、三象限
C．函数值随着的增大而增大D．当时，
4．反比例函数的图象上有一点，当，则的取值范围是 ．
5．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ．
6．在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ．
7．在函数(m为常数)的图象上有三个点，，，则函数值的大小关系是( )．
A． B． C． D．
题型三 反比例函数有关的面积问题
【例3】如图，过双曲线上任意一点分别作轴，轴的垂线，，交轴、轴于点、，所得矩形的面积为8，则的值是（ ）
A．4B．C．8D．
巩固训练：
1．函数与的图象如图所示，点C是y轴上的任意一点．直线平行于y轴，分别与两个函数图象交于点A、B，连接．当从左向右平移时，的面积是 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．
3．点，是反比例函数上关于原点对称的任意两点，平行于轴，交轴于点，平行于轴，交轴于点，设四边形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点是反比例函数图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则k的值（ ）
A．3B．6C．12D．24
5．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点A在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点A作交轴于点，点在直线上，连接，．若的面积为4.5，则的值为 ．
题型四 反比例函数与不等式
【例4】．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像；
(2)结合图像，直接写出不等式组的解集_________．
(3)把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积．
巩固训练：
1．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴和轴分别交于，两点，过点作轴于点，连接，，且．
(1)直接写出的值以及，的坐标；
(2)根据图象直接写出：当时x的取值范围；
(3)求的面积．
题型五 反比例函数的图像与性质的综合分析
【例5】．已知点与点在反比例函数的图象上，( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
巩固训练：
1．已知点，，在反比例函数的图象上，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则（ ）
A．1B．C．D．2
3．在同一坐标系中，若正比例函数与反比例函数的图象没有交点，则与的关系，下面四种表述：①；②；③；④或．正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型六 反比例函数的实际应用
【例6】．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强．
(1)当气体的体积为时，它的压强是多少？
(2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？
题型七 反比例函数综合解答题
【例7】．如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出不等式的解集．
巩固训练：
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求b与m的值；
(2)为x轴上一点，连接AP，当的面积为9时，求a的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过，
两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直线分别交x轴、y轴于两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出的平分线，交直线于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②求出点P的坐标．
3．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
4．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．
(1)__________________．直线的表达式为__________________
(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．
5．【探索发现】
如图1，四边形、、都是边长为1的正方形，
在下列角中：①∠DAF，②，③，④，试确定与图中的和为45°的角有______．（填写对应序号）
【问题解决】
如图1，在线段上取点I，使得为，则______．
【拓展应用】
如图2，反比例函数和的图象分别是和．射线交于点A，射线交于点B，且，连接．
（1）如图3，当轴时，
①求点A的坐标；
②在y轴上找一点P，使得时，直接写出点P的坐标______．
（2）在如图，将绕点O旋转，射线始终在第一象限，在旋转的过程中，直接写出的面积为时点A的坐标______．
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，二、四象限
，一、三象限
，二、四象限
增减性
，随的增大而增大
，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大
时间x(天)
3
5
6
8
……
硫化物的浓度
4
2.4
2
1.5
……
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