第04讲 解三角形（练习）-2024年高考数学一轮复习练习（新教材新高考）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 解三角形
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在中，若，则一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】由及余弦定理得：，即.
故选：D
2．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，所以，
由于,
故选：A
3．（2023·辽宁·校联考二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
由，得，所以.
故选：C.
4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在处分别测得雕塑最高点的仰角为和，且，则该雕塑的高度约为（ ）（参考数据）

A．4.93B．5.076C．6.693D．7.177
【答案】A
【解析】在中，结合图形可知，，由正弦定理得：
，
在中，；
故选：A
5．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理可得，且，
由余弦定理可得：.
故选：C．
6．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在中，，
由正弦定理得，可得，
过点作，可得
所以.
故选：D.

7．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由得，
由得，
故，
股癣：A
8．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由及正弦定理，可得．
由，可得．
又，∴．
又，解得，则，
∴B为钝角，C为锐角．
∴，．
故，
∴．
故选: A.
9．（多选题）（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b，B．，，
C．a，，D．，，b
【答案】ACD
【解析】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；
故选：ACD.
10．（多选题）（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】在中，若，由三角形中大边对大角，可得，又由正弦定理，可知，故A选项正确；
又由余弦函数在上单调递减，可知，故B选项正确；
由和，当时，，所以，故C选项错误；
由，，由A选项可知正确，故D选项正确.
故选：ABD
11．（多选题）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
12．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】ABC
【解析】由，及，
得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，
即或，解得或.
故选：ABC
13．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】由正弦定理得，
因为，所以，即，可得.
因为，所以，得，解得.
，化简得，
由正弦定理､余弦定理，得，化简得，
由正弦定理可得，得，因此外接圆的面积为.
故答案为：
14．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.
【答案】2
【解析】由题意得，，，
即，即，
因为，所以，
故，故.
故答案为：2
15．（2023·上海嘉定·校考三模）在中，已知，则角的大小为__________.
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
16．（2023·陕西西安·统考一模）在中，，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
由余弦定理.
故答案为：.
17．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，.
(1)若，求；
(2)若，点在边上，且平分，求的面积.
【解析】（1）因为，
则，，
又，，则，
又，所以，
则.
（2）由（1）知，则，
由得，
即，
则，即，解得，
所以的面积.
18．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数.
(1)求；
(2)若的面积为且，求的周长.
【解析】（1），因为，
所以，解得；
（2）在中，由（1）可得，
∵，即，
因为，则，
由正弦定理可得即，
由余弦定理得
∴，则，
∴三角形周长.
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知.
(1)求的面积；
(2)若，求.
【解析】（1）由题意得，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，则，又，
则，所以，则；
（2）由正弦定理得，
所以，
则或（舍去），所以.
20．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在中，角是锐角，角所对的边分别记作，满足，.
(1)求；
(2)若，求的值.
【解析】（1）因为，
又，所以，
又因为角是锐角，即，所以，
所以，故；
（2）因为，
又，所以，
因为，，
由正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，，得，
因为，所以
所以，即，
因为，所以，
所以.
1．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则 ．
【答案】．
【解析】，，，
由余弦定理得，，
又，
，
．
故答案为：．
2．（2022•甲卷（理））已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
【答案】．
【解析】设，，
在三角形中，，可得：，
在三角形中，，可得：，
要使得最小，即最小，
，
其中，此时，
当且仅当时，即或（舍去），即时取等号，
故答案为：．
3．（2023•乙卷（文））在中，已知，，．
（1）求；
（2）若为上一点．且，求的面积．
【解析】（1）在中，由余弦定理可知，
，由余弦定理可得，
又，，
（2）由（1）知：，，
，，，
的面积为．
4．（2023•甲卷（文））记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，
所以；
（2），
所以，
所以，
所以，
即，
由为三角形内角得，
面积．
5．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解析】（Ⅰ），，，
则；
（Ⅱ），，，
则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；
（Ⅲ），
，，，
则，
故，
所以．
6．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
【解析】（1）为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
（2），
，
，，
则，
①，
，即②，
由①②解得，
，
，又，
．
7．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
【解析】（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，，
设边上的高为，
则，
，
解得，
即边上的高为6．
8．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】解（1）因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
（2），，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
（3）因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为．
9．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解析】（Ⅰ）因为，所以，且，
由正弦定理可得：，
即有；
（Ⅱ）因为，
所以，故，
又因为，所以，
所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
10．（2022•北京）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
【解析】（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
11．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）证明：．
【解析】（1）由，
又，，
，，即（舍去）或，
联立，解得；
证明：（2）由，
得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，
整理可得：．
12．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解析】（1），，．
，
化为：，
，
，，
，
，．
（2）由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
13．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
【解析】（1），
，
，
，
解得：，
，，即，
，
，
解得：，
．
的面积为．
（2）由正弦定理得：，
，，
由（1）得，
已知，，，
解得：．
14．（2022•乙卷（文））记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求的周长．
【解析】（1）证明：中，，
所以，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以；
（2）当，时，，，
所以，解得，
所以的周长为．