2023-2024学年河南省新乡市原阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市原阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)
2.在▱ABCD中，G为△ABC的重心，满足AG=xAB+yAD(x,y∈R)，则x+2y=( )
A. 43B. 53C. 0D. −1
3.下列说法正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B. 若|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b
C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D. 若a/​/b，则a与b方向相同或相反
4.已知|a|=1,|b|=2，|2a−b|=4，则a与b夹角的余弦值为( )
A. −1B. −12C. 0D. 1
5.已知a=(1,m)与b=(n,−4)共线，且向量b与向量c=(2,3)垂直，则m+n=( )
A. 152B. 163C. −103D. −2
6.已知非零向量a,b满足|a+2b|= 7|a|= 7|b|，则〈a,b〉=( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
7.已知平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，则a在b方向上的投影为( )
A. −2B. −1C. (−2,0)D. (−1,0)
8.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，∠AOB=150°，点E，F分别在AB，CD上，且FE=2OF，则AF⋅OE的取值范围是( )
A. [−6,152]B. [3−9 32,6]C. [−32,3+9 32]D. [−6,3+9 32]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列四个命题，其中正确的是( )
A. 非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°
B. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a= 6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为 6C. 若单位向量a，b，夹角为120°，则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1
D. 已知OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c, 3(acsC+ccsA)=2bsinB，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1，DA=3，下列说法中，正确的命题是( )
A. △ABC的内角B=π3
B. △ABC一定是等边三角形
C. 四边形ABCD面积的最大值为5 32+3
D. 四边形ABCD面积无最大值
11.在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=12，则( )
A. e1，e2的夹角为π3B. a=2e1+e23，b=e1−e23
C. a//bD. 三角形ABC的AB边上的中线长为 76
12.图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形ABCDEF，下列说法正确的是( )
A. AD⋅AB=|AB|2B. AC+AE=32AD
C. AC−AE=BFD. AD在AB上的投影向量为AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|= ．
14.如果平面向量a=(1,−2)b=(−6,3)，则向量a+b在a−上的投影向量为______．
15.已知tanαtan(α+π4)=−23，则sin(2α+π4)的值是______．
16.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β−α的夹角为120°，则|α|的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(3,−1)，t∈R．
(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a−tb与c共线，求实数t．
18.(本小题12分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，设函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)在[0,π2]上的单调增区间；
(2)若对任意x∈[0,π2],|f(x)−1|≤m恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点．
(1)若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP；
(2)若点P是△ABC的重心．
①求证：PA+PB+PC=0；
②若35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，求cs∠BAC．
20.(本小题12分)
在△ABC中，B=π3，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．
(1)若△BCD的面积为 3，求CD；
(2)设∠DCA=θ，若AC= 3，求θ．
21.(本小题12分)
如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高．
(1)求CH的长；
(2)设CM=mCB，0①若CH⋅MA=9，求实数m的值；
②求MH⋅MA的最小值．
22.(本小题12分)
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA．
(1)求B；
(2)若▵ABC为锐角三角形，且c=1，求▵ABC面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：画出图形如图，
AP⋅AB=|AP||AB|cs，它的几何意义是AB的长度与AP在AB向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，|AC|cs∠CAB=|AB|+12|AB|=3，可得AP⋅AB=|AP||AB|cs=2×3=6，最大值为6，
在F处取得最小值，AP⋅AB=|AP||AB|cs=−2×2×12=−2，最小值为−2，
P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，
所以AP⋅AB的取值范围是(−2,6)．
故选：A．
画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是中档题．
2.【答案】A
【解析】解：设AB与CD相交于点O，则O为AC，BD的中点，
因为G为△ABC的重心，
所以BG=23BO=23×12BD=13BD=13(AD−AB)，
AG=AB+BG=AB+13(AD−AB)=23AB+13AD，
因为AG=xAB+yAD(x,y∈R)，
所以x=23y=13，
所以x+2y=23+2×13=43．
故选：A．
由重心的性质和平面向量的线性运算计算可得AG=23AB+13AD，再由平面向量基本定理可得x，y的值，从而可求得．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，当|a|=|b|时，a与b的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，选项A错误；
对于B，当|a|=|b|，且a与b的方向相同时，a=b，选项B正确；
对于C，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项C错误；
对于D，当a/​/b时，若a=0，则a的方向是任意的，a与b的方向不是相同或相反，选项D错误．
故选：B．
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析，判断真假性即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵|a|=1,|b|=2,|2a−b|=4，
∴(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4+4−4a⋅b=16，
∴a⋅b=−2，
∴cs=a⋅b|a||b|=−21×2=−1．
故选：A．
对|2a−b|=4两边平方可求出a⋅b的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出a与b夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为b⊥c，
所以2n−12=0，解得n=6，
又因为a//b，
所以6m=−4，解得m=−23，
所以m+n=−23+6=163．
故选：B．
首先由平面向量垂直的坐标运算及b⊥c得出n，再由平面向量平行的坐标表示及a//b，得出m，即可求出m+n．
本题主要考查向量平行、共线的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为|a+2b|= 7|a|= 7|b|，
所以|a+2b|2=a2+4b2+4a⋅b=5b2+4|b|2cs〈a,b〉=7b2．
因为|b|≠0，所以cs〈a,b〉=12，
又因为〈a,b〉∈[0,π]，所以〈a,b〉=π3．
故选：C．
根据题意，结合向量的数量积的运算法则，化简求得cs〈a,b〉=12，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=−24(2,0)=(−1,0)．
故选：D．
根据平面向量投影的定义计算即可．
本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设∠AOE=θ，则0°≤θ≤150°，
因为AF=AO+OF=AO+13OE，
所以AF⋅OE=(AO+13OE)⋅OE=AO⋅OE+13OE2
=−OA⋅OE+13OE2
=−3×3×csθ+9=3−9csθ，
又0°≤θ≤150°，所以− 32≤csθ≤1，
所以−6≤−9csθ+3≤3+9 32，
所以AF⋅OE的取值范围是[−6,3+9 32]．
故选：D．
利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围．
本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，
令OA=a，OB=b，
则OC=a+b，BA=a−b，
∵|a|=|b|=|a−b|，
∴四边形OACB为菱形，且△AOB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴a与a−b的夹角是60°，故A错误，
对于B，由正弦定理，若满足条件的△ABC有两个，
则bsinA则b的取值范围为 6对于C，若单位向量a，b，夹角为120°，
则|2a+xb|= x2−2x+4= (x−1)2+3，
当x=1时，|2a+xb|取得最小值 3，故C正确，
对于D，∵OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，
∴BA=OA−OB=(−3,−1)，
BC=OC−OB=(−1−m,−m)，
∵∠ABC为锐角，
∴BA⋅BC>0且BA与BC不同向，即3+4m>03m≠1+m，解得m>−34且m≠12，故D错误．
故选：BC．
对于A，结合平行四边形法则，即可求解，
对于B，结合正弦定理，即可求解，
对于C，结合向量模公式，即可求解，
对于D，结合向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由题设 3(sinAcsC+sinCcsA)= 3sin(A+C)=2sin2B，又A+B+C=π，
所以 3sinB=2sin2B,sinB>0，故sinB= 32，
则B=π3或B=2π3，又∠CAB=π3，故B=π3，A正确；
所以△ABC是等边三角形，B正确；
由b=AC，则b2=DC2+DA2−2DC⋅DAcs∠ADC=10−6csD，且0而SABCD=S△ABC+S△ADC= 34b2+32sinC= 32⋅(5−3csD)+32sinD
=5 32+32(sinD− 3csD)=5 32+3sin(D−π3)，
所以当D=5π6时有最大面积为SABCD=5 32+3，故C正确，D错误．
故选：ABC．
由正弦定理边角关系及已知角的大小可得B=π3，即可判断A、B；由余弦定理可得b2=10−6csD，结合SABCD=S△ABC+S△ADC，得到ABCD面积关于角D的三角函数式，利用正弦函数的性质及D的范围求最值，判断C、D．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，设e1，e2的夹角为α，则csα=e1⋅e2|e1|⋅|e2|=12，所以α=π3，故A正确；
对于B，由a+b=e1，a−2b=e2，得a=2e1+e23，b=e1−e23，故B正确；
对于C，令a=λb，则2e1+e23=λ⋅e1−e23，
∵e1，e2不共线，∴2=λ1=−λ，这样的λ不存在，故C不正确；
对于D，设D为AB的中点，则CD=a−b2=e1+2e26，
∴|CD|= e12+4e1⋅e2+4e226= 1+4×12+46= 76，故D正确．
故选：ABD．
A选项，利用平面向量夹角余弦公式进行求解；
B选项，利用消元法解出a=2e1+e23，b=e1−e23；
C选项，设a=λb，从而得到方程组，无解，故C错误；
D选项，得到CD=e1+2e26，从而利用模长公式求出答案．
本题考查平面向量的数量积与夹角，平面向量基本定理等，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：连接AE，AC，AD，BF，BD，CE，CE与AD交于点H，如图所示，
对于A：设正六边形ABCDEF的边长为a，
则|AD|=2a，∠DAB=π3，
所以AD⋅AB=|AD||AB|cs∠DAB=2a2csπ3=a2=|AB|2，A正确；
对于B：由图易得|AE|=|AC|，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有AC+AE=2AH，AH与AD共线且同方向，
易知△EDH，△AEH均为含π6角的直角三角形，
故|AH|= 3|EH|，|EH|= 3|DH|，即|AH|=3|DH|，
所以|AD|=|AH|+|DH|=3|DH|+|DH|=4|DH|，
又因为2|AH|=6|DH|，故2|AH||AD|=32，
故AE+AC=32AD，故B正确；
对于C：AC−AE=EC，显然由图可得EC与BF为相反向量，故C错误；
对于D：易知∠ABD=π2，则AD在AB上的投影向量为AB，故D正确．
故选：ABD．
对A，利用平面向量的数量积定义计算即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用向量的减法和相反向量即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】2 3
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，向量的模的应用，属于基础题．
利用向量的数量积公式，向量的模公式即可求出|a+2b|的值．
【解答】
解：∵向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，
∴a·b=|a|·|b|cs60°=1，
∴|a+2b|= a2+4a·b+4b2=2 3，
故答案为2 3．
14.【答案】(−75,145)
【解析】解：a=(1,−2)b=(−6,3)，
则a+b=(−5,1)，，a2=|a|2=5，
(a+b)⋅a=−7，
所以向量a+b在a上的投影向量为(a+b)⋅a|a|⋅a|a|=−75a=(−75,145)．
故答案为：(−75,145)．
由已知可求得a+b=(−5,1)，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
15.【答案】 210
【解析】解：已知tanαtan(α+π4)=−23，整理得3tan2α−5tanα−2=0，
解得tanα=2或−13，
(1)当tanα=2时，
则sin2α=2tanα1+tan2α=45，cs2α=1−tan2α1+tan2α=−35，
故sin(2α+π4)= 22sin2α+ 22cs2α=45× 22−35× 22= 210．
(2)当tanα=−13时，
则sin2α=2tanα1+tan2α=−35，cs2α=1−tan2α1+tan2α=45，
sin(2α+π4)= 22sin2α+ 22cs2α=−35× 22+45× 22= 210．
故答案为： 210．
直接利用三角函数的中和角的正切的应用求出tanα的值，进一步利用万能公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，万能公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．
16.【答案】(0,2 33]
【解析】解：令用AB=α、AC=β，如下图所示：
则由BC=β−α，
又∵α与β−α的夹角为120°，
∴∠ABC=60°
又由AC=|β|=1
由正弦定理|α|sinC=|β|sin60∘得：
|α|=2 33sinC≤2 33
∴|α|∈(0,2 33]
故|α|的取值范围是(0,2 33]
故答案为：(0,2 33]
画出满足条件的图形，分别用AB、AC表示向量α与β，由α与β−α的夹角为120°，易得B=60°，再于|β|=1，利用正弦定理，易得|α|的取值范围．
本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考查了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(3,−1)，
∴a+tb=(−3,2)+t(2,1)=(−3+2t,2+t)，
∴|a+tb|= (−3+2t)2+(2+t)2= 5t2−8t+13
= 5(t−45)2+495≥ 495=75 5(当且仅当t=45时等号成立)．
(2)∵a−tb=(−3,2)−t(2,1)=(−3−2t,2−t)，
又a−tb与c共线，
∴(−3−2t)×(−1)=3×(2−t)，解得t=35．
【解析】(1)利用求模公式表示出|a+tb|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；
(2)利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；
本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．
18.【答案】解：(1)已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，
则f(x)=a⋅b= 3sinxcsx+cs2x= 32sin2x+12cs2x+12=sin(2x+π6)+12，
当x∈[0,π2]时，
则2x+π6∈[π6,7π6]．
由π6≤2x+π6≤π2，
可得0≤x≤π6，
故函数f(x)在[0,π2]上的单调增区间为[0,π6]．
(2)当x∈[0,π2]时，则2x+π6∈[π6,7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时，函数f(x)的最大值为32，
当2x+π6=7π6，即x=π2时，函数f(x)的最小值为0，
所以|f(x)−1|在[0,π2]上的最大值为1，
由于对任意x∈[0,π2],|f(x)−1|≤m恒成立，
故m≥1，
故m的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)根据数量积的坐标表示并结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简求得f(x)的表达式，根据x的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案；
(2)根据x的范围，求得f(x)的最值，继而求得|f(x)−1|的最大值，结合不等式恒成立，即得答案．
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，重点考查了二倍角公式、两角和的正弦公式及三角函数的性质，属中档题．
19.【答案】解：(1)如图：

过点P作PD//CA交AB于点D，PE//BA交AC于点E，
则四边形ADPE为平行四边形，
所以AP=AD+AE，由BP=13PC，
所以ADAB=CPCB=34，即AD=34AB，
同理AEAC=BPBC=14，即AE=14AC，
所以AP=34AB+14AC；
(2)证明：①如图：

延长AP交BC于点F，
因为点P是△ABC的重心，
所以点F为BC的中点，且AP=2PF，
所以PA=−2PF，即PA+2PF=0，
又PB+PC=2PF，
所以PA+PB+PC=0；
②点P是△ABC的重心时，
由①知PA+PB+PC=0及35sinA⋅PA+21sinB⋅PB+15sinC⋅PC=0，
所以35sinA：21sinB：15sinC=1：1：1，
所以sinA：sinB：sinC=3：5：7，
由正弦定理知a：b：c=sinA：sinB：sinC=3：5：7，
不妨设a=3t，b=5t，c=7t，t>0，
由余弦定理得cs∠BAC=b2+c2−a22bc=25t2+49t2−9t22×5t×7t=1314．
【解析】(1)作辅助线利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算即可求解；
(2)①利用重心的概念及向量的线性运算即可证明；②通过向量分解得到sinA：sinB：sinC=3：5：7，利用正弦定理及余弦定理即可求解cs∠BAC．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为S△BCD= 3，即12BC⋅BD⋅sinB= 3，
又因为B=π3，BD=1，所以BC=4．
在△BDC中，由余弦定理得，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅csB，
即CD2=16+1−2×4×1×12=13，解得CD= 13．
(2)在△ACD中，DA=DC，因为∠A=∠DCA=θ，则∠ADC=π−2θ，
又AC= 3，由正弦定理，有ACsin2θ=CDsinθ，
所以CD= 32csθ．
在△BDC中，∠BDC=2θ，∠BCD=2π3−2θ，
由正弦定理得，CDsinB=BDsin∠BCD，即 32csθsinπ3=1sin(2π3−2θ)，
化简得csθ=sin(2π3−2θ)，
因为0<θ<π2，所以sin(π2−θ)=sin(2π3−2θ)，
∵0<π2−θ<π2，−π3<2π3−2θ<2π3，
所以π2−θ=2π3−2θ或π2−θ+2π3−2θ=π，
解得θ=π6或θ=π18．
【解析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
(1)由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可求；
(2)由已知结合正弦定理及三角基本关系进行化简可求．
21.【答案】解：(1)根据题意得，cs∠ACB=AC2+BC2−AB22AC×BC，
即12=32+42−AB22×3×4，解得AB= 13，
因为CH为AB边上的高，
所以S△ABC=12×AC×BC×sin∠ACB=12×AB×CH，
解得CH=6 3913；
(2)①，由(1)知CH=6 3913，所以BH= BC2−CH2=10 1313，所以BH=1013BA，
所以CH=CB+BH=313CB+1013CA，
因为CM=mCB，
所以CA+AM=m(CA+AB)，
所以AM=(1−m)AC+mAB，即MA=CA−mCB，
又CH⋅MA=−9，
所以CH⋅MA=(313CB+1013CA)⋅(CA−mCB)
=313CB⋅CA−3m13|CB|2+1013|CA|2−10m13CA⋅CB
=313×4×3×cs60°−3m13×16+1013×9−10m13×4×3×cs60°
=1813−48m13+9013−60m13=10813−108m13=9，
解得m=−112，不符合题意，故不存在实数m使CHMA=9；
②，MH=MC+CA+AH=(313−m)CB+1013CA,MA=CA−mCB，
所以MH⋅MA−[(313−m)CB+1013CA]⋅(CA−mCB)
=(313−m)CB⋅CA−(313−m)m|CB|2+1013|CA|2−1013mCA⋅CB
=(313−m)×6−(313−m)m×16+1013×9−1013m×6
=16m2−18613m+10813(0当m=93208∈(0,1)时取得最小值，
即16×(93208)2−18613×93208+10813=138152704．
所以MH⋅MA的最小值为：138152704．
【解析】(1)先求出AB的长，再利用等面积法求解即可；
(2)①根据题意得CH=313CB+1013CA,MA=CA−mCB，利用数量积求解即可；②根据题意得MH=(313−m)CB+1013CA,MA=CA−mCB，利用数量积求解即可．
本题考查平面向量数量积的运算、平面向量的基本定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)asinA+C2=bsinA，即为asinπ−B2=acsB2=bsinA，
可得sinAcsB2=sinBsinA=2sinB2csB2sinA，
∵sinA>0，
∴csB2=2sinB2csB2，
若csB2=0，可得B=(2k+1)π，k∈Z不成立，
∴sinB2=12，
由0(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，
由余弦定理可得b= a2+1−2a⋅1⋅csπ3= a2−a+1，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，且1+a2>a2−a+1，
解得12可得△ABC面积S=12a⋅sinπ3= 34a∈( 38, 32).
【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化简运算能力，属于中档题．
(1)运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
(2)运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．