2024宁波十校联盟高三下学期3月联考试题（二模）数学含答案

这是一份2024宁波十校联盟高三下学期3月联考试题（二模）数学含答案，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，已知一组样本数据，其中为正实数等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟：
2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
第I卷
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则（ ）
A.3 B.2 C. D.1
3.已知平面向量满足且，则（ ）
A. B.5 C. D.6
4.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A.144种 B.72种 C.36种 D.24种
5.学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上､下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若函数在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ）
A.样本数据的第80百分位数为
B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D.若样本数据的方差，则这组样本数据的平均数等于2
10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A.的最小正周期为
B.在上单调递增
C.函数的最大值为1
D.方程在上有5个实数根
11.已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点分别为的中点，点是棱上的动点.以为球心作半径为的球，下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线所成角的正切值的最小值为
B.用过三点的平面截直四棱柱，得到的截面面积为
C.当时，球与直四棱柱的四个侧面均有交线
D.在直四棱柱内，球外放置一个小球，当小球体积最大时，球直径的最大值为
第II卷
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若，则__________.
13.已知正实数满足，则的最小值为__________.
14.已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（13分）的内角的对边分别为，且.
（1）判断的形状；
（2）若为锐角三角形，，求的最大值.
16.（15分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，为的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离.
17.（15分）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若有三个极值点，求正数的取值范围.
18.（17分）为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立.
（1）若进行5次试验，且，求试验成功次数的分布列以及期望；
（2）若恰好成功2次后停止试验，，记事件：停止试验时试验次数不超过次，事件：停止试验时试验次数为偶数，求.（结果用含有的式子表示）
19.（17分）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于两点（不同于点），直线分别交轴于两点.
（1）求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，当时，求的值.
宁波“十校”2024届高三3月联考
数学参考答案
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 13.16 14.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本题共13分）解：
（1）由题意：，
整理得，
故或，
当时，为直角三角形，
当时，为等腰三角形.
（2）由正弦定理得，
又，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
当时，即时取最大值，最大值为.
综上，最大值为
16.（本题共15分）解：
（1）证明：由四边形是直角梯形，，
可得，从而是等边三角形，平分.
为的中点，，
又平面.
又平面平面平面
（2）在平面内作于，连接，又平面平面，平面平面，
平面为与平面所成的角，则
易得.
又，所以为的中点，.
以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
设，易得
由得，满足题意，
所以点到平面的距离为
17.（本题共15分）解：
（1），则
当时，的两根为.
①若在上单调递增；
②若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③若，则，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，无单调减区间，单调增区间为；
当时，单调减区间为，单调增区间为和；
当时，单调减区间为，单调增区间为和.
（2）根据题意可知，函数的定义域为，
则，
由函数有三个极值点可知在上至少有三个实数根；显然，则需方程，
也即有两个不等于3的不相等的实数根；
由可得，
令，则，
显然当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
所以，
画出函数与函数在同一坐标系下的图象，
由图可得且时，在上有两个不等于3的相异的实数根，
经检验可知当时，导函数在左右符号不同，即均是的变号零点，满足题意；
因此实数的取值范围是
18.（本题共17分）解：
（1）依题意，，
则，
，
故的分布列为：
故.
（2）事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，故，
当为偶数时，
所以，
令
则，
两式相减得：
则.即.
当为奇数时，同理可得
综上，
19.（本题共17分）解：
（1）由双曲线方程，则，得到，
联立㘯物线与双曲线方程，得到，，
记，可知有两个根
和，其中，则，解得.
又直线分别交于（不同于点），即三点不共线，当时，代入
抛物线方程得到，将代入双曲线方程得到，解得，
故.
综上，
（2）
由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直轴，点，故设直线的方程为，
由消去并整理得，所以为定值.
设，直线的斜率，
方程为，
令，得点的横坐标，
设，
由消去得，
，
，
而直线的方程为，依题意，
令，得点的横坐标
，
因此.
联立抛物线与双曲线方程，得到，解得点的坐标，由.
根据，则，代入得到，
即，
化简得解得，故.1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
D
B
B
C
A
D
9
10
11
BCD
ABD
ABC
0
1
2
3
4
5