2024年江苏省常州市中考数学结课热身试卷 （含解析）

这是一份2024年江苏省常州市中考数学结课热身试卷 （含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为1.64×10n，其中n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2分）已知一组数据23，27，20，18，x，12，若它们的中位数是21，那么数据x是（ ）
A．23B．22C．21D．20
4．（2分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A．核B．心C．数D．养
5．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
6．（2分）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（ ）
A．y＝﹣x2+3x﹣2B．y＝﹣x
C．y＝x+1D．y＝﹣
7．（2分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
8．（2分）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．（2分）实数16的平方根是 ．
10．（2分）因式分解3x2﹣3y2＝ ．
11．（2分）在比﹣1小的数中，最大的整数是 ．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值是 ．
13．（2分）方程x2＝3x的解为： ．
14．（2分）如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于F、G，分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH并延长，与AD交于点E，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为 ．
15．（2分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝ ．
16．（2分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，∠P＝38°，则∠ACB＝ °．
17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD＝24°，则∠DAB＝ 度．
18．（2分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（4，0），点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B．若△A′PB是直角三角形，点P的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
21．（8分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形．
22．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，仅比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
23．（8分）三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张．
（1）求甲先抽一张卡片，抽到的卡片上数字为偶数的概率；
（2）用树形（状）图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率．
24．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（﹣1，2），B（4，﹣）．
（1）求函数y＝和y＝k2x+b的表达式；
（2）若在x轴上有一动点C，当S△ABC＝2S△AOB时，求点C的坐标．
25．（8分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在斜边AB上．
（1）作出经过点C，且与边AB相切于点D的⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若（1）中所作的⊙O的圆心O落在BC边上，则⊙O的半径长为 ；
（3）设（1）中所作的⊙O与AC交于点E，与BC交于点F，当点D在斜边AB上移动时，线段EF的最小值为 ．
27．（10分）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；
（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是 ．
28．（10分）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为折线MN﹣NF和曲线FG（图②），已知，ON＝4，NH＝1，点G的坐标为（8，0）．
（1）点P与点Q的速度之比的值为 ；的值为 ；
（2）如果OM＝15．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②求FG所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由．
2024年江苏省常州市中考数学结课热身试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项前的字母代号填在（）内）
1．（2分）一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相反数和倒数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一个数的相反数的倒数是3＝，
∴这个数是﹣，
故选：C．
2．（2分）西太湖是苏南仅次于太湖的第二大湖泊，南接宜兴，北通长江，东濒太湖，西接长荡湖，水域面积约164000000平方米，164000000这个数用科学记数法可表示为1.64×10n，其中n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵164000000＝1.64×108，
∴n＝8，
故选：C．
3．（2分）已知一组数据23，27，20，18，x，12，若它们的中位数是21，那么数据x是（ ）
A．23B．22C．21D．20
【分析】讨论x的位置，根据中位数的定义求解．
【解答】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：
12，18，20，x，23，27．
根据中位数是21得（20+x）÷2＝21．
解得x＝22．
故选：B．
4．（2分）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）
A．核B．心C．数D．养
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
【解答】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：B．
5．（2分）如图，∠ACD是△ABC的外角，AB∥CE，∠BAC＝80°，∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【分析】由平行线的性质可得∠B＝∠DCE＝35°，再由三角形的内角和定理即可求∠ACB的度数．
【解答】解：∵AB∥CE，∠DCE＝35°，
∴∠B＝∠DCE＝35°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝65°．
故选：B．
6．（2分）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是（ ）
A．y＝﹣x2+3x﹣2B．y＝﹣x
C．y＝x+1D．y＝﹣
【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答．
【解答】解：A、∵y＝﹣x2+3x﹣2开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝，且函数图象过（0，﹣2）点，
则函数图象过一、三、四象限，故本选项正确；
B、∵y＝﹣x的系数﹣1＜0，
∴函数图象过二、四象限，故本选项错误；
C、在y＝x+1中，k＝1＞0，b＝2＞0，
则函数过一、二、三象限，故本选项错误；
D、∵y＝﹣中，﹣1＜0，
∴函数图象过二、四象限，故本选项错误；
故选：A．
7．（2分）如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
【分析】首先求出∠ABP和∠CDP，再根据平行线的性质求出∠BPN和∠DPN即可．
【解答】解：∵∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，
∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝30°，
∵AB∥CD∥MN，
∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝30°，
∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+30°＝50°．
故选：C．
8．（2分）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．
【解答】解：∵S正方形ABCD＝24，
∴AB2＝24，
设DH＝x，
则AH＝3DH＝3x，
∴x2+9x2＝24，
∴，
根据题意可知：
AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，
∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，
∴S△FGN＝2S△CGN，
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，
∴阴影部分的面积之和为：
＝
＝
＝
＝2x2
＝
＝4.8．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上）
9．（2分）实数16的平方根是 ±4 ．
【分析】利用平方根定义计算即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4
10．（2分）因式分解3x2﹣3y2＝ 3（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3x2﹣3y2
＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3（x+y）（x﹣y）．
11．（2分）在比﹣1小的数中，最大的整数是 1 ．
【分析】先求出的范围，进一步得到﹣1的范围，从而得到在比﹣1小的数中，最大的整数．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴在比﹣1小的数中，最大的整数是1．
故答案为：1．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值是 2 ．
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
13．（2分）方程x2＝3x的解为： x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
14．（2分）如图，平行四边形ABCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于F、G，分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH并延长，与AD交于点E，若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为 8 ．
【分析】利用基本作图得到BE平分∠ABC，则∠ABE＝∠CBE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝10，接着证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝10，所以AD＝16，然后利用勾股定理的逆证明证明△CDE为直角三角形，∠CED＝90°，则∠BCE＝90°，最后利用勾股定理可计算出BE的长．
【解答】解：由作法得BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB＝10，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝10，
∴AD＝AE+DE＝10+6＝16，
在△CDE中，
∵CE＝8，DE＝6，CD＝10，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴△CDE为直角三角形，∠CED＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝8．
故答案为：8．
15．（2分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝ ．
【分析】证明△DCB≌△CAB，得，可求出BD的长，进而可求出AD的长，由此即可解决问题即可．
【解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝，
故答案为：．
16．（2分）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，∠P＝38°，则∠ACB＝ 109 °．
【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切线，即可得∠PAO＝∠PBO＝90°，又由∠P＝38°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣38°＝142°，
∴，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣71°＝109°．
故答案为：109．
17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD＝24°，则∠DAB＝ 66 度．
【分析】由圆周角定理得到∠ACB＝90°，求出∠BCD＝90°﹣24°＝66°，即可得到∠DAB＝∠BCD＝66°．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝24°，
∴∠BCD＝90°﹣24°＝66°，
∴∠DAB＝∠BCD＝66°．
故答案为：66．
18．（2分）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（4，0），点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B．若△A′PB是直角三角形，点P的横坐标为 2或或 ．
【分析】分情况讨论：①当点P在x轴的正半轴上，且∠PBA′＝90°时，②当点P在x轴的正半轴上，且∠PA′B＝90°时，③当点P在x轴的负半轴上，且∠PA′B＝90°时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可．
【解答】解：∵A（0，2），B（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
设点P（m，0），
当∠BPA′＝90°时，点B在直线AP上（且不与点P重合），
∴点P不能为直角顶点，
①如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PBA′＝90°时，
由旋转可知，PA＝PA′，∠APA′＝90°，
∴∠APO+∠BPA′＝90°，∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠OAP＝∠BPA′，
∴△OAP≌△BPA′（AAS），
∴PB＝OA＝2，A′B＝OP＝m，
∴OP＝OB﹣PB＝4﹣2＝2，
∴m＝2，即点P的横坐标为2；
②如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PA′B＝90°时，
过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP＝m（m＞0），
由旋转可知，PA＝PA′，∠APA′＝90°，
∴∠APO+∠DPA′＝90°，∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠OAP＝∠DPA′，
∴△OAP≌△DPA′（AAS），
∴PD＝OA＝2，A′D＝OP＝m，
∴BD＝OB﹣PD﹣OP＝4﹣2﹣m＝2﹣m，
∵∠PA′B＝∠A′DB＝∠A′DP＝90°，
∴∠A′PB+∠B＝90°，∠A′PB+∠PA′D＝90°，∠DA′B+∠B＝90°，
∴∠B＝∠PA′D，
∴tanB＝tan∠PA′D，
∴，即，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点P的横坐标为；
③如图，当点P在x轴的负半轴上，且∠PA′B＝90°时，
过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP＝m，
同理可得△OAP≌△DPA′（AAS），
∴PD＝OA＝2，A′D＝OP＝﹣m，
∴PB＝OP+OB＝4﹣m，BD＝PB﹣PD＝4﹣m﹣2＝2﹣m，
同理可得∠B＝∠PA′D，
∴tanB＝tan∠PA′D，
∴，即，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点P的横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为2或或，
故答案为：2或或．
三、解答题（本大题共10小题，共84分。如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）根据平方差公式，以及单项式乘多项式的运算方法计算即可．
【解答】解：（1）
＝1﹣4+3﹣2
＝﹣2．
（2）（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）
＝x2﹣4y2﹣x2+xy
＝﹣4y2+xy．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘以（x+1）（2x﹣3），把分式方程化为整式方程求解即可；
（2）根据解不等式组的步骤求解即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘以（x+1）（2x﹣3），
2（2x﹣3）+x+1＝0，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（2x﹣3）≠0，
所以原分式方程的解是x＝1；
（2），
解不等式①得，x＜1，
解不等式②得，x≥﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
21．（8分）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形．
【分析】（1）首先根据AB∥DE得到∠A＝∠D，然后利用SAS定理判定全等即可；
（2）首先判定四边形BCEF为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝FD，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DEC，
∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∵∠CEF＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
22．（8分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
活动后骑电瓶车戴安全帽情况统计图
（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，仅比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【分析】（1）宣传活动前，属于类别C的人数最多，用类别C的人数的人数除以总人数即可求解；
（2）活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数＝在抽取的市民中“都不戴”的人数占抽取人数的百分比×30万；
（3）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】（本小题满分8分）
解：（1）（1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；
占抽取人数的 ；
（2）估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：（万人）；
（3）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
8.9%＜17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．
23．（8分）三张质地相同的卡片如图所示，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，甲、乙两人进行如下抽牌游戏：甲先抽一张卡片放回，乙再抽一张．
（1）求甲先抽一张卡片，抽到的卡片上数字为偶数的概率；
（2）用树形（状）图或列表的方法表示甲、乙两人游戏所有等可能的结果，并求他们抽到相同数字卡片的概率．
【分析】（1）由甲先抽一张卡片，可能出现的点数有3种，而且点数出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有1种，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们抽到相同数字卡片的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵甲先抽一张卡片，可能出现的点数有3种，而且点数出现的可能性相等，抽到的卡片上数字为偶数的只有1种；
∴抽到的卡片上数字为偶数的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，他们抽到相同数字卡片的有3种情况，
∴他们抽到相同数字卡片的概率为：＝．
24．（8分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（﹣1，2），B（4，﹣）．
（1）求函数y＝和y＝k2x+b的表达式；
（2）若在x轴上有一动点C，当S△ABC＝2S△AOB时，求点C的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣1，2），B（4，﹣）分别代入反比例函数y＝和一次函数y＝k2x+b的解析式，求解即可；
（2）设AB与y轴交于点D，过点C作CE∥y轴交AB于点E，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，2），B（4，﹣）分别代入反比例函数y＝和一次函数y＝k2x+b的解析式，
∴k1＝﹣1×2＝﹣2，，
∴k1＝2，．
∴反比例函数的解析式为：y＝，一次函数的解析式为：y＝﹣x+．
（2）如图，设AB与y轴交于点D，过点C作CE∥y轴交AB于点E，
设C（m，0），
∴E（m，﹣m+）．
∴CE＝|﹣m+|．
令x＝0，则y＝，
∴D（0，），
∴OD＝，
∴S△AOB＝OD•（xB﹣xA）＝××[4﹣（﹣1）]＝．
∴S△ABC＝2S△AOB＝．
∴CE•（xB﹣xA）＝，即•|﹣m+|•5＝．
解得m＝﹣3或m＝9，
∴点C的坐标为（﹣3，0）或（9，0）．
25．（8分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【分析】（1）由BD'∥EF，求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为＝π；
（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54，Rt△BEH中，HE＝3.80，故DG+HE≈7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm，
【解答】解：∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D转动到点D′的路径长为＝π（cm）；
（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图：
Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54（cm），
Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80（cm），
∴DG+HE＝3.54cm+3.80cm＝7.34cm≈7.3cm，
∵BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在斜边AB上．
（1）作出经过点C，且与边AB相切于点D的⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若（1）中所作的⊙O的圆心O落在BC边上，则⊙O的半径长为 ；
（3）设（1）中所作的⊙O与AC交于点E，与BC交于点F，当点D在斜边AB上移动时，线段EF的最小值为 ．
【分析】（1）经过点C，且与边AB相切于点D的⊙O，圆心O为线段AB的垂直平分线与过点D的AB的垂线的交点，所以，作CD的垂直平分线MN；再过点D作DL⊥AB，交MN于点O，即得到所求的圆的圆心，半径为OD的长，即可作出所求的圆；
（2）当圆心O在BC上，连接OD，则OD＝OC，由切线的性质得∠ODB＝90°，由∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，求得AB＝＝5，再证明△OBD∽△ABC，得＝，求得OB＝OC，则OC+OC＝4，所以OC＝，于是得到问题的答案；
（3）作CG⊥AB于点G，连接CD、OD、OC，由×5CG＝×3×4＝S△ABC，求得CG＝，由∠ECF＝90°，可知EF是⊙O的直径，则EF＝OC+OD，因为OC+OD≥CD，所以EF≥CD，当EF＝CD，且CD的值最小时，则EF的值最小，即可求得EF的最小值为，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）作法：1．连接CD，作CD的垂直平分线MN；
2．过点D作DL⊥AB，交MN于点O；
3．以点O为圆心，线段OD长为半径作圆，
⊙O就是所求的图形．
证明：连接OC，
∵点O在CD的垂直平分线上，
∴OC＝OD，
∴⊙O经过点C，
∵OD是⊙O的半径，且AB⊥OD，
∴⊙O与AB相切于点D，
∴⊙O就是所求的图形．
（2）如图2，圆心O在BC上，连接OD，则OD＝OC，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴AB⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，∠ODB＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△OBD∽△ABC，
∴＝，
∴OB＝•OD＝OC，
∴OC+OC＝4，
解得OC＝，
∴⊙O的半径长为，
故答案为：．
（3）如图3，作CG⊥AB于点G，连接CD、OD、OC，
∵AB•CG＝AC•BC＝S△ABC，
∴×5CG＝×3×4，
解得CG＝，
∵∠ECF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴EF＝2OC＝OC+OD，
∵OC+OD≥CD，
∴EF≥CD，
∴当EF＝CD，且CD的值最小时，则EF的值最小，
∵CD≥CG，
∴CD≥，
∴CD的最小值为，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
27．（10分）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 （2，0） ；
（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是 或 ．
【分析】（1）根据“阳光点”的定义即可解决问题（答案不唯一）；
（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，并在射线AM上取点N，使，则，由对称性，将AN关于x轴对称，得AN．则由题意，NNg上的点是满足条件的点B，分别确定点N与点D的横坐标即可；
（3）Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，易知点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心2为半径的圆，求出直线MN与⊙K相切时b的值，再求出直线MN经过G（0，﹣1）时b的值，即可判断，再根据对称性可得b＞0时的取值范围．
【解答】解：（1）如图，设AP与⊙O交于点Q，
当点P的坐标为（2，0）时，则Q（1，0），
∴PA＝2﹣（﹣1）＝3，QA＝1﹣（﹣1）＝2，
∴，
∴，
根据“阳光点”定义可知，点P的坐标为（2，0）时符合题意，
故答案为：（2，0）（答案不唯一）；
（2）2＜t＜2﹣1，理由：
如图，在x轴上方作射线AM与⊙O交于M，并在射线AM上取点N，使，则，
由对称性，将AN关于轴对称得AN′，
则由题意，上的点是满足条件的点B，
设 交x轴于点D，
∴，
∵⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
∴，
∴，
作NH⊥x轴于H，连接MC，
∵∠NHA＝90°，
∵AC是圆O的直径，圆O的半径为1，
∴∠AMC＝90°，AC＝2，
则cs∠MAC＝＝，
∴DMAC＝30°，即∠NAH＝30°，
∴AH＝AN•cs30°＝2＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝3﹣1＝2，
∵上的点是满足条件的点B，
即点B的横坐标在H、D的横坐标之间，
故点B的横坐标范围t为：2＜t＜2﹣1；
（3）如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA＝2AQ，
∵直线与轴交于点M，且与y轴交于点N，
当x＝0时，y＝b，
当y＝0时，，
则ON＝|b|，．
∴tan∠AMN＝＝，
∴∠AMN＝60°，即直线与x轴的夹角为60°，
∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
∴点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心，2为半径的圆，
当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，
在Rt△KMR中，∠KRM＝90°，
∵直线与x轴夹角为60°，
∴∠KMR＝60°，KR＝2，
∴KM＝＝＝，
∴，
则ON＝OM＝4+，
∴．
当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b＝﹣1，
观察图象可知：当时，线段MN上存在点A关于⊙O的“阴光点”，
根据对称性，同法可得当时，也满足条件，
故答案为：或．
28．（10分）如图①，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，以v1的速度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发，以v2的速度沿DC向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为CD的中点，连接PE，PQ，记△EPQ的面积为S，点P运动的时间为t，其函数图象为折线MN﹣NF和曲线FG（图②），已知，ON＝4，NH＝1，点G的坐标为（8，0）．
（1）点P与点Q的速度之比的值为 ；的值为 ；
（2）如果OM＝15．
①求线段NF所在直线的函数表达式；
②求FG所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由函数图象可知t＝3时，Q与E重合，t＝4时，P与B重合，t＝6时，P与C重合，则Q的速度v2＝，P的速度v1＝，从而得出答案；
（2）①当t＝0时，P与A重合，Q与D重合，此时S△ADE＝2，可得AD＝BC＝DE＝15，AB＝CD＝AD＝10，从而得出点P与Q的速度，即可得出点F的坐标，利用待定系数法可得答案；
②设FG所在的曲线的函数解析式为S＝am2+bm+c（a≠0），把N（4，0），F（5，），G（8，0）代入解析式求得a，b，c的值即可求解答；
③利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，当S＝时，可得t的值，根据图象可得答案．
【解答】解：（1）∵ON＝4，NH＝1，G（8，0），
∴N（4，0），H（5，0），
由图象可知：t＝4时，Q与E重合，t＝5时，P与B重合，t＝8时，P与C重合，
∴Q的速度v2＝，P的速度v1＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵E为CD的中点，
∴DE＝，
∴＝＝，
∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒，
∴AB＝5v1，BC＝3v1，
∴AB＝BC，
∴AB：AD的值为，
故答案为：，；
（2）①∵OM＝15，
∴M（0，15），
由题知，t＝0时，P与A重合，Q与D重合，
∴＝15，
∵AB：AD＝，DE＝，
∴DE＝AD，
∴＝15，
∴AD＝BC＝6（舍去负值），
∴AB＝CD＝AD＝10，
∴v2＝＝，
当t＝5时，DQ＝v2t＝×5＝，
∴QE＝DQ﹣DE＝﹣5＝，此时P与B重合，
∴S△EPQ＝＝×6＝，
∴F（5，），
设直线NF的解析式为S＝kx+b（k≠0），
将N（4，0）与F（5，）代入得：，
∴，
∴线段NF所在直线的函数表达式为S＝（4＜x≤5）；
②设FG所在的曲线的函数解析式为S＝am2+bm+c（a≠0），
∵N（4，0），F（5，），G（8，0），
∴，
解得，
∴FG所在的曲线的函数解析式为S＝﹣m2+15m﹣40（4≤m≤8）；
③存在，分情况讨论如下：
当Q在DE上，P在AB上时，
∵直线MN经过点M（0，15），N（4，0），
可求得直线MN的解析式为S＝﹣x+15（0≤x≤4），
当s＝时，﹣x+15＝，
∴x＝3，
∵s随x的增大而减小，
∴当0≤x≤3时，S≥，
当Q在CE上，P在AB上时，
直线NF的解析式为S＝（4＜x≤5）；
由F（5，）知：当x＝5时，S＝，
当Q在CE上，P在BC上时，
，
∵DQ＝v2t＝t，
∴EQ＝DQ﹣DE＝﹣，
∵v1＝＝＝1，
∴AB+BP＝v1t＝t，
∵AB+BC＝5+3＝8，
∴CP＝8﹣t，
∴S＝（﹣）（8﹣t）＝﹣+t﹣10（5＜x≤8），
当S＝时，﹣+t﹣10＝，
∴t＝5+或5﹣（舍去），
由图象知：当5≤x≤5+时，S，
综上，S时，x的取值范围为0≤x≤3或5≤x≤5+．
类别
人数
A：每次戴
B：经常戴
C：偶尔戴
D：都不戴
A
68
B
245
C
510
D
177
合计
1000
类别
人数
A：每次戴
B：经常戴
C：偶尔戴
D：都不戴
A
68
B
245
C
510
D
177
合计
1000