甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题及答案

这是一份甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（1–i）4=（ ）
A．–4B．4
C．–4iD．4i
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知复数在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（ ）
A．B．0C．1D．2
5．已知复数，则（ ）
A．9B．6C．3D．
6．在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（ ）
A．－1＋2iB．－1＋3iC．3iD．
7．若复数满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．3
8．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．已知参数方程，t∈[﹣1，1]，以下哪个图符合该方程（ ）
A．B．
C．D．
10．已知复数，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若是虚数，则
C．不可能是纯虚数
D．可表示复平面内的点
11．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题
13．请写出一个同时满足①；②的复数z，z= ．
14．曲线经过变换得到曲线，则曲线的方程为 .
15．已知复数，则的虚部为 .
16．若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是 .
三、解答题
17．已知函数.
(1)在图中画出的图象；
(2)求不等式的解集.
18．在直角坐标系中，圆的圆心为，半径为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程；
(2)若与在第一象限的交点为，且射线的极坐标方程为，求实数的值.
19．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
20．如图，在极坐标系Ox中，方程表示的曲线是一条优美的心脏线．在以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数，且）．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)当时，与交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转，交于点B，求的值．
21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
(2)点分别为曲线与直线上的动点，求的最小值.
22．已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
参考答案：
1．A
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
根据复数的概念及运算法则即可求解.
【详解】
设，则，
因为，所以，
所以，解得所以.
故选：C.
3．A
【分析】由复数的几何意义判断.
【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．
故选：A．
4．C
【分析】
根据复数的运算和几何意义分析求解.
【详解】
由题意可得：，
因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，解得.
故选：C.
5．D
【分析】先求出，再根据复数的乘除法运算结合复数模概念运算得解.
【详解】由，得，
，
.
故选：D.
6．B
【分析】由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解.
【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），
所以
则，解得，
∴.
故选：B．
7．C
【分析】根据复数的几何意义，复数模的概念求解.
【详解】设在复平面内对应的点的坐标为，由，则，
所以复数对应的点表示以为圆心，1为半径的圆，
所以的最大值为2.
故选：C.
8．C
【分析】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解.
【详解】当，即或时，
不等式等价于，即，
解得，所以；
当，即时，不等式等价于不等式，即，
解得或，所以.
综上，不等式的解集是.
故选：C.
9．B
【分析】
利用特殊值y＝0时，x的取值情况，即图象与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案．
【详解】
利用特殊值法进行排除，
当y＝0时，t＝0，1，﹣1；
当t＝0时，x＝0，当t＝1时，x＝﹣1，当t＝﹣1时，x＝1，
故当y＝0时，x＝0或1或﹣1，即图象经过（﹣1，0），（0，0），（1，0）三个点，
对照四个选项中的图象，只有选项B符合要求．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
10．D
【分析】
根据复数的概念、几何意义及运算法则逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，
所以，解得或，
当时，，
当时，，故选项正确；
对于B，若是虚数，则，解得且，
所以，故选项B正确；
若表示纯虚数，则，方程组无解，不可能是纯虚数，故选项C正确；
若在复平面内对应的点为，则，无解，
所以不可以表示复平面内的点，故选项D错误.
故选：D.
11．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】
因为，当且仅当时取等号，
若，则，
故由能推出，即必要性成立；
反之，比如，，满足，但是，
所以推不出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
12．B
【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
13．
【分析】设，根据模长公式得出，进而得出.
【详解】设，由条件①可以得到，两边平方化简可得，故，；
故答案为：
14．
【分析】
将代入，整理即可得曲线的方程.
【详解】
根据题意，将代入，可得，
整理得，所以曲线的方程为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.
【详解】
，
则的虚部为.
故答案为：.
16．
【分析】根据函数解析式得到，进而对分类讨论求出的最小值即可求出结果.
【详解】解：设，，
易得，，
∴，
∴当时，，
∵对于任意，都存在，使得，
∴，
故的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)答案见解析
(2)或或
【分析】（1）将函数去绝对值写成分段函数的形式，再分别作出三段的图象即可；
（2）由可得或，分别解方程、，结合图象即可得不等式的解集.
【详解】（1）因为，作出函数的图象如图所示：
（2）由不等式得或，
当时，即或，可得或；
当时，即或，可得或，
由图象可得：的解集为或，
的解集为，
所以的解集为：或或.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程，先求出的普通方程，再转化为极坐标方程；
（2）先由的方程得到原点为曲线的一个交点，再将点的极坐标设为，代入的极坐标方程解出后，再代入的极坐标方程解出实数的值.
【详解】（1）圆的直角坐标方程为，
即，
由，
可得的极坐标方程为.
将的参数方程（为参数）消去参数，
得的普通方程为，
由，
得的极坐标方程为.
（2）由的方程可知，原点为曲线的一个交点，
设点的极坐标为，
代入中，可得，
解得.
把代入中，可得，
解得.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）将代入的解析式，进而利用绝对值不等式的解法即可求解；
（2）根据题意进行分类，当时，不成立；当时，利用绝对值的三角不等式可得，进而得到关于的绝对值不等式，从而解不等式即可.
【详解】（1）当时，.
当时，等价于，
解得，所以；
当时，等价于6，即，解得；
当时，等价于，
解得，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）当时，，则无解，舍去；
当时，即，不成立，舍去；
当时，，
因为，
当且仅当且时等号成立，
所以.
因为，所以，即.
解，得；
解，得或
又，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
20．(1)（）
(2)
【分析】（1）首先将曲线消去参数得到普通方程，再根据得到曲线的极坐标方程；
（2）令、分别求出、，再根据数量积的定义计算可得；
【详解】（1）解：因为曲线的参数方程为（为参数，且）
所以（），又，所以，即（），
即曲线的极坐标方程为（）；
（2）解：当时，则，
再由，可得，
所以
21．(1)曲线为，直线为
(2)
【分析】（1）利用同角的三角函数关系式将曲线C的参数方程消去参数，结合直角坐标与极坐标互化公式进行求解即可；
（2）根据点到直线距离公式，结合辅助角公式、余弦函数的最值性质进行求解即可.
【详解】（1）因为，
将（为参数），消去参数，
可得.
由，得，
因为，所以.
所以曲线的普通方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）由点A在曲线上，设，
则点A到的距离为：
，
所以当时，，
所以的最小值为.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由关于三个重要不等式左右分别相加，得到，结合题设条件推得代入即得；
（2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式化成，再构造不等式
，化简得到，代入条件即得.
【详解】（1）因为为正数，，
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
（2）先证明三维的柯西不等式.
已知求证:
,当且仅当时取等号.
证明：设
①当，即时，不等式显然成立；
②当时，

∵对于任意实数，都有,当且仅当时取等号,
∴，即
∴,当且仅当时取等号.故得证.
由柯西不等式，得
，即.
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故得：.