湖南省长沙市明德教育集团2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市明德教育集团2023—2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：120 分
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是正确答案，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学计数法表示为（ ）
A．B．C． D．
3．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B．C．D．
4．下列运算中正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a3•a4＝a12C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．a6÷a2＝a3
5．九年级学生参加体育模拟考试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ）
A．众数是58，中位数是48B．众数是50，中位数是52
C．众数是50，中位数是48D．众数是58，中位数是52
6．如图，已知：直线a、b被所截，交点分别是点A、B，其中，，点D是线段上一点，．则（ ）
A．B．C．D．
7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，为的直径，点在圆上，若，
则的度数为（ ）
A．B． C． D．
9．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用，两种机器人来搬运建筑材料，其中型机器人每小时搬运的建筑材料是型机器人每小时搬运的建筑材料的2倍，型机器人搬运所用时间比型机器人搬运所用时间少2小时．设型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：
①c＜1； ②2a＋b＝0； ③b2＜4ac；
④若方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝2.
其中正确的结论是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是 .
13．已知，是一元二次方程的两根，则 ．
14．如图，是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为2，则 ．
15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 ．
16．如图，在长沙一小区内拐角处的一段道路上，有一小朋友在C处玩耍，
一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的小朋友．
解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分）
17.(6分)计算：
18、(6分)先化简，后求值：，其中.
19．(6分)如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．(结果保留根号， 参考数据：，，）
20．（8分）我市某中学征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品 件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为 ；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
21．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
22．（9分）某商店出售普通练习本和精装练习本，本普通练习本和本精装练习本销售总额为元；本普通练习本和本精装练习本销售总额为元．
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
(2)该商店计划再次购进本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，已知普通练习本的进价为元/个，精装练习本的进价为元/个，设购买普通练习本个，获得的利润为元；
①求关于的函数关系式.
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润.
23.如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积.
24.若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”．
(1)函数①；②；③．其中函数______是在上的“最值差函数”；（填序号）
(2)已知函数．
①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求a的取值范围．
25．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）如图①，当PA的长度等于多少时，∠PAB＝60°，并说明理由；
（2）如图①当PA的长度等于多少时，△PAD是等腰三角形，并说明理由；
（3）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2 S1S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值
九年级3月联考数学答案
1-5 ABDCB 6-10 ADCBC
11．5（x+y）（x-y） 12.
13． 14．-2
15． 16．
17.解：原式 4分
6分
18.解：原式= 3分
= 4分
当时，原式=1 6分
19．解：延长与的延长线交于点，(1分）

，，
，
，
，（2分）
在中，，，（3分）
，（4分）
在中，，（5分）
（6分）
故答案为：．
20．（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，(1分）王老师所调查的4个班共征集到作品24件(2分)
条形统计图为（3分）：
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角（5分）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．（8分）
21．（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD（2分）
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD（4分）；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°（6分），
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°（8分）．
22.（1）解：设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据题意得：
，…………………………………………………………………………2分
解得：，
答：普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元．……………………4分
（2）解：购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据题意得：
； ……………………………………………5分
普通练习本的数量不低于精装练习本数量的倍，
，
解得：， ………………………………………………………………………7分
中，
随的增大而减小，
当时，取最大值，（个），
（元）， ………………………………………………………9分
答：当购买个普通练习本，个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为元．
23．（1）证明：∵AD=AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC=CD，
∴BC=CD=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形； ………………………………………………………………4分
（2）如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC， ………………………………………5分
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形， ……………………………………………………………………6分
∵AE⊥CB，
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴，
∴； …………………………………9分
24.解析（1）② （3分）
（2）①解：当时，二次函数
为，对称轴为直线．
当时，，
当时，，
当时，．
若，则，
∴
解得（舍去）； （4分）
若，则，
∴
解得（舍去），；
若，则，
∴
解得，（舍去）； （5分）
若，则，
∴
解得（舍去）．
综上所述，，． （6分）
②∵，
∴，
∴， （7分）
∵二次函数的对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时取得最大值，时取得最小值，（8分）
∴，
∴m，k为整数，且，
∴m的值为3，（9分）
又∵，
∴
∴．（10分）
（1）解：若∠PAB=60°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=30°，
则在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；（3分）
（2）①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，
此时P位于正方形ABCD的中心O．
则PD⊥PA，PD=PA，
∴AD2=PD2+PA2=2PA2=16，
∴PA=2．（4分）
②当PD=DA时，如图2，
令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
∵OA=OP，PD=DA，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，，
∴AG=2OG，
设AG=2x，OG=x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=，
∴AG=2x=，AP=，
∴当PA的长度等于或时，△PAD是等腰三角形．
故答案为2；或；（6分）
（3）解：如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC．

∵P点坐标为（a，b），
∴，
在△PAD、△PAB和△PBC中，
，（7分）
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴，
∴，
∴，即，（8分）
∴，（9分）
∴当a=2时，b=2，2S1S3－S22有最大值是16．（10分）
学生（序号）
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
仰卧起坐个数
52
56
50
50
48
58
52
50
54