江苏省南通市2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，先求得，再求得2的算术平方根即可．
【详解】解：∵，2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选：A．
2. 下列各数：，0，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．据此解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，（相邻两个1之间依次多一个0）为无理数，有3个，
故选：B．
3. 下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义，进行求解后，判断即可．
【详解】解：A、，正确；
B、，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项错误；
故选A．
4. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 两个锐角的和等于直角B. 相等的角是对顶角
C. 两直线平行，同位角互补D. 经过两点有且只有一条直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题的判断，根据直角，对顶角的定义，平行线的判定定理，直线公理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．当锐角为和时，和为，不是直角，故A选项不符合题意；
B．两直线平行，同位角相等，但它们不对顶角，故B选项不符合题意；
C．两直线平行，同位角相等，故C选项不符合题意；
D．经过两点有且只有一条直线，故D选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．根据图示，判断出在哪两个整数之间，即可判断出数轴上表示实数的点可能是哪个．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示实数的点可能是点R．
故选：C．
6. 如图，将沿方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则等于（ ）

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，再根据线段之间的关系进行求解即可．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵，
∴，
故选：B．
7. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角相等，领补角互补及三角板角度的有关计算，根据对顶角，领补角及余角逐个计算即可得到答案；
【详解】解：由图形可得，
选项A：，，，故不符合题意，
选项B：，，，故不符合题意，
选项C：，不一定相等，符合题意，
选项D：，故不符合题意，
故选：C．
8. 如图，直线，的顶点B在直线上，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得，进而可求解，熟练掌握：“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
故选B．
9. 正整数a、b分别满足，则 ( )
A. 16B. 9C. 8D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，，
∴，
故选：A．
10. 如图，在四边形中，，平分，，，点在直线上，满足． 若，则的值是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
分类讨论：①当点H在点F的上方时，设，根据时平行线的性质和垂直的性质可得、，再根据角平分线的性质可得即，再结合可得，然后可得，再根据列式即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k的值．
【详解】解：如图，当点H在点F的上方时，设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点H在点F的下方时，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 如图，请添加一个条件，使得，这一条件可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理进行求解即可．
【详解】解：添加条件，可以由同位角相等，两直线平行得到，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质和算术平方根．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
13. 如图，已知，，若， _____．
【答案】##32度
【解析】
【分析】本题考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等解答．
【详解】∵，
∴与互为余角，
∵，
∴与互为余角，
∴根据同角的余角相等，得，
故答案为：．
14. 比较下列实数的大小：_______（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比较实数的大小，根据算术平方根和立方根的定义求解即可，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是______．
【答案】49
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出m的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数．
【详解】解：由题意得：
解得
故答案为：．
16. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________．
【答案】##21度
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，则有，由对顶角相等得，从而得．
详解】解：由折叠得：，，，，
是长方形，，
，
，，
，
，
，
，
与重合，
，
，
故答案为：
17. 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行次操作后变为，类似地，对只需进行______次操作后变为．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，仿照例题的解题思路进行计算即可解答；
【详解】解：，
∴对只需进行次操作后变为，
故答案为：．
18. 如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为_____．

【答案】##52度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点作，过作，

设，，
∵，交于，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 求x的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查立方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义．
（1）整理后，根据平方根的定义计算即可；
（2）整理后，根据立方根的定义计算即可．
【小问1详解】
解：，
整理得，
∴，即，
∴或；
【小问2详解】
解：，
整理得，
∴，即，
∴．
21. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，、、都在格点上．

（1）利用网格作图：
①过点画直线的平行线；
②过点画直线的垂线，垂足为点；
（2）点到直线的距离是线段________的长度；
（3）比较大小：________（填、或），理由：________．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】（1）①在的右侧取格点，再画直线即可，②如图，取格点，再画直线交于即可．
（2）根据点到直线的距离的定义判断即可．
（3）根据垂线段最短，解决问题即可．
【小问1详解】
解：①如图，直线即为所求作．

②如图，直线即为所求作．
【小问2详解】
线段的长度是点C到直线的距离，
【小问3详解】
．
理由：垂线段最短．
【点睛】本题考查画平行线，画垂线，平行线的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平行线的判定．
22. 如图，已知点在同一直线上，，平分．
（1）若，求和的度数．
（2）若恰好平分，求的度数．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键．
（1）首先根据垂直的概念得到，根据角的和差关系和平角的概念求出的度数；然后结合角平分线的概念求出的度数；
（2）根据角平分线的概念求解即可．
【小问1详解】
；
，平分
【小问2详解】
平分
平分
．
23. 如图，点上，点在上，分别交于点，已知，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，且，求的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据对顶角相等并结合题意得到，即可判定；
（2）根据同旁内角互补，两直线平行得出，根据平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，，，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
，
，即，
，
∴．
24. 我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问顾：
（1）整数部分是________，小数部分是________；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
【答案】（1）5，
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的估算方法，求一个数的立方根的方法，代入求值的方法的综合，掌握以上知识，计算方法是解题的关键．
（1）根据材料提示即可求解；
（2）根据材料提示分别求出a，b的值，代入计算的值，再根据求一个数的立方根的运算方法即可求解．
【小问1详解】
解：，
的整数部分是5，小数部分是．
故答案为：5，；
【小问2详解】
解：的整数部分为a，且，
，
，
，
又的整数部分为b，
，
，
的立方根是4．
25. 如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．

（1）如图①，若，求的度数．
（2）如图②，若，平分，求的度数．
（3）在（1）条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据平角的定义和已知角求解即可；
（2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案；
（3）根据t的取值范围分别进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
，
,
平分，
∴，
∴；
【小问3详解】
由得
当时，，
解得，（舍）；
当时，，
解得，；
当时，，
解得（舍）；
当时，，
解得，，
综上所述，或．
26. 如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
（1）当，平分，平分时：
①如图1，若，求的度数；
②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
（2）如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，以及角平分线的定义，
（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；
（2）过点作，则，设，，，根据平行线的性质求得，从而求解．
掌握平行线的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：①如图，分别过点，作，，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：；
②如图，过点作，
，
恰好平分，恰好平分，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
；
【小问2详解】
结论：；
理由：在的上方有一点，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点，
，，
设，，
如图，过点作，则，
，，
，
，，
由（1）可知，
，
，
，
，
．