专题07：解三角形（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义

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8.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
题型一：正弦、余弦定理
【典例例题】
例1.（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，求的值．
【变式训练】
1.（2024春·新高考）（多选）在中，，，，则可能为（ ）
A．B．C．D．
2.（2024春·四川雅安）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2024春·江苏南通）记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024春·广东深圳）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：三角形面积公式
【典例例题】
例1.（2024春·贵州黔东南）在中，内角的对边分别是，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【变式训练】
1.（2024春·浙江）记的内角所对的边分别是，且满足.
(1)证明：；
(2)若的面积为，求；
2．（2024春·陕西）在中，为边上一点，，且的面积为．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
3．（2024春·江西）在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，．
(1)若，求c；
(2)若，求的值．
题型三：正弦、余弦定理在几何中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·广东实验中学）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，
（1）若，求的长；
（2）若，求
【变式训练】
1.（2024春·山东济南）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长.
2．（2024春·黑龙江齐齐哈尔）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线长.
3．（2024春·安徽合肥）在中，内角的对边分別为，.
(1)求角C；
(2)若，求角的平分线的长度.
题型四：解三角形最值问题
【典例例题】
例1.（2024春·广东省）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（2024春·陕西安康）在中，角的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
2．（2024春·北京）已知的内角的对边分别为，且满足，．
(1)求的大小；
(2)已知是的中线，求的最大值．
3．（2024春·山东威海）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最大值.
4.（2024春·四川德阳）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
题型五：解三角形实例应用
【典例例题】
例1.（2024春·上海静安）如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．

(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；
(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
【变式训练】
1.（2024春·贵州）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（ ）
A．B．C．D．
2．（2024春·吉林）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2024春·湖南长沙）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 .
4．（2024春·北京海淀）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米.
一、单项选择
1.（2024春·广东汕头市）锐角中，若，则（ ）
A. B. C. D.
2．（2024春·湖南长沙）在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024春·重庆）在中，内角的对边分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
填空题
4．（2024春·江西南昌）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为 m.

5．（2024春·山东济南）已知的内角所对的边分别为，已知，，则外接圆的半径为 ．
6．（2024春·安徽）马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则两座岛之间的距离为 百海里.

7．（2024春·江西南昌）如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度(点O在正门柱楼底部)．现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为，且，m，则 m.
8．（2024春·广东东莞）中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
三、简答题
9．（2024春·河南信阳）如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2024春·山西吕梁）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)设的角平分线交于点，求的最小值．
11．（2024春·安徽合肥）在中，的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)已知点在线段上，且，求长.
12．（2024春·浙江丽水）在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)若，求四边形面积的最大值．
13．（2024春·四川）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于，求的长.
14.（2024春·广东省东莞市） 中，角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，且D为△ABC外接圆劣弧上一点，求的取值范围．