专题1-7 一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

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\l "_Tc151938366" 题型一 弦切角定理与切割线定理
\l "_Tc151938367" 湖北·黄石中考
\l "_Tc151938368" 湖北·十堰中考
\l "_Tc151938369" 2023·新疆·中考真题
\l "_Tc151938370" 题型二 中点弧模型
\l "_Tc151938371" 苏州·中考真题
\l "_Tc151938372" 深圳·中考真题
\l "_Tc151938373" 2023·山东枣庄·统考中考真题
\l "_Tc151938374" 2023·江苏无锡·统考中考真题
\l "_Tc151938375" 2023·四川遂宁·统考中考真题
\l "_Tc151938376" 题型三 内心模型
\l "_Tc151938377" 黑龙江绥化·中考真题
\l "_Tc151938378" 广东省卷·中考真题
\l "_Tc151938379" 湖北·孝感中考真题
\l "_Tc151938380" 题型四 线段和差问题（构造手拉手r阿基米德折弦定理）
\l "_Tc151938381" 类型一：构造手拉手
\l "_Tc151938382" 2023·吉林长春·统考中考真题
\l "_Tc151938383" 类型二：折弦定理
\l "_Tc151938384" 山西中考
\l "_Tc151938385" 深圳·中考
\l "_Tc151938386" 题型五 平行弦与相交弦模型
\l "_Tc151938387" 2023·江苏苏州·统考中考真题
\l "_Tc151938388" 深圳·中考
\l "_Tc151938389" 2022·湖南张家界·中考真题
\l "_Tc151938390" 题型六 垂径图
\l "_Tc151938391" 四川绵阳·中考
\l "_Tc151938392" 题型七 等腰图（直径在腰上）
\l "_Tc151938393" 2023·四川成都·统考中考真题
\l "_Tc151938394" 四川宜宾·统考中考真题
\l "_Tc151938395" 2023·湖北黄冈·统考中考真题
\l "_Tc151938396" 2023·辽宁营口·统考中考真题
\l "_Tc151938397" 广西玉林·统考中考真题
\l "_Tc151938398" 2023·四川眉山·统考中考真题
\l "_Tc151938399" 湖北孝感·中考真题
\l "_Tc151938400" 2022·湖北十堰·统考中考真题
\l "_Tc151938401" 题型八 双切图
\l "_Tc151938402" 四川遂宁·统考中考真题
\l "_Tc151938403" 湖北武汉·中考真题
\l "_Tc151938404" 四川泸州·中考真题
\l "_Tc151938405" 四川乐山·中考真题
\l "_Tc151938406" 广东省卷·统考中考真题
\l "_Tc151938407" 四川·乐山中考
\l "_Tc151938408" 湖北武汉·中考真题
\l "_Tc151938409" 题型九 射影图
\l "_Tc151938410" 安徽·统考一模
\l "_Tc151938411" 四川成都·统考一模
\l "_Tc151938412" 2023·湖南永州·统考中考真题
\l "_Tc151938413" 2023·四川广安·统考中考真题
\l "_Tc151938414" 题型十 切割图
模型梳理
圆的基本模型（一）：弦切角定理与切割线定理
①是切线；②（弦切角定理）；③
以上三个结论知一推二
弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)所对的圆周角∠2
圆的基本模型（二）：中点弧模型
点P是优弧AB上一动点，则
【以下五个条件知一推四】
点C是的中点
AC＝BC
OC⊥AB
PC平分∠APB
(即)
【例题】
如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则 ．
【简证】
易知，则，
圆的基本模型（三）：内心模型与等腰
【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰
如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD
 
【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3
圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）
一、中点弧与旋转
【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点
邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.

由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.
常见结构（1）：圆内接等边三角形
结论：PB+PA=PC
【简析】
常见结构（2）：圆内接等腰直角三角形（正方形）
结论：
【简析】
补充：【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）
二、阿基米德折弦定理
【模型解读】
【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC
证法一：(补短法)
如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为中点 ∴＝， ∴∠1＝∠2－－－①
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),M C) ＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),M C)， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③
由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④
由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF
在△MBF与△MBA中；
eq \B\lc\{(\a\al(BF＝BA,∠MBA＝∠MBF,MB＝MB)) ∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC
又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕)
证法二：(截长法——两种截取方式)
如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可
∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM) ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)中点， ∴MA＝MC－－－②
由①②可知，在△MBA与△MGC中
∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证毕)

如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可
简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型，
∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG
常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－①
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC) ＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)， ∴∠1＝∠2－－－② ∵M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)中点， ∴ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MA)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC) ∴∠1＝∠MCA－－－③
由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝∠MBA
又∵＝， ∴＝
在△MBA与△MGC中
∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC
∴AB＋BD＝DC（证毕）
证法三：(翻折)——证共线
如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE
∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－－①
又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－－②
又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③
由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE
∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB
∴AB＋BD＝DC（证毕）

证法四：两次全等
如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H，
∵M为 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A C)的中点 ∴AM＝MC， 又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM) ∴∠HAM＝∠DCM
又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中
∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－－① MD＝MH 在Rt△MHB与RtT△MDB中
∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH， ∴ AH＝AB＋BD－－－②
由①②可得DC＝AB＋BD(证毕)
证法五：补短法（2）——两次全等
如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH，
先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL)
圆的基本模型（五）：平行弦与相交弦，割线定理
一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴
二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG
三、割线定理
割线PD、PC相交于点P，则
圆的基本模型（六）：垂径图
一、弧中点与垂径图
知1推5
AD平分∠CAB
D是的中点
DO⊥CB
二、垂径+相等的三段弧
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)证CO∥BD
(2) AD＝CE
(3)证：P是线段AQ的中点
(4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB
(5)tan∠DBC＝
(6) 若AD＝8，BD＝6，求AH的值
(7) 若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.
【简证】
（1）
（2）
(3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，
∴AP＝PQ＝CP
（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB
（5）
（6）法一
（6）法二
（7）找到对应相似三角形是关键
补充拓展：垂径图导子母相似
如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB于点P
（1）证； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？
圆的基本模型（七）：等腰图
直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有
结论
（1）BD=CD=ED
（2）DO∥ AC
（3）知1推3：
【补充】
圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有

圆的基本模型（八）：双切图

补充：多切图
内切圆半径为r∠C＝90°⇒r＝a＋b-c2 内切圆半径为r∠C≠90°⟹(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求)
BE，BC，GC与⊙O相切R为⊙O的半径⟹①BC＝BE＋CO②OB⊥OC,EF⊥FG③EF∥OC，OB∥GF④矩形OAFD⑤R＝OB·OCBC＝OB·OCBG＋CG·2R＝BC2-CG-BE2
圆的基本模型（九）：射影图

圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）


题型一 弦切角定理与切割线定理
湖北·黄石中考
如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；(2)若，求弦的长．
湖北·十堰中考
如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．
2023·新疆·中考真题
如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．
求证：是的切线；(2)若，，求的长．
如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB：
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
题型二 中点弧模型
苏州·中考真题
如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．
（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．
深圳·中考真题
如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CD)沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ADB)的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BC)于点F（F与B、C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值
2023·山东枣庄·统考中考真题
如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
2023·江苏无锡·统考中考真题
如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
求的度数；(2)若，求的半径．
2023·四川遂宁·统考中考真题
如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
题型三 内心模型
已知：如图，在中，E是内心，延长AE交的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．
求证：；
当点A在优弧BC上运动时，若，，，求y与x之间的函数关系．
黑龙江绥化·中考真题
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D
（1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB．
广东省卷·中考真题
如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
湖北·孝感中考真题
如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
题型四 线段和差问题（构造手拉手r阿基米德折弦定理）
类型一：构造手拉手
在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是 ．
如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．
2023·吉林长春·统考中考真题
【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
类型二：折弦定理
如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，过点M作MD⊥BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理）
如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周长。

己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意
一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。
(1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,
求证: AE=PE+PB
(2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB
之间存在怎样的数量关系?写出结论，并证明。
如图，在⊙O中AB=AC，点D是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CMB)上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，
∠BAC=120°
（1）若AC=4，求⊙O的半径
（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。

如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ACB)的中点，求证AD²=AC·BC+CD²

已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC

山西中考
古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，
连接MA,MB,MC和MG．
∵M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，
∴ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MA)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)
∴MA=MC．
（2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．

深圳·中考
如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)上的动点，且cs∠ABC=EQ \F(\R(,10),10)．
（1）求AB的长度；
（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出AD﹒AE的值；若变化，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH．
（4）求DA,DB,DC之间的数量关系

已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积


如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3，cs∠ABC=，D是劣弧AC上一点，且AD=2CD，求BD的长为.

如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）证明：AD=AC
（2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．
题型五 平行弦与相交弦模型
如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O的直径是（ ）
A．2B．C．2D．5
如图，半圆O的直径，延长到A，直线AD交半圆于点E，D，且，求的长．
2023·江苏苏州·统考中考真题
如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；(2)若，求的长．
如图，和是的半径，并且，是上任意一点，的延长线交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当时，试确定的取值范围；
（3）求证：
深圳·中考
如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， ．
2022·湖南张家界·中考真题
如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
题型六 垂径图
如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
四川绵阳·中考
如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为EQ D, \\ac(\S\UP7(⌒),AC)＝EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CE)．
（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．
题型七 等腰图（直径在腰上）
2023·四川成都·统考中考真题
如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．

(1)求证：；(2)若，求和的长．
四川宜宾·统考中考真题
如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．
（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径的长；（3）求线段的长．

2023·湖北黄冈·统考中考真题
如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．

(1)求证：；(2)若，求的长．
2023·辽宁营口·统考中考真题
如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．
（2022·江苏无锡·校联考一模）如图所示，在中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．
广西玉林·统考中考真题
如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△的中位线；（2）求EF的长．
2023·四川眉山·统考中考真题
如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
湖北孝感·中考真题
如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.
（2023·湖南娄底·一模）如图，在中，平分，交于点．是的直径，连接、过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为5，，求的长．
2022·湖北十堰·统考中考真题
如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，OE∥BC交AC于点E，连接DE.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若OE＝1，tan∠ODE＝，求AB的长.
【解析】(1)连接AO，证AO平分∠BAC，AO⊥BC.延长OE交CD于点H，
∵OE∥BC，∴∠OHD＝∠BCD＝90°，∴OH 垂直平分CD，∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠CAO＝∠BAC＝∠BDC，∴DE平分∠BDC；
(2)延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∵tan∠ODE＝tan∠EDC＝tan∠OAE＝＝，∴OA＝2OE＝2＝OB，∵tan∠BAM＝＝tan∠OAE＝，设BM＝x，则AM＝2x，OM＝2x－2，∴在Rt△BOM中，x2＋(2x－2)2＝22，∴x＝ (x＝0已舍)，∴AB＝＝x＝.
如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，分别过A，C两点作⊙O的切线相交于点P，连接BP交AC于点D.
(1)求证：PA∥BC；
(2)若sin∠BAC＝，求的值.
【解析】(1)连接AO并延长交BC于点H，连接OB，OC，则△AOB≌△AOC，∴∠BAO＝∠CAO，∴AH⊥BC，∵PA为切线，∴∠OAP＝90°，∴PA∥BC；
(2)证∠BOH＝∠BAC，设OB＝5x，BH＝4x，OH＝3x，BC＝8x，tan∠BAH＝＝＝tan∠CAH＝tan∠APO＝.∴PA＝10x，∴＝＝＝.
如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
(1)求证：AO平分∠BAC；
(2)若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长.
解：(1)方法一：连接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的中垂线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；
方法二：证△AOB≌△AOC(SSS)即可；
(2)延长CD交⊙O于点E，连接BE，延长AO交BC于点H，∵sin∠BOH＝sin∠BAC＝，∴＝，
∴易求出AO＝OE＝5，BE＝8，易证BE∥OA，得＝＝，可求出OD＝，∴CD＝，BH＝3，AH＝9，容易求出AB＝AC＝3.
如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D.
(1)求证：2AC2＝AD·BC；
(2)连接BD交AC于点P，若＝，求sin∠BAC的值.
解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，AE⊥AD，∴AD∥BC，CE＝BC，
∴△ACE∽△DAC，∴＝，∴AC2＝CE·AD，∴2AC2＝AD·BC；
(2)由(1)知：AD∥BC，∴＝＝，∴可设AD＝3，BC＝2，∵2AC2＝AD·BC，∴AC＝AB＝，∴AE＝＝2，连接OC，设OA＝OC＝r，则OE＝－r，
∴在Rt△COE 中，r2＝(－r)2＋12，∴r＝，∴sin∠BAC＝sin∠COE＝＝.
如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，连接BO并延长交AC于点D.
(1)求⊙O的半径长；
(2)求CD的长.
解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，∴BE＝BC＝6，∴AE＝＝8.
设OA＝OB＝r，则OE＝8－r，∴在Rt△BOE中，r2＝62＋(8－r)2，∴r＝；
(2)由(1)知OE＝，延长BD交⊙O于点F，连接CF，则CF＝2OF＝.
∵AO∥CF，∴△AOD∽△CFD，∴＝＝，∴CD＝AC＝.
题型八 双切图
四川遂宁·统考中考真题
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）求证：＝．
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
湖北武汉·中考真题
如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.
如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长
四川泸州·中考真题
如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
四川乐山·中考真题
如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．
广东省卷·统考中考真题
如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
四川·乐山中考
如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．
湖北武汉·中考真题
如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB，
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
题型九 射影图
如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行线OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径；
(3)若DC＝DE＝1，求AD的长．
安徽·统考一模
如图，中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
四川成都·统考一模
如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是的切线；
（2）设的半径为r，证明；
（3）若，求AD之长.
（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)连接，若，，求的长．
2023·湖南永州·统考中考真题
如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
2023·四川广安·统考中考真题
如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
(3)求证：．
题型十 切割图
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)直线BE交AC于点F，若cs∠CAD＝，求的值.
如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF交AC于点M.
(1)求证： ＝ ；
(2)如图2，若＝，求tan∠BAC的值.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若cs∠ABC＝，AE＝4，求CD的长.
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接BD.
(1)求证： ＝；
(2)若cs∠CAD＝，求tan∠BDC的值.
如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G.
(1)求证：＝；
(2)若＝，求tan∠ODE的值.