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【湖南专用】04-函数(基础卷)
展开选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.函数fx=x-1x-2的定义域为( )
A.1,+∞B.1,+∞
C.1,2D.1,2∪2,+∞
【答案】D
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零,分母不等于零计算即可.
【详解】由fx=x-1x-2,
得x-1≥0x-2≠0,解得x>1且x≠2,
所以函数fx=x-1x-2的定义域为1,2∪2,+∞.
故选:D.
2.函数y=x-2的定义域是( )
A.2,+∞B.2,+∞C.-∞,2D.
【答案】A
【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.
【详解】∵有意义,∴x-2≥0,即x≥2,
所以函数y=x-2的定义域是2,+∞,
故选: A.
3.已知函数fx=x,x≤01x,x>0,若fx0=2,则x0=( )
A.12B.-12C.2D.-2
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式,代入求值,即可得答案.
【详解】当x≤0时,f(x)=x≤0,当x>0时,f(x)=1x>0,
故由fx0=2,得1x0=2,∴x0=12,
故选:A
4.下列函数的定义域与值域相同的是( )
A.y=x+1B.y=2x+1
C.y=x2-6x+7D.y=x2-1
【答案】A
【分析】分别求出各函数的定义域和值域,逐一判断即可.
【详解】函数y=x+1的定义域和值域都为R,A正确;
y=2x+1的定义域为-1,+∞,值域为0,+∞,B错误;
y=x2-6x+7=x-32-2的定义域为R,值域为-2,+∞,C错误;
y=x2-1的定义域为R,值域为-1,+∞,D错误.
故选:A
5.已知函数fx=x2-x,x>0x,x≤0则ff-1=( )
A.1B.0C.2D.-1
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】由fx=x2-x,x>0x,x≤0可得f-1=-1=1,
所以ff-1=f1=12-1=0,即S=1, 2, 3, 4, 5.
故选:B.
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3-3x2,则f(-1)=( )
A.-2B.2C.3D.-3
【答案】B
【分析】由函数为奇函数,有f(-1)=-f(1),代入函数解析式求值即可.
【详解】f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3-3x2,
则.
故选:B.
7.函数fx=2x-1+1-x的定义域为( )
A.xx≥12B.x12≤x≤1
C.xx≥1D.x12
【分析】由被开方数大于等于零求出定义域.
【详解】由已知可得2x-1≥01-x≥0⇒12≤x≤1,
所以定义域为x12≤x≤1.
故选:B
8.已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且当x>0时,,则f(-1)=( )
A.B.1C.0D.
【答案】B
【分析】求出f1=-1,根据函数为奇函数得到f-1.
【详解】f1=12-2=-1,又fx在R上是奇函数,
故f-1=-f1=1.
故选:B
9.已知函数y=f2x+1定义域是-1,0,则的定义域是( )
A.-2,0B.0,2C.-1,1D.-2,2
【答案】C
【分析】根据抽象函数求定义域法则得到答案..
【详解】x∈-1,0,则2x+1∈-1,1,故的定义域是-1,1.
故选:C
10.当x∈0,+∞时,函数为减函数的m的取值范围为( )
A.0,2B.2,+∞
C.-∞,0∪0,2D.0,2
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解.
【详解】当m>0时,因为函数在0,+∞为减函数,
所以m2-2m<0,解得0
所以函数y=xm2-2m在0,+∞为增函数,
所以m2-2m>0,解得m<0或m>2(舍);
综上m的取值范围为-∞,0∪0,2,
故选:C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.已知幂函数fx=xa的图象经过点16,4,则f9= .
【答案】3
【分析】根据给定条件,求出函数f(x)的解析式,再求出函数值即得.
【详解】依题意,16a=4,解得a=12,因此f(x)=x12,
所以f(9)=912=3.
故答案为:3
12.函数的定义域为区间,则函数y=f(1-x)的定义域为 .
【答案】0,2
【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案.
【详解】因为函数的定义域为区间,所以2x-1∈-1,1,
令1-x∈-1,1,解得0
13.已知函数fx=m-2xm是幂函数,则f2= .
【答案】8
【分析】根据幂函数的定义求出参数m,得到函数解析式再求值即得.
【详解】∵函数f(x)=(m-2)xm是幂函数,∴m-2=1,m=3,f(x)=x3, 所以f(2)=8.
故答案为:8.
14.已知幂函数y=xa是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数a的值可以是 .
【答案】(答案不唯一)
【详解】举例a=-1,则y=x-1,根据反比例函数的性质知其为奇函数,
且在(0,+∞)上单调递减,满足题意.
故答案为:(答案不唯一).
15.设函数fx=x2,x≤0x+2,x>0,则ff-3=
【答案】11
【分析】根据给定的分段函数,依次判断代入计算作答.
【详解】由fx=x2,x≤0x+2,x>0,得f-3=9,
所以ff-3=f9=11.
故答案为:11.
三、解答题(本大题共7小题,满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)已知函数fx=x+3+1x+2.
(1)求函数的定义域;
(2)求f-3的值;
(3)当x>0时,求fx-1的解析式.
【答案】(1)-3,-2∪-2,+∞
(2)
(3)fx-1=x+2+1x+1
【分析】(1)根据解析式直接求解定义域;
(2)赋值直接求解即可;
(3)根据条件直接整体代入即可.
【详解】(1)因为fx=x+3+1x+2,
所以x+3≥0x+2≠0,解得x≥-3且x≠-2,
即函数fx定义域为-3,-2∪-2,+∞.
(2)f-3=-3+3+1-3+2=-1.
(3)当x>0时,x-1>-1,
则fx-1=x-1+3+1x-1+2
=x+2+1x+1.
17.(10分)已知二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=-12,且f(0)=-1,f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在上的值域.
【答案】(1)f(x)=2(x+12)2-32;
(2)[-32,3).
【分析】(1)设f(x)=a(x+12)2+m且a≠0,结合已知,应用待定系数法求解析式;
(2)由f(x)在(-1,-12)上递减,在(-12,1)上递增,结合二次函数的对称性即可确定上的值域.
【详解】(1)由题设,令f(x)=a(x+12)2+m且a≠0,
则f(0)=a4+m=-1f(1)=9a4+m=3⇒a=2m=-32,故f(x)=2(x+12)2-32.
(2)由f(x)在(-1,-12)上递减,在(-12,1)上递增,结合二次函数对称性,
在上,最小值f(-12)=-32,且f(x)
18.(10分)已知函数fx=1-4x.
(1)若gx=fx-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断fx在0,+∞上的单调性,并用定义证明.
【答案】(1)a=1;
(2)fx在0,+∞上递增,证明见解析.
【分析】(1)由奇偶性定义,先确定函数定义域,再由g-x=-g(x)求参数.
(2)令x1>x2>0,应用作差法比较fx1,fx2大小即可证.
【详解】(1)由题设gx=1-a-4x,且定义域为,
又gx为奇函数,则g-x=1-a+4x=-g(x),
所以1-a+4x=4x+a-1⇒a=1.
(2)fx在0,+∞上递增,证明如下:
令x1>x2>0,则fx1-fx2=1-4x1-(1-4x2)=4(x1-x2)x1x2,
x1-x2>0,x1x2>0,故fx1-fx2>0,即fx1>fx2,
所以fx在0,+∞上递增.
19.(10分)已知函数f(x)=mx2+1-3mx-4,m∈R.
(1)已知f(2)=10,求实数m的值;
(2)当m=1时,求f(x)在区间[-2,2]上的值域.
【答案】(1)-6
(2)
【分析】(1)根据f(2)=10列等式求解m的值;
(2)根据二次函数的性质即可得到值域.
【详解】(1)因为f(2)=10,所以m⋅22+1-3m⋅2-4=10,解得m=-6;
(2)当m=1时,f(x)=x2-2x-4=x-12-5,
因为x∈[-2,2],所以fx的值域为f1,f-2,f(1)=-5,f(-2)=4,
即f(x)在区间[-2,2]上的值域.
20.(10分)已知函数fx=x-mx,且f1=-1.
(1)求m的值;
(2)判断fx在0,+∞上的单调性,并给予证明.
【答案】(1)2
(2)fx在0,+∞上的单调递增;证明见解析;
【分析】(1)将f1=-1代入计算即可求得m=2;
(2)利用函数单调性的定义,按照取值、作差、变形定号、下结论即可证明得出结论;
【详解】(1)由f1=-1可得f1=1-m=-1,
可得m=2;
(2)fx在0,+∞上的单调递增;
证明如下:取∀x1,x2∈0,+∞,且x1
易知x1-x2<0,又x1,x2∈0,+∞,所以1+2x1x2>0;
可得fx1-fx2=x1-x21+2x1x2<0,即fx1
21.(5分)已知函数fx=2x-1x+1.
(1)试判断函数fx在区间上的单调性,并证明;
(2)求函数fx在区间0,+∞上的值城.
【答案】(1)在区间上单调递增,证明见解析
(2)-1,2.
【分析】(1)利用定义法证明单调性即可;
(2)由函数的单调性求值域即可.
【详解】(1)易知fx=2x-1x+1=2-3x+1x≠-1,
设x1,x2∈-1,+∞,且x1
又由-1
所以fx1-fx2<0,即fx在区间上单调递增;
(2)由上可知函数fx在区间0,+∞上单调递增,则fx≥f0=-1,
又fx=2x-1x+1=2-3x+1<2,
故fx的值域为-1,2.
22.(5分)设函数fx=x+4x.
(1)判断函数fx奇偶性并证明;
(2)用单调性定义证明:函数fx在2,+∞上单调递增.
【答案】(1)fx为奇函数,证明如下.
(2)证明如下.
【分析】(1)用奇函数的性质证明即可.
(2)用定义证明单调性即可.
【详解】(1)fx为奇函数;
证明:由题意知fx的定义域x|x≠0关于原点对称,
且f-x=-x+4-x=-x+4x=-fx,故得证;
(2)证明:设任意的2
所以fx1-fx2<0,
故函数fx在2,+∞上单调递增
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【湖南专用】06-三角函数(基础卷)(原卷版): 这是一份【湖南专用】06-三角函数(基础卷)(原卷版),共5页。试卷主要包含了函数的最小正周期是,已知,且,则为,若角终边上一点,且,则,已知点在的终边上,则,下列函数是奇函数的是,要得到函数的图象,只需将的图象,设,则,与角终边相同的角可以表示为等内容,欢迎下载使用。