【湖南专用】04-函数（基础卷）

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选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．函数fx=x-1x-2的定义域为（ ）
A．1,+∞B．1,+∞
C．1,2D．1,2∪2,+∞
【答案】D
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由fx=x-1x-2，
得x-1≥0x-2≠0，解得x>1且x≠2，
所以函数fx=x-1x-2的定义域为1,2∪2,+∞.
故选：D.
2．函数y=x-2的定义域是（ ）
A．2,+∞B．2,+∞C．-∞,2D．
【答案】A
【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.
【详解】∵有意义，∴x-2≥0，即x≥2，
所以函数y=x-2的定义域是2,+∞，
故选: A.
3．已知函数fx=x,x≤01x,x>0，若fx0=2，则x0=（ ）
A．12B．-12C．2D．-2
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.
【详解】当x≤0时，f(x)=x≤0，当x>0时，f(x)=1x>0，
故由fx0=2，得1x0=2,∴x0=12，
故选：A
4．下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A．y=x+1B．y=2x+1
C．y=x2-6x+7D．y=x2-1
【答案】A
【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可.
【详解】函数y=x+1的定义域和值域都为R，A正确；
y=2x+1的定义域为-1,+∞，值域为0,+∞，B错误；
y=x2-6x+7=x-32-2的定义域为R，值域为-2,+∞，C错误；
y=x2-1的定义域为R，值域为-1,+∞，D错误.
故选：A
5．已知函数fx=x2-x,x>0x,x≤0则ff-1=（ ）
A．1B．0C．2D．-1
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】由fx=x2-x,x>0x,x≤0可得f-1=-1=1，
所以ff-1=f1=12-1=0，即S=1, 2, 3, 4, 5.
故选:B.
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3-3x2，则f(-1)=（ ）
A．-2B．2C．3D．-3
【答案】B
【分析】由函数为奇函数，有f(-1)=-f(1)，代入函数解析式求值即可．
【详解】f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3-3x2，
则．
故选：B．
7．函数fx=2x-1+1-x的定义域为（ ）
A．xx≥12B．x12≤x≤1
C．xx≥1D．x12【答案】B
【分析】由被开方数大于等于零求出定义域.
【详解】由已知可得2x-1≥01-x≥0⇒12≤x≤1，
所以定义域为x12≤x≤1.
故选：B
8．已知函数y=f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，，则f(-1)=（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【分析】求出f1=-1，根据函数为奇函数得到f-1.
【详解】f1=12-2=-1，又fx在R上是奇函数，
故f-1=-f1=1.
故选：B
9．已知函数y=f2x+1定义域是-1,0，则的定义域是（ ）
A．-2,0B．0,2C．-1,1D．-2,2
【答案】C
【分析】根据抽象函数求定义域法则得到答案..
【详解】x∈-1,0，则2x+1∈-1,1，故的定义域是-1,1.
故选：C
10．当x∈0,+∞时，函数为减函数的m的取值范围为（ ）
A．0,2B．2,+∞
C．-∞,0∪0,2D．0,2
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质以及一元二次不等式的解法求解.
【详解】当m>0时，因为函数在0,+∞为减函数，
所以m2-2m<0，解得0当m<0时，因为函数在0,+∞为减函数，
所以函数y=xm2-2m在0,+∞为增函数，
所以m2-2m>0，解得m<0或m>2（舍）；
综上m的取值范围为-∞,0∪0,2，
故选：C.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知幂函数fx=xa的图象经过点16,4，则f9= .
【答案】3
【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的解析式，再求出函数值即得.
【详解】依题意，16a=4，解得a=12，因此f(x)=x12，
所以f(9)=912=3.
故答案为：3
12．函数的定义域为区间，则函数y=f(1-x)的定义域为 ．
【答案】0,2
【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案.
【详解】因为函数的定义域为区间，所以2x-1∈-1,1，
令1-x∈-1,1，解得0故答案为：0,2
13．已知函数fx=m-2xm是幂函数，则f2= .
【答案】8
【分析】根据幂函数的定义求出参数m，得到函数解析式再求值即得.
【详解】∵函数f(x)=(m-2)xm是幂函数，∴m-2=1，m=3，f(x)=x3， 所以f(2)=8.
故答案为：8.
14．已知幂函数y=xa是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，则实数a的值可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】举例a=-1，则y=x-1，根据反比例函数的性质知其为奇函数，
且在(0,+∞)上单调递减，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
15．设函数fx=x2,x≤0x+2,x>0，则ff-3=
【答案】11
【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算作答.
【详解】由fx=x2,x≤0x+2,x>0，得f-3=9，
所以ff-3=f9=11.
故答案为：11.
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知函数fx=x+3+1x+2.
(1)求函数的定义域；
(2)求f-3的值；
(3)当x>0时，求fx-1的解析式.
【答案】(1)-3,-2∪-2,+∞
(2)
(3)fx-1=x+2+1x+1
【分析】（1）根据解析式直接求解定义域；
（2）赋值直接求解即可；
（3）根据条件直接整体代入即可.
【详解】（1）因为fx=x+3+1x+2，
所以x+3≥0x+2≠0，解得x≥-3且x≠-2，
即函数fx定义域为-3,-2∪-2,+∞.
（2）f-3=-3+3+1-3+2=-1.
（3）当x>0时，x-1>-1，
则fx-1=x-1+3+1x-1+2
=x+2+1x+1.
17．（10分）已知二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=-12，且f(0)=-1,f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在上的值域.
【答案】(1)f(x)=2(x+12)2-32；
(2)[-32,3).
【分析】（1）设f(x)=a(x+12)2+m且a≠0，结合已知，应用待定系数法求解析式；
（2）由f(x)在(-1,-12)上递减，在(-12,1)上递增，结合二次函数的对称性即可确定上的值域.
【详解】（1）由题设，令f(x)=a(x+12)2+m且a≠0，
则f(0)=a4+m=-1f(1)=9a4+m=3⇒a=2m=-32，故f(x)=2(x+12)2-32.
（2）由f(x)在(-1,-12)上递减，在(-12,1)上递增，结合二次函数对称性，
在上，最小值f(-12)=-32，且f(x)所以f(x)在上的值域为[-32,3).
18．（10分）已知函数fx=1-4x．
(1)若gx=fx-a为奇函数，求a的值；
(2)试判断fx在0,+∞上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)a=1；
(2)fx在0,+∞上递增，证明见解析.
【分析】（1）由奇偶性定义，先确定函数定义域，再由g-x=-g(x)求参数.
（2）令x1>x2>0，应用作差法比较fx1,fx2大小即可证.
【详解】（1）由题设gx=1-a-4x，且定义域为，
又gx为奇函数，则g-x=1-a+4x=-g(x)，
所以1-a+4x=4x+a-1⇒a=1.
（2）fx在0,+∞上递增，证明如下：
令x1>x2>0，则fx1-fx2=1-4x1-(1-4x2)=4(x1-x2)x1x2，
x1-x2>0，x1x2>0，故fx1-fx2>0，即fx1>fx2，
所以fx在0,+∞上递增.
19．（10分）已知函数f(x)=mx2+1-3mx-4,m∈R.
(1)已知f(2)=10，求实数m的值；
(2)当m=1时，求f(x)在区间[-2,2]上的值域.
【答案】(1)-6
(2)
【分析】（1）根据f(2)=10列等式求解m的值；
（2）根据二次函数的性质即可得到值域.
【详解】（1）因为f(2)=10，所以m⋅22+1-3m⋅2-4=10，解得m=-6；
（2）当m=1时，f(x)=x2-2x-4=x-12-5，
因为x∈[-2,2]，所以fx的值域为f1,f-2，f(1)=-5，f(-2)=4，
即f(x)在区间[-2,2]上的值域.
20．（10分）已知函数fx=x-mx，且f1=-1．
(1)求m的值；
(2)判断fx在0,+∞上的单调性，并给予证明．
【答案】(1)2
(2)fx在0,+∞上的单调递增；证明见解析；
【分析】（1）将f1=-1代入计算即可求得m=2；
（2）利用函数单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论即可证明得出结论；
【详解】（1）由f1=-1可得f1=1-m=-1，
可得m=2；
（2）fx在0,+∞上的单调递增；
证明如下：取∀x1,x2∈0,+∞，且x1则fx1-fx2=x1-2x1-x2-2x2=x1-x2+2x1-x2x1x2=x1-x21+2x1x2，
易知x1-x2<0，又x1,x2∈0,+∞，所以1+2x1x2>0；
可得fx1-fx2=x1-x21+2x1x2<0，即fx1因此可得，fx在0,+∞上的单调递增.
21．（5分）已知函数fx=2x-1x+1．
(1)试判断函数fx在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数fx在区间0,+∞上的值城．
【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析
(2)-1,2．
【分析】（1）利用定义法证明单调性即可；
（2）由函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）易知fx=2x-1x+1=2-3x+1x≠-1，
设x1,x2∈-1,+∞，且x1则fx1-fx2=3x2+1-3x1+1=3x1-x2x1+1x2+1，
又由-10，x2+1>0，
所以fx1-fx2<0，即fx在区间上单调递增；
（2）由上可知函数fx在区间0,+∞上单调递增，则fx≥f0=-1，
又fx=2x-1x+1=2-3x+1<2，
故fx的值域为-1,2.
22．（5分）设函数fx=x+4x．
(1)判断函数fx奇偶性并证明；
(2)用单调性定义证明：函数fx在2,+∞上单调递增．
【答案】(1)fx为奇函数，证明如下.
(2)证明如下.
【分析】(1)用奇函数的性质证明即可.
(2)用定义证明单调性即可.
【详解】（1）fx为奇函数；
证明：由题意知fx的定义域x|x≠0关于原点对称，
且f-x=-x+4-x=-x+4x=-fx，故得证；
（2）证明：设任意的2则fx1-fx2=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2+4x1-4x2=x1-x2+4x2-x1x1x2=x1-x2x1x2-4x1x2因为x1-x2<0,x1x2>4，
所以fx1-fx2<0，
故函数fx在2,+∞上单调递增