河南省南阳六校2023届高三第一次联考文科数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共12小题，每小题5分，总分，60分）
1. 已知集合 ， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，化简集合，求出，再和求交集，即可得出结果.
【详解】由得或，则或，因此；
又，则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2. 设p，q是两个命题，则“p，q均为假命题”是“为假命题”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据且命题的真假性的判断，即可求解.
【详解】若为假命题，则p，q至少有一个为假命题，
故“p，q均为假命题”是“为假命题”的充分不必要条件，
故选：A．
3. 函数的定义域是（ ）
A. (2，3)B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的真数大于0，分母不为0，即可求解.
【详解】由题意得:,解得：，
故选：D
【点睛】本题考查求函数的定义域，属于基础题.
4. 已知函数，则函数的减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的定义域，然后根据复合函数同增异减确定的减区间.
【详解】由解得或，
所以定义域为.
函数的开口向上，对称轴为，
函数在上递减，
根据复合函数单调性同增异减可知函数的减区间是.
故选：C
5. 已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性即可解不等式．
【详解】由已知，解得，
故选：D
6. 幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 2或4
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义和性质求解即可
【详解】且
解得
故选：C
7. 已知，则的解析式为（ ）
A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法求得的解析式.
【详解】依题意，所以且，即且，
令，则且，
所以（且），
所以的解析式为（且）.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.
8. 函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
9. 已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是
A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，无最小值D. 有最大值2，最小值
【答案】A
【解析】
【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值．
【详解】解：函数
即有在，递减，
则处取得最大值，且为，
由取不到，即最小值取不到．
故选：．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
10. 已知函数在上单调递减，则实数 a的取值范围是
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．
【详解】若函数在上单调递减，则，解得.
故选C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值．
11. 已知函数，若，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数得出的单调性，利用对数函数和指数函数的性质得出，结合单调性，即可得出的大小关系.
【详解】由得，函数在上单调递减
，，，且
即
故选A
【点睛】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于中等题.
12. 已知函数
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：设，则，
，所以，所以答案为D.
考点：1.对数函数运算律；2.换元法.
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）
13. 已知是奇函数，当时，，则时，______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可推出当时，，，因为为奇函数，可得当时，的解析式.
【详解】当时，，又因为当 x＞0 时，f（x）＝x（2﹣x），
所以，因为为奇函数，所以，
所以当时，，
故答案为：.
14. 设m为实数，若函数在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m的取值范围是_______________．
【答案】m≤−4
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，根据题意得到不等式，解不等式即可求出m的取值范围.
【详解】为开口向上的二次函数，对称轴为直线,要使得函数在(−∞,2)上递减，则，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，属于基础题.
15. 已知是定义在的函数，满足，当时，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质得出，结合周期性，即可得出的值.
【详解】，且
，，则，则函数的周期为2
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档题.
16. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由对数函数的性质可得，转化条件为、，由二次函数的图象与性质即可得解.
【详解】因为，所以即，
函数的图象开口朝上，对称轴为，
①当，函数在上单调递增，所以，
即，
所以，解得；
②当时，函数在上单调递减，所以，
即，
所以，解得；
③当时，，，
所以，解得；
④当时，，，
所以，解得；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】解决本题的关键是将条件转化为、，结合二次函数的图象与性质讨论即可得解.
三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每题12分，总分70分）
17. 已知集合或，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到，，进而得到结果；（2）∵ ∴，分情况列出表达式即可.
解析：
（1）

（2）∵ ∴
Ⅰ）当时，∴即
Ⅱ）当时，∴ ∴
综上所述：的取值范围是
18. 设p：实数x满足，q：实数x满足．
（1）若，且p和q均为真命题，求实数x取值范围；
（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解，
（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.
【小问1详解】
当时，由，得，
解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是
由，解得，
即q为真命题时，实数x的取值范围是．
所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为．
【小问2详解】
由，得，
因为，所以，故p：．
若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
所以，解可得．故实数a的取值范围是
19. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
【答案】（1），图象答案见解析；（2）单调递减区间为､，函数的值域为；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义即可求得时的函数f(x)的解析式，进而得到解；
（2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间；
（3）函数的图象与直线的交点个数，数形结合即可得解.
【详解】解：（1）因为时，，设，则，
，
又函数为偶函数，，
故函数的解析式为.
函数图像如图：
（2）由函数的图象可知，
函数的单调递减区间为､，
函数的值域为.
（3）方程的实数根的个数就是函数的图象与直线的交点个数，
由函数的图象可知，
当时，方程的解的个数为0；
当，或时，方程的解的个数为2；
当时，方程的解的个数为3；
当时，方程的解的个数为4.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式的问题，考查了利用数形结合求单调区间以及值域问题.属于中档题.注意方程的根的个数常常转化为一个确定的函数的图象和一条变动的直线的交点个数问题.
20. 已知函数
（1）若，求的值域；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）把代入中,得到是关于的二次函数,
根据定义域求值域即可.
（2）令,将表示为关于的二次函数,分,,
三种情况讨论,即可得出最小值.
【详解】解：（1）当时,
则
因为,所以,.
（2）令,因为,故,
函数可化为,
当时,；
当时,；
当时,；
综上,
【点睛】本题主要考查指数函数、函数的性质,考查了换元法、分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.
21. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）函数g（x）的值域是（﹣6， ]；（3）实数m的取值范围为{m|m＜lg4}.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用对数函数的性质能求出函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域；推导出f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），由此得到f（x）是偶函数． （2）由﹣2＜x＜2，得f（x）=lg（4﹣x2），从而函数g（x）=﹣x2+3x+4，由此能求出函数g（x）的值域．（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出实数m的取值范围．
试题解析：
（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．
∵g（x）=10f（x）+3x，
∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．
22. 定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得；②对任意实数，当时，恒有．
（1）求证：对于任意正实数、，；
（2）证明：在上是单调减函数；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据条件②，即可求由，求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解，
（3）根据函数的单调性，结合基本不等式求解最值，即可求.
【小问1详解】
证明：令，，
则，
所以，即证；
【小问2详解】
证明：设，则必，满足，
由（1）知，
故，即，
所以在上是单调减函数．
【小问3详解】
令，则，
故，
即，由于
所以，又，故．