2023-2024学年辽宁省沈阳市辽中区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市辽中区九年级上学期数学期末试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义：“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次程．”是解题的关键．
【详解】A.方程的左边是分式，不符合定义，结论错误，故不符合题意；
B.方程含有两个未知数，不符合定义，结论错误，故不符合题意；
C.符合定义，结论正确，故符合题意；
D有可能，不符合定义，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
2. 如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ）
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：直线，
，
∵，，，
，
，
故选：B．
3. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．
【详解】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意；
C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
D．每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意．
故选：D．
4. 一元二次方程的一个根是1，则m的值为（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．将代入一元二次方程，得关于m的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得，
解得．
故选A．
5. 下列说法不正确的是（ ）
A. 所有的等边三角形都相似B. 所有的正方形都相似
C. 有一个角的等腰三角形都相似D. 所有的矩形都相似
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定、正多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项分析判断，即可求解．
【详解】A、由于所有的等边三角形的各角是，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项正确，不合题意；
B、由于正方形的边长都相等，四个角都相等，故所有的正方形一定相似，故本选项错正确，不合题意；
C、等腰三角形的底角与顶角均能确定，故本选项正确，不合题意；
D、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项错误．
故选：D．
6. 如图，已知，，若的长度为2，则的长度为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先得出，通过证明．得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的长度为2，
∴的长度为3，
故选：A．
7. 函数的图象上有三个点，，，，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的增减性是解题的关键．求出各点坐标，进行大小比较即可．
【详解】解：∵，，在上，
∴，
∴，
故选：C．
8. 下列四个命题，其中真命题为（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形；B. 两条对角线相等的四边形是矩形；
C. 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查矩形、菱形和正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定定理是解答此题的关键．
【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
B．对角线相等互相平分的四边形是矩形，故B错误；
C． 矩形是轴对称图形，且有两条对称轴，故C正确；
D． 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D错误．
故选：C．
9. 某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若每次降价的百分率相同．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．关系式为：原价降低的百分率）现价．
【详解】解：第一次降低后的价格为：，
第二次降低后的价格为，
可列方程为．
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据图形求得位似比，进而根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到，
∴，
∴与的面积比是，
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的一般形式是____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握（其中a、b、c是常数，）是一元二次方程的一般形式是解题的关键，把原方程变形为一元二次方程的一般形式即可，．
详解】解：
∴，
∴，
即一元二次方程的一般形式是，
故答案为：
12. 已知，且，____________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，正确设出，构造方程求解是解题的关键．
【详解】解：∵，
设，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
13. 若菱形两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
14. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验．探究盖面朝上的概率．整理的实验数据如下表：
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近．
其中正确是____________．（填序号）
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．
【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多于累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故正确．
故答案为：①③．
15. 如图，矩形中，，．在边上取一点E，使．过点C作，垂足为点F，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，证是解题关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）如图是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体，画出它的左视图和俯视图．
（2）解方程：．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查了画三视图；解一元二次方程；
（1）根据题意画出左视图与俯视图，即可求解．
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）
∴
∴或
解得：．
17. 一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，直接写摸出的球上面标的数字为正数的概率；
（2）小明先从俊子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小军从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．请用画树状图或列表的方法求点M在坐标轴上的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用，熟记概率公式以及掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．
（1）确定正数的个数即可求解；
（2）列表表示出点M的坐标，根据坐标轴上的点的坐标特征：横坐标或纵坐标为零，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，0，1中，为正数，
∴随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率：；
【小问2详解】
解：列表如下：
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中点M在坐标轴上的结果有5种，因此点M在坐标轴上的概率为：．
18. 小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG．
（1）①图中阳光下的影子属于 （填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为 ．
（2）已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】（1）①平行投影；②（或答“平行”）
（2）旗杆AB的长为3米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
（1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断．
（2）证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
①根据题意可知是平行投影；
②（或答“平行”）；
故答案为：①平行投影；②（或答“平行”）．
【小问2详解】
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴
，
∵
∴，
∴，
∴（米），
所以，旗杆的长为3米，
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别连接．
（1）求k、m与n的值；
（2）直接写出的面积．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）分别把点A和点B坐标代入一次函数解析式中即可求出m、n的值，进而求出A、B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）设一次函数与y轴交于C，则，再根据进行列式求解即可．
【小问1详解】
解：把代入中得，则；
把代入中得；
∴，
把代入中得：，解得
【小问2详解】
解：设一次函数与y轴交于C，则，
∴，
∴
．
20. 某商场以每件元的价格购进一批商品，当商场按每件元出售时，每周可售出件，经调查，该商品的每涨价1元，其销售量就会减少1件．
（1）商场为为了每周能获利元，当要求售价不高于每件元时，售价应定为多少？
（2）每周利润能否达到元，为什么？
【答案】（1）售价应定为每件元
（2）利润不能达到元，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程与营销问题，注意正确理解题意，建立实际问题与方程的联系即可．
（1）设每件商品涨价x元，则销量为，据此即可列出方程求解；
（2）假设每周利润能达到元，则，判断该一元二次方程的解的情况即可求解．
【小问1详解】
解：设每件商品涨价x元，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去）．
∴
售价应定为每件元．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
假设每周利润能达到元，则，
化简得，，
，
∴原方程无实数根，
所以，利润不能达到元．
21. 如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证，得是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，再由勾股定理得，然后证，得，再求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
是菱形，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
．
22. 综合与实践
【问题情境】
如图1，点G在正方形的对角线上，，垂足为点F．
（1）求证：四边形是正方形．
（2）求的值．
【类比探究】
（3）如图2，将正方形绕点C按顺时针方向旋转，试探究线段与长度之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、余弦、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由结合可得四边形是矩形，再由，得出是等腰直角三角形，进而可得结论；
（2）由正方形性质知，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理即可得出结果；
（3）连接，证得，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：由（1）知四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：线段与长度之间的数量关系为：；
连接，如图（2）所示：
由旋转性质得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段与长度之间的数量关系为：．
23. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为．
（1）用含t的代数式表示 ；
（2）若四边形为矩形，求t的值；
（3）是否存在t值，使线段的长为？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）先用含t的代数式表示出，再用的长减去就是；
（2）用含t的代数式分别表示出和，当四边形为矩形时，，据此列出关于t的方程，解方程即可求出t值；
（3）过点Q作于E，分两种情况分别求出当时的t值即可．
【小问1详解】
∵动点P从点A开始沿边以的速度运动，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，
由题意得，， ，
当四边形为矩形时，，
∴，
∴．
【小问3详解】
当时，如图1，过点Q作于E，
∴，，
当时，，
∴，
解得：；
当时，如图2，过点Q作于E，
∴，
当时，，
∴，
解得：；
∴或9．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．抛掷次数
50
500
1000
3000
5000
朝上次数
27
264
527
1587
2650
朝上频率
第二次
第一次
－1
0
1
－1
（－1，－1）
（－1，0）
（－1，1）
0
（0，－1）
（0，0）
（0，1）
0
（1，－1）
（1，0）
（1，1）