2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级上学期数学期末试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】∵tan45°=1，
所以C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
2. 如图所示几何体，其俯视图大致为（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的三视图解答．
【详解】解：该几何体的主视图为，
左视图为 ，
俯视图为，
故选：C．
【点睛】此题考查了几何体的三视图的判断，正确掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．
3. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用表中数据得到x=3.25和x=3.26时，代数式ax2+bx+c的值一个等于0.01，一个等于0.03，从而可判断当ax2+bx+c=0.02时，3.25＜x＜3.26．
【详解】解：当x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，
当x=3.26时，ax2+bx+c=0.03，
所以方程ax2+bx+c=0.02的解的范围为3.25＜x＜3.26．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
4. 在中，都是锐角，且，，则是（ ）
A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，求出的度数，利用三角形内角和定理，求出的度数，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
5. 如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【详解】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
6. 如图，已知ABCDEF，则下列结论正确的是（ ）
A. ＝B. ＝C. ＝D. ＝
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：，
A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，即，故C正确，符合题意；
D、，即，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应关系．
7. 如图，与位似，点O是位似中心，若，，则（ ）
A. 9B. 12C. 16D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质得到，得到，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：与位似，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. 5米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可．
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形．
9. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，则关于的方程的解为（ ）
A. -4，3B. -5，2C. -3，2D. -2，1
【答案】D
【解析】
【分析】把B（1，1）代入y=ax2，求出a，把A（-2，4），B（1，1）代入y=bx+c，求出b、c，再把a、b、c代入ax2-bx-c=0，解一元二次方程即可．
【详解】解：把B（1，1）代入y=ax2，
得a=1，
把A（-2，4），B（1，1）代入y=bx+c，得
，
解得：，
关于x的方程化为x2+x-2=0，
（x+2）（x-1）=0，
x1=-2，x2=1，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数及二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择是解题关键．
10. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：
①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．
其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a0，∴ac＜0故①错误；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴，
∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③正确；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=
∴故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如果，那么______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据可得，代入计算即可．
【详解】解：，
，
；
故答案为：5．
【点睛】此题考查了比例的性质，掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解题的关键．
12. 反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你选择的点坐标为______．
【答案】（-1，-3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标．
【详解】解：∵反比例函数图象经过点A（1，3），
∴，
解得k=3，
∴函数解析式为y=，
当x=-1时，y==-3，
∴故答案为（-1，-3）（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图像的基本性质是解题关键．
13. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金比值是计算即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC=AB=×2=-1，
则AC=2-(-1)=3-，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割，黄金分割的定义是：“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为0.618”．
14. 从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，不能组成三角形的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】共有四种情况2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4，从而确定不能构成三角形的结果数，再由概率公式即可得出答案．
【详解】解：从1，2，3，4四条线段中任选三条，共有四种情况：2，3，4；1，3，4；1，2，4；1，2，3，其中构成三角形的只有一种2，3，4；
∴不能组成三角形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是掌握求概率的方法进行解题．
15. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意知，得出，根据求出的值．
【详解】解：由题意知
在和中



解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．
16. 如图，在中，．线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角为，的平分线交射线于点E，连接．若，，则线段的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，然后分两种情况：当时，如图，延长至点F，使，连接，先证明，可得，从而得到，再证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可；当时，如图，在上截取，连接，先证明，可得，从而得到，再证明，可得，，从而得到，由勾股定理求出的长，即可．
详解】解：根据题意得：，
当时，如图，延长至点F，使，连接，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了旋转性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理、四边形的内角和，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解方程：2x2﹣5x+2=0(配方法)
【答案】x1=2，x2=0.5.
【解析】
【详解】试题分析：先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可.
试题解析：2x2﹣5x+2=0,
移项，得2x2－5x=－2，
二次项系数化为1，得x2－x=－1，
配方，得x2－x+（）2=－1+（）2，即（x－）2=，
解得，x－=±，
即x1=2 ，x2=0.5 .
19. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的四个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的三个小球上分别标有数字1，2，3，先从甲袋中随机摸出一个小球，记下数字，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字．请用列表或画树状图法求摸出的这两个小球上标记的数字之和为5的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图可得所有等可能结果；得出符合条件的结果数，利用概率公式求解可得．
【详解】画树状图如图所示：
所有（m，n）可能的结果有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共12种结果．
其中，摸出的两个小球标记的数字之和为5的有3种情况，
∴摸出的两个小球标记的数字之和为5的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
四、（每小题8分，共16分）
20. 如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当______度时，四边形为正方形（直接填空）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形是平行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得；最后由等角对等边推知的邻边；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
【小问1详解】
解：证明：，，
，，
四边形是平行四边形，
；
又是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形菱形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴,
∵四边形是菱形，
∴四边形为正方形．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关判定是解题的关键．
21. （列方程解应用题）一家小面店经营一种特色小面，已知该小面成本价为每碗6元，若每碗卖25元平均每天可销售300碗，若价格每降低1元平均每天可多销售30碗．如果每碗售价不超过20元，且每天利润为6300元，求该小面每碗售价为多少元？
【答案】该小面每碗售价为元，每天利润为6300元．
【解析】
【分析】该小面每碗售价为元，则销量为碗，再根据销量乘以每碗的利润等于总利润列方程即可．
【详解】解：该小面每碗售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
∵每碗售价不超过20元，
∴，
答：该小面每碗售价为元，每天利润为6300元．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．
五、（本题10分）
22. 如图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，可绕点B旋转，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量．
（1）若图②中，，，求投影探头的端点D到桌面的距离（结果精确到）；
（2）如图③，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为时，直接写出的度数（结果精确到1°）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；
（2）过点作于点H，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．
【小问1详解】
解：过点作于点，如图②，
则，
∴投影探头的端点到桌面的距离为：；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图③，
则，,
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
六、（本题10分）
23. 古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法，如图所示：
①建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，边OA落在第一象限内．
②在平面直角坐标系中，画出函数的图象，交OA于点D；
③以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数的图象于点E；
④过点D作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP（可得）；
⑤如图，过点D作轴于点G，交OP于点F，连接DE，FE，DE交OP于点C，设点D的横坐标为a，点E的横坐标为b．
解答问题：
（1）直接填空：
①用含a，b的代数式表示：
点P的坐标为______；直线OP的解析式为y＝______；点F的坐标为______；
②四边形DPEF的形状为 ；
（2）求证：（可直接利用（1）中的结论证明）
【答案】（1）；；；矩形
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同写出P点坐标即可，设出的解析式用待定系数法求解析式即可，然后根据解析式求出F点的坐标；根据坐标可判断平行于x轴，也平行于x轴，即可判定平行于，先判定四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形即可；
（2）先证明，再证，然后证，即可得证
【小问1详解】
①由题知，P点的横坐标与E相同，纵坐标与D点相同
∴
设直线的解析式为，由P点坐标知：
∴
∴直线的解析式为：
∵F点的横坐标为a，且点F在直线上
∴F点的纵坐标为
即
②∵，
∴轴，
又∵
∴
∴四边形是平行四边形
又∵轴
∴
∴平行四边形是矩形
故答案为：；；；矩形
【小问2详解】
∵四边形是矩形
∴
由题知
即
【点睛】本题考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，矩形的性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
七、（本题12分）
24. 在中，，点在射线上，点在射线上（不与点B重合），连接、．
（1）如图①，当点D在线段的延长线上，且时，过点D作交的延长线于点G，若，．求的面积．
（2）如图②，当点D在线段上，点E在线段上时，若，，，直接写出线段长．
（3）若，作射线，交直线于点F，直接写出的值．
【答案】（1）27 （2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）证明，得到，勾股定理求出的长，再用面积公式进行计算即可；
（2）易证为等腰三角形，得到，过点作交于点，易得，设，则：，勾股定理求出，利用，求出的值，进而求出的长；
（3）分在线段上，和在线段延长线上，两种情况，进行讨论求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过点作，交于点，则：，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①当点在线段上时，如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
则：，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点作，
则：，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当在线段的延长线上时，如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
则：，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
过点作，
则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．本题的综合性强，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
八、（本题12分）
25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值；
（3）若抛物线上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形．
①直接写出此时线段BF的长；
②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形（点A、B、F、H的对应点分别为、、、），点K为平面内一点，当四边形是平行四边形时，将抛物线沿其对称轴上下平移得到新的抛物线，若新的抛物线同时经过点K和点，直接写出点K的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）将点坐标代入即得b、c的值；
（2）由题意可知点F、E、D的横坐标相同，首先由求出直线的解析式，继而可得点F、E、D的坐标，再根据，得到F、E、D的纵坐标关系，从而求得m的值；
（3）①根据矩形对边平行且相等求出直线的解析式，再求出点H的坐标，根据两点间距离公式可求出的长，即为的长；②首先求出点F的坐标，设矩形沿射线方向平移的距离，得出点的坐标，再根据平行四边形的性质，可得点的坐标，再设，即得点的坐标．
【小问1详解】
将代入得，
解得
∴
【小问2详解】
∴
，
解得
∵
∴
【小问3详解】
①∵四边形为矩形
∴且
解得：
②由①易得F(3,2),设矩形沿射线方向平移
则
∵四边形为平行四边形
∴
设
将代入
，
解得
∴
【点睛】本题考查二次函数和一次函数、矩形、平行四边形的结合和图形移动的问题，把几何问题转换成解方程的思想是本题重点．x
3.24
3.25
3.26