2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期末试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A. 0B. 4C. －4D. 4或－4
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义代入计算即可．
【详解】因为一元二次方程有一个根是0，
所以，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．
2. 如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．
【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，
所以其主视图为：

故选C．
【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据结果判断一元二次方程根的情况即可．
【详解】根据题意，得，
所以一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与根的关系是解题的关键．当，一元二次方程有两个不相等的实数根；当，一元二次方程有两个相等的实数根；当，一元二次方程没有实数根．
4. 圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A. S是R的正比例函数B. S是R的一次函数
C. S是R的二次函数D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【详解】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.
5. 下列各种现象属于中心投影的是（ ）
A. 晚上人走在路灯下的影子B. 中午用来乘凉的树影
C. 上午人走在路上的影子D. 阳光下旗杆的影子
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意；
B、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
C、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
D、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
6. 某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（ ）．
A. 只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；B. 在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；
C. 在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；D. 在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
【答案】C
【解析】
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【详解】解：抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的，故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
7. 二次函数的图像经过点，，则关于x的方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标是令的两个根，计算判断即可．
【详解】因为二次函数的图像经过点，，
所以方程的根是，，
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
8. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直
C. 对角线互相平分D. 四条边相等
【答案】C
【解析】
【分析】A．矩形和正方形都有的性质，B．正方形有的性质，C．三个图形都具有的性质，D．菱形和正方形的四条边都相等，但矩形不一定．
【详解】解：A、三个图形中，只有矩形和正方形的对角线相等且互相平分，故本选项错误；
B、三个图形中，只有正方形的对角线相等且互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、矩形的四条边不一定相等，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质，准确分析判断是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若，则与的周长比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出，再由周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，
∴，
∵，
∴与的周长比是，
故选：C．
【点睛】题目主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
10. 已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线与y轴的交点，判定；抛物线与x轴有两个不同的交点，则判定；设抛物线与x轴正半轴交点横坐标为，则，从而判定即；当时，，当时，，且结合抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，判定．
【详解】根据抛物线与y轴的交点，判定，
故A错误，不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同的交点，
则，
故B错误，不符合题意；
设抛物线与x轴正半轴交点横坐标为，则，
所以即；
故C错误，不符合题意；
当时，，
当时，，且，
因为抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，
所以．
故D正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和增减性是解题的关键．
二、填空题（每空3分，共18分）
11. 若，则＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求出x＝3y，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵，
∴x＝3y，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是根据已知条件求出x＝3y，代入求解．
12. 将二次函数的图像向下平移5个单位长度，所得图像对应的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据上加下减列出解析式即可．
【详解】因为二次函数的图像向下平移5个单位长度,
所以图像对应的函数表达式为．
故答案为: ．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握上加下减是解题的关键．
13. 某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表：
根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据是定值判断即可．
【详解】因为，
所以y是x的反比例函数，
且函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，根据积为定值判断函数是反比例函数是解题的关键．
14. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】证明四边形是菱形，然后由勾股定理求得即可解决问题．
【详解】解：设交于点，如图所示，
根据作图可知分别为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，勾股定理，证明四边形是菱形，是解题的关键．
15. 如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆水平的距离米，则旗杆的高度为__________米．
【答案】11.5
【解析】
【分析】根据题意可得：，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案.
【详解】由题意可得：，则，
∵米，米，，，
∴， 解得：，
故，
答：旗杆的高度为.
【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
16. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C，D分别落在边BC下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为___(用含t的代数式表示)．
【答案】2t
【解析】
【分析】根据翻折的性质，可得CE=，再根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半判断出，然后求出，根据对顶角相等可得，根据平行线的性质得到，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可解题．
【详解】由翻折的性质得，CE=
是等边三角形，
的周长=
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠问题、等边三角形的判定与性质、含30度的直角三角形、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（17题6分，18题、19题8分，共计22分）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：
其中a=1，b=-4，c=-8，
，
∴，
，．
【点睛】题目主要考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解题关键．
18. 教育部在中小学部署了“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动．学校开展了“童心向党”的大赛活动，最后决赛环节由组委会提供“A组：图话百年”“B组：动听百年”“C组：话说当年”三组题目，将依次代表三组题目的A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．甲､乙两名同学进入了决赛环节，比赛时甲先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，放回后洗匀，再由乙从中随机抽取一张卡片，两人按各自抽取的卡片上的字母回答相应题组中的问题．
（1）请直接写出同学甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率；
（2）请利用画树状图或列表的方法求甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有9种等可能性结果，再找出甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：甲摸到“B组：动听百年”中问题的概率=；
【小问2详解】
列表得：
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两名同学抽到的题目不在同一题组的结果有6种，
∴
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
19. 义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．学校准备在校园内利用校围墙的一段（墙体的最大可用长度米）和篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形劳动实践菜园（如图），已知篱笆长米（篱笆全部用完），如果要围成面积为平方米的菜园，的长是多少米？
【答案】5米
【解析】
【分析】设，则，根据题意，得，解方程即可．
【详解】解：设，则，
根据题意，得，
解得，
当时，，舍去；
当时，；
所以的长是5米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的列出条件，掌握解法，注意取舍是解题的关键．
四、（每小题8分，共计16分）
20. 如图，点A，点C在反比例函数图象上，点C在点A下方，且点C坐标为，连接OA，OC，过点A作轴交于点B，点B的纵坐标为．
（1）填空：______，点A的坐标为______；
（2）观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）连接AC，请直接写出的面积．
【答案】（1）12；；
（2）； （3）5
【解析】
【分析】（1）将点C代入反比例函数解析式确定k的值，然后确定直线的解析式，即可确定，即可得出点A的横坐标，再代入反比例函数求解即可；
（2）求出临界值时，再结合函数图象求解即可；
（3）由（1）得A的坐标为，，确定，结合图象得出，求解即可．
【小问1详解】
解：点A，点C在反比例函数图象上，C坐标为，
∴，
∴反比例函数解析式为；
设直线解析式为，将点C代入得：
，
解得：，
∴直线OC的解析式为，
点B在直线OC上，
∵点B的纵坐标为．
∴，
解得：，
∴，
∵轴，
∴点A的横坐标为2，
，
∴点A的坐标为；
故答案为：12；；
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，
根据图象得：时，；
【小问3详解】
由（1）得A的坐标为，，
∴，
，
的面积为5．
【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，确定自变量的取值范围，三角形面积等，掌握反比例函数的基本性质及运用数形结合思想是解题关键．
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，于点E交AC于点P，于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果，，求出DP的长．
【答案】（1）矩形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定方法即可解答；
（2）根据菱形的性质得到，根据矩形的性质得到，进而利用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
四边形DEBF是矩形
理由：∵于E，于F，
∴，
∵四边形ABCD是菱形 ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是矩形；
【小问2详解】
如图，连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴，
设，则，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：
，
即，，
解得，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定及其性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理及其性质．
五、（10分）
22. 驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行农作物种植和销售．已知某农产品成本为每千克10元．经过市场调研发现，如果销售单价为14元，每天可销售160千克，销售单价每增加1元，销售量就减少10千克．设每天销售量为y千克，销售单价为x元（）．
（1）请直接用含x代数式表示y；
（2）设每天的销售利润为W（元），
①求销售利润W与x之间的函数关系式；
②将销售单价定为多少时，才能使每天的销售利润W最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）①；
②元，1000元
【解析】
【分析】(1)先确定提价元，销售量减少了千克，实际销售量为千克，建立函数关系即可．
（2）设每天的销售利润为W（元），
①根据利润=单件利润×数量计算即可．
②构造二次函数求最值即可．
【小问1详解】
因为销售单价为14元，每天可销售160千克，销售单价每增加1元，销售量就减少10千克．设每天销售量为y千克，销售单价为x元，
则提价元，销售量减少了千克，实际销售量为千克，
所以．
【小问2详解】
①根据题意，得．
②因为，
所以当时，W有最大值，且最大值为1000．
故将销售单价定为20元时，才能使每天的销售利润W最大，最大利润是1000元．
【点睛】本题考查了二次函数及一次函数的应用，销售与利润最大化问题，正确构造二次函数解析式是解题的关键．
六、（10分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的邻边分别落在x轴，y轴的正半轴上，且顶点O与原点重合，，，连接，点E由点B出发沿方向向点O匀速运动，速度为；点F由点O出发沿方向向点A匀速运动，速度为，点E，F同时出发，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s），连接EF．回答下列问题：
（1）填空：点B的坐标______；用含t的代数式表示OE的长______；
（2）如图2，连接AC，交OB于点D，连接DF，若，求点E的坐标；
（3）连接，把沿翻折，点E的对应点为，得到四边形．当四边形为菱形时，请直接写出t的值．
【答案】（1）；；
（2）
（3）s
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质可直接得出点的坐标，再由勾股定理得出，结合题意列出代数式表示长度即可；
（2）根据矩形及平行的性质得出，，结合等腰三角形的性质得出，利用勾股定理求出，，过点E作，由相似三角形的判定和性质得出，代入求解即可确定点的坐标；
（3）连接，交于点N，根据题意得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，代入求解即可．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴点B的坐标为；
由勾股定理得：，
由题意得：，
∴；
故答案为：；；
【小问2详解】
∵，四边为矩形，
∴，，
∴，
∴
∴点E、F的运动时间为1秒，
∴，
过点E作，如图所示：
∴，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴点E的坐标为；
小问3详解】
如图，连接，交于点N，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】题目主要考查矩形的性质，动点问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点，作出相应辅助线上解题关键．
七、（12分）
24. 四边形是边长为4的正方形，点E沿A→D→C路线向C点运动，连接，在的右侧以为腰作等腰直角三角形，，交射线于点N．
（1）如图1，点E在上时，交于点M，若，请直接写出：
①点F到直线的距离；
②的长；
（2）如图2，点E在上时，
①若，求的长；
②连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）①过点F作，交的延长线于点G，证明，得到．
②根据，得到，代入计算即可．
（2）①过点F作，交的延长线于点G，证明，得到，设，则．从而得到，根据，得到，代入计算即可．
②如图，过点F作，交的延长线于点G，过点E作，交于点N，交于点M，证明，四边形是矩形，四边形是矩形，设，则．，
从而得到，，根据勾股定理，得到，构造二次函数求最值即可．
【小问1详解】
①如图，过点F作，交的延长线于点G，
因为四边形是边长为4的正方形，等腰直角三角形，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以．
②因为，，
所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
①过点F作，交的延长线于点G，
因为四边形是边长为4的正方形，等腰直角三角形，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
设，则．
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
解得．
所以．
②如图，过点F作，交的延长线于点G，过点E作，交于点N，交于点M，
因为四边形是边长为4的正方形，等腰直角三角形，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以四边形是矩形，四边形是矩形，设，则．，
所以，，根据勾股定理，得到=，
所以当时，有最小值72，
所以有最小值，
故最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练构造一线三直角全等模型，二次函数的最值，三角函数是解题的关键．
八、（12分）
25. 如图1，平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点B坐标是，点P是抛物线的顶点．
（1）请直接写出二次函数的表达式及顶点P的坐标；
（2）如图2，设二次函数图象的对称轴与x轴交于点H，
①连接，点D为对称轴上的一点，且与相似，求点D的坐标；
②点M为对称轴PH上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足，已知点N在抛物线上，以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1），顶点P的坐标为；
（2）①点D的坐标为或；②点E的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将两点的坐标代入求解即可确定解析式，然后将解析式化为顶点时即可确定顶点坐标；
（2）①根据抛物线解析式确定，利用勾股定理得出，，，分两种情况分析：时，时，利用对应边成比例求解即可；
②设点，则，根据平行四边形的性质分三种情况分析：以为对角线时，以为对角线时，以为对角线时，确定点N的横纵坐标，然后代入抛物线解析式求解即可．
【小问1详解】
解：将两点的坐标代入得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∵，
∴顶点P的坐标为；
【小问2详解】
①∵，
令,则，
解得或，
∴，
∵，
∴，，，，
，
∵点D在点P的上方，与相似，分两种情况：
时，如图所示：
∴，即，
∴，
∴
∴点D的坐标为；
时，
∴，即，
∴，
∴
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或；
②∵点M为对称轴上一点且在x轴下方，在x轴负半轴上有一点E，在y轴负半轴上有一点F，且满足，
∴设点，则
以E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况：
以为对角线时，
点N的横坐标为，纵坐标为，
∵点N在抛物线上，
∴，
解得或，
∵点E在x轴负半轴上，
∴,
∴点E的坐标为；
以为对角线时，
点N的横坐标为,纵坐标为，
∵点N在抛物线上，
∴，
解得或，
∵点E在x轴负半轴上，
∴此种情况不存在；
以为对角线时，
点N的横坐标为，纵坐标为，
∵点N在抛物线上，
∴，
解得：或，
∵点E在x轴负半轴上，
∴
∴点E的坐标为，
综上所述，点E的坐标为或．
【点睛】题目主要考查二次函数综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．y（d）
120
150
200
240
300
x（km/d）
10
8
6
5
4
甲
乙
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）