河南省郑州市名校教研联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷

这是一份河南省郑州市名校教研联盟2024届高三下学期模拟预测数学试卷，共14页。试卷主要包含了函数是偶函数，则a的值为，已知，，，则，已知第一象限内的点P在双曲线C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A．B．C．D．
2．已知集合，，则
A．B．C．D．
3．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则
A．B．C．D．
4．函数是偶函数，则a的值为
A．B．C．D．
5．知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为
A．B．C．D．
6．已知点O为坐标原点，点A为直线（）与椭圆C：（）的一个交点，点B在C上，OA⊥OB，若，则C的长轴长为
A．B．3C．D．6
7．已知，，，则
A．B．C．D．
8．已知第一象限内的点P在双曲线C：（，）上，点P关于原点的对称点为Q，，，是C的左、右焦点，点M是的内心（内切圆圆心），M在x轴上的射影为M＇，记直线PM＇，QM＇的斜率分别为，，且，则C的离心率为
A．2B．8C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．近几年随着AI技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚拟主播逐步走向商用，如图为2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是
A．2014～2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加
B．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410
C．2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915
D．从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率
10．过点作直线l与函数的图象相切，则
A．若P与原点重合，则l方程为
B．若l与直线垂直，则
C．若点P在的图象上，则符合条件的l只有1条
D．若符合条件的l有3条，则
11．已知，则
A．的图象关于点对称
B．的值域为
C．在区间上有33个零点
D．若方程在（）有4个不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中x的系数为 ．
13．平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为，且，△ABC的垂心在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程 ．
14．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知等差数列满足，．
（1）求；
（2）若，数列的前n项和为，求最小时对应的n的值．
16．（15分）
如图，在三棱锥A-BCD中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，G．
（1）确定F，G的位置，并证明你的结论；
（2）求直线DA与平面DEF所成角的正弦值．
17．（15分）
某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：
（1）根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求．
参考数据：，，
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
18．（17分）
已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A，C的焦点为F，直线AF的倾斜角为．
（1）求证：；
（2）若，直线l与直线交于点P，直线AF与C的另一个交点为B，求证：PA⊥PB．
19．（17分）
已知函数（），．
（1）若，的导数分别为，，且，求a的取值范围；
（2）用表示a，b中的最小值，设，若，判断的零点个数．
绝密★启用前（新高考卷）
数学参考答案
1．【答案】B
【解析】因为，所以，故选B．
2．【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C．
3．【答案】D
【解析】由得，即，又，所以，故选D．
4．【答案】D
【解析】因为是偶函数，所以，所以，故选D。
5．【答案】D
【解析】以8个顶点为球心的球各有在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为，故选D．
6．【答案】C
【解析】设，，由得，由OA⊥OB可得，所以，，所以
，所以，，C的长轴长为，故选C．
7．【答案】A
【解析】设（），则，在上单调递减，所以，所以，，，
，所以，故选A．
8．【答案】A
【解析】设圆M与，分别切于点A，B，则，且，所以，点，设，，则，所以，，，所以，，故选A．
9．【答案】ACD
【解析】由每年增加数均为正数，可得A正确；2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B错误；2014～2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为，C正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为，D正确，故选ACD．
10．【答案】AD
【解析】设l与的图象切于点，则切线斜率，整理得，对于A，若P与原点重合，则，所以，，l即x轴，方程为，A正确；对于B，若l与直线垂直，则，，当时，，当时，，B错误；对于C，当点P在的图象上时，，所以，解得，或，当时，l有2条，C错误；对于D，设，，由得或，符合条件的l有3条，有3个零点，则，所以，，，D正确，故选AD．
11．【答案】AB
【解析】由，可得A正确；由，得，当，，B正确；，令得或，（），，，所以在上有31个零点，C错误；是以为周期的周期函数，当时，在上有2个实根，，且；当时，在上没有实根，在上有2个实根，，且，，，所以，，所以的取值范围是，D错误，故选AB．
12．【答案】
【解析】的展开式中x的系数为．
13．【答案】
【解析】由△ABC的垂心到直线BC距离，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得，由圆的几何性质可得，联立解得，，因为直线BC方程为，所以直线EG方程为，设，则E到直线BC距离，解得（舍去）或，所以圆E的标准方程为．
14．【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，当时取等号，
，设，则，在△BCD中由余弦定理得
，所以，当时，取得最大值．所以的最大值为．
15．【解析】
（1）设等差数列的公差为d，
由，得
，
解得，，
所以．
（2）由（1）得，
，
当时，
当，，，
时，
所以最小时n的值为4或6．
16．【解析】
（1）取CD中点O，连接AO，BO，
由已知可得，
所以AO⊥CD，BO⊥CD，
因为，所以CD⊥平面AOB，
因为CD⊥平面EFG，
所以平面EFG∥平面AOB，
过E作AB的平行线与BC的交点即为F，过E作AO的平行线与CD的交点即为G，
因为，所以，，
所以当，时，平面EFG与直线CD垂直．
（2）由题意可得，因为，所以，
以O为原点，直线OB，OC分别为x轴，y轴，过点O与平面BCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，
所以，，．
设平面DEF的一个法向量为，
则有，得，取，得，
设直线DA与平面DEF所成角为，
则，
所以直线DA与平面DEF所成角的正弦值为．
17．【解析】
（1）由表中的数据和附注中的参考数据得
，，，，
，
，，
∴．
因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）由及（1）得，
，
所以y关于x的回归方程为．
（说明：根据，得出也正确，）
（3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11，
，，，
，，，
，
所以
18．【解析】
（1）方法1：设，则l的方程为，
与联立得，
因为直线l与抛物线C只有1个公共点，
所以，整理得，
所以，
又，所以，
因为，，
所以，，
所以．
方法2：易知点在第一象限，且直线l与C相切于点A，由，得，
所以l的方程为，
设l与x交于点D，则，
所以由抛物线的几何性质可知，
故，．
（2）时，C的方程为，
把，代入得l的方程为，
把代入得，
所以，
由（1）知，，设，
设直线AB方程为，与联立得，
t，是该方程的两个根，所以，所以，
所以，
所以PA⊥PB．
19．【解析】
（1）因为（），
所以，由得，
因为，
所以，
所以问题转化为时恒成立，即时恒成立，
设（），则，时，单调递减，时，单调递增，
所以，
所以，即a的取值范围是．
（2）因为，设，
则，
（ⅰ）若，
时，单调递增，
时，单调递减，
所以„，
所以时，，，
没有零点，
（ⅱ）若，
由（1）知，在上单调递增，且，
所以，
当时，单调递增，且，，
存在唯一使得，
，，
当时，，，
在上单调递减，
且，，
所以存在唯使得，，
综上，时没有零点，时有2个零点．
x
159
165
170
176
180
y
67
71
73
76
78