中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题18反比例函数核心考点分类突破(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题18反比例函数核心考点分类突破(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了分比例函数的图像和性质，反比例函数图像上点的坐标的特征等内容，欢迎下载使用。

考点一 分比例函数的图像和性质
类型1 比较函数值的大小
典例1 (2023春•上蔡县期中）已知双曲线y=kx（k＜0），过点（1，y1），（3，y2），（﹣2，y3），则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
典例2 (2023秋•惠城区校级期末）已知点A（3，y1），B（﹣6，y2），C（﹣5，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
类型2 与反比例函数有关的多结论选择题
典例3 (2023秋•蓬莱市期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）中变量x与y的部分对应值如下表
下列结论：
①y随x的增大而减小；②点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上；
③当x＞3时，y＞0；④当x＜2时，（k﹣1）x+b＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
类型3 由性质逆推函数解析式
典例4 (2023•泰州）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x2C．y=3xD．y=−3x
考点二 反比例函数图像上点的坐标的特征
类型1 求比例系数k的值
典例5 (2023•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y=kx（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 ．
典例6 (2023•鄞州区校级一模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是24，且点B是AC的中点，则k的值为（ ）
A．403B．16C．8D．203
类型2 判断变化趋势
典例7 (2023•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=3x（x＞0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，点A运动过程中△AOB的面积将会（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．先增大后减小D．不变
类型3 求几何图形的面积
典例8 (2023•如皋市模拟）如图，点A为函数y=4x（x＞0）图象上一点，连接OA，交函数y=1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 ．
类型4 求点的坐标或字母的值
典例9 (2023春•宝应县期末）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y=6x（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）求k；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．
（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．
典例10 (2023春•新吴区期末）如图，点A、D分别在函数y=−1x，y=3x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为 ．
考点3 反比例系数的几何意义
类型1 求反比例系数
典例11 (2023•宝应县一模）如图，▱ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的分支过点C，若▱ABCD的面积为3，则k＝ ．
典例12 如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数y=−1x（x＜0）和反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A、B两点，且OB＝2OA，则k的值为 ．
类型2 求几何图形的面积
典例13 (2023春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
考点4 反比例函数综合题
类型1 反比例函数与一次函数的综合
典例14 (2023•武汉模拟）将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．4D．9
典例15 (2023春•海安市期中）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y=kx(k＞2)相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，1）为双曲线y=kx(k＞2)上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为 ．
类型2 反比例与三角形综合
典例16 (2023•宿迁）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）
A．1B．2C．22D．4
类型3 反比例与四边形综合
17． (2023•鼓楼区校级模拟）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①四边形ADEC为平行四边形；②S四边形ACFP＝2k；③若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6；④若3AP＝BP，则4DA＝DO．其中正确的是 ．
专题提优训练
一．选择题（共7小题）
1． (2023春•江岸区校级月考）如图P为双曲线y=kx上到原点的线段的长度最短的一个点，若∠APB＝45°，交x、y轴于A、B点，则△AOB的面积为（ ）
A．2k B．2kC．k D．与k无关的一个确定值
2．（2016•本溪）如图，点A、C为反比例函数y=kx(x＜0)图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为（ ）
A．4B．6C．﹣4D．﹣6
3． (2023秋•渭滨区期末）如图，反比例函数y=kx的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
A．k＝2 B．x＞0，y随x的增大而减小 C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
4． (2023春•南开区校级月考）若点A（x1，﹣3），B（x2，1），C（x3，3）在反比例函数y=−9x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
5．某一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A．y＝2x+4B．y＝﹣2x+4C．y＝3x+1D．﹣y＝3x﹣1
6．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=−43x的图象相交于A、B两点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC交x轴于点D，若ADAC=14，则△ABC面积为（ ）
A．83B．2833C．103D．3233
7． (2023•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
二．填空题（共8小题）
8． (2023•江夏区模拟）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1，3），则另一个交点坐标是 ．
9． (2023秋•三明期末）如图，点A，B为反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=23OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 ．
10． (2023秋•乳山市期末）反比例函数y=3x和y=1x在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y=3x和y=1x的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为 ．
11． (2023秋•温江区校级期末）如图，点A是反比例函数y=kx（k＞0）图象位于第一象限内的一支上的点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点B作BC∥OA交双曲线于点C，连接AC并延长，交x轴于点D，则OBBD= ．
12． (2023•锡山区模拟）如图，在▱ABCD中，点B在y轴上，AD过原点，且S▱ABCD＝15，A、C、D三点在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k＝ ．
13． (2023•闽侯县模拟）已知过原点O的直线与双曲线y=3x在一三象限分别交于A，B两点，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，tan∠ABC=12，则△ABC的面积为 ．
14．如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
15． (2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+b交反比例函数y=3x（x＞0）的图象于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，交OB于点F．若图中四边形BCEF与△AOF的面积差为12，则△ABF与△OEF的面积差为 ．
三．解答题（共1小题）
16． (2023秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+42与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y=6x（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
6
4
2
0
…
专题18 反比例函数核心考点分类突破（解析版）
第一部分 典例剖析
考点一 分比例函数的图像和性质
类型1 比较函数值的大小
典例1 (2023春•上蔡县期中）已知双曲线y=kx（k＜0），过点（1，y1），（3，y2），（﹣2，y3），则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
思路引领：根据k的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案．
解：∵k＜0，
∴反比例函数y=kx（k＜0）的图象在第二、四象限，
∵反比例函数的图象过点（1，y1）、（3，y2）、（﹣2，y3），
∴点（1，y1）、（3，y2）在第四象限，（﹣2，y3）在第二象限，
∴y1＜y2＜0，y3＞0，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
总结提升：本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当k＜0时，反比例函数y=kx（k＜0）的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
典例2 (2023秋•惠城区校级期末）已知点A（3，y1），B（﹣6，y2），C（﹣5，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
思路引领：根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
解：∵反比例函数y=4x中，k＝4＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（3，y1），B（﹣6，y2），C（﹣5，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，
∴B、C在第三象限内，A在第一象限内，
∴y1＞0，y3＜y2＜0
∴y3＜y2＜y1，
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
类型2 与反比例函数有关的多结论选择题
典例3 (2023秋•蓬莱市期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）中变量x与y的部分对应值如下表
下列结论：
①y随x的增大而减小；②点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上；
③当x＞3时，y＞0；④当x＜2时，（k﹣1）x+b＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
思路引领：根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
解：由题意得，当x＝1时，y＝4，当x＝0时，y＝6，
则k+b=4b=6，
解得：k=−2b=6，
函数解析式为：y＝﹣2x+6，
①∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，正确；
②当x＝6时，y＝﹣2×6+6＝﹣6，
∴点（6，﹣6）一定在函数y＝kx+b的图象上，正确；
③由表格得出当x＞3时，y＜0，故错误；
④由表格得出当x＜2时，kx+b＞x，
∴（k﹣1）x+b＞0，故错误；
故选：C．
总结提升：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
类型3 由性质逆推函数解析式
典例4 (2023•泰州）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x2C．y=3xD．y=−3x
思路引领：根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断y3，y1，y2之间的关系，再判断即可．
解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；
B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；
C．y=3x，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；
D．y=−3x，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；
故选：D．
总结提升：本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小．
考点二 反比例函数图像上点的坐标的特征
类型1 求比例系数k的值
典例5 (2023•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y=kx（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 ．
思路引领：连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出12|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2=18，由于k＝6m2，即可求得k=34．
解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y=kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，
∴12|6m+2m|•|3m﹣m|＝1，
∴m2=18，
∵k＝6×18，
∴k=34，
故答案为：34．
总结提升：本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求得△AOB的面积为1是解题的关键．
典例6 (2023•鄞州区校级一模）如图，点A、B在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是24，且点B是AC的中点，则k的值为（ ）
A．403B．16C．8D．203
思路引领：先根据B是AC的中点，表示出△BOC的面积，再利用k的几何意义表示出△AOH和△BOG的面积，即可得出△AHC和△BGC的面积，易证△AHC∽△BGC，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即可求出k的值．
解：连接OB，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作GB⊥x轴于点G，如图所示：
∵B是AC的中点，
∴S△BOC=12S△AOC=12×24=12，
根据k的几何意义，
S△AOH＝S△BOG=12k，
∴S△AHC＝S△AOC﹣S△AOH＝24−12k，
S△BGC＝S△BOC﹣S△BOG＝12−12k，
∵∠AHC＝∠BGC＝90°，
∠ACH＝∠BCG，
∴△AHC∽△BGC，
∵B是AC的中点，
∴相似比为1：2，
∴面积的比为1：4，
即S△BGC：S△AHC＝1：4，
∴（12−12k）：（24−12k）＝1：4，
解得k＝16．
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的关键．
类型2 判断变化趋势
典例7 (2023•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=3x（x＞0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，点A运动过程中△AOB的面积将会（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小
C．先增大后减小D．不变
思路引领：比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变，所以点A运动过程中△AOB的面积将会不变，都是12×3=1.5，据此解答即可．
解：根据反比例函数系数k的几何意义，可得
点A运动过程中△AOB的面积将会不变，
△AOB的面积为：12×3=1.5．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义的应用，解答此题的关键是要明确：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
类型3 求几何图形的面积
典例8 (2023•如皋市模拟）如图，点A为函数y=4x（x＞0）图象上一点，连接OA，交函数y=1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 ．
思路引领：根据题意可以分别设点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO＝AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，从而可以得到△ABC的面积
解：
设点A的坐标为（a，4a），点B的坐标为（b，1b）
∵点C是x轴上一点，且AO＝AC
∴点C的坐标为（2a，0）
设过点O、点A的解析式为y＝kx，则4a=ka
∴k=4a2
∴直线OA的解析式为：y=4a2x
又∵点B在直线OA上，
∴1b=4a2⋅b
∴a2b2=4
∴ab=±2（负值不合题意，舍去）
∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC=12×2a×4a−12×2a×1b=4﹣2＝2
故答案为：2
总结提升：此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．通过一次函数，三角形面积的计算，突出考查的目的．
类型4 求点的坐标或字母的值
典例9 (2023春•宝应县期末）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y=6x（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）求k；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．
（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．
思路引领：（1）将点E的坐标代入反比例函数y=kx（x＞0），即可得出答案；
（2）首先表示出A，B的坐标，再利用ASA证明△ACF≌△BDF，得CF＝DF，从而得出F的纵坐标；
（3）根据∠CED＝90°，得CD＝2EF，则8a=222+(1−m)2，由（2）知，2a=−m，代入解关于m的方程即可．
（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的点，
∴k＝1×2＝2；
（2）证明：∵点A的横坐标为a，
∴点A的纵坐标为2a，
∵AC＝BD，
∴B（﹣a，−6a），
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBF，∠ACF＝∠BDF，
∵AC＝BD，
∴△ACF≌△BDF（ASA），
∴CF＝DF，
∴m=−2a，
∴am＝﹣2；
（3）解：∵∠CED＝90°，CF＝DF，
∴CD＝2EF，
∴8a=222+(1−m)2，
由（2）知，2a=−m，
∴﹣4m＝222+(1−m)2，
解得m＝1或−53，
当m＝1时，a＝﹣2（舍去），
当m=−53时，a=65，
∴A（65，53）．
总结提升：本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
典例10 (2023春•新吴区期末）如图，点A、D分别在函数y=−1x，y=3x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为 ．
思路引领：设点B（b，0），点C（a，0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可．
解：设点B（b，0），点C（a，0），
∵点A在反比例函数y=−1x的图象上，
∴点A（b，−1b），即OB＝﹣b，AB=−1b，
∵点C在反比例函数y=3x的图象上，
∴点D（a，3a），即OC＝a，CD=3a，
又∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
即−1b=a﹣b=3a，
解得a=32，b=−12，
∴点A（−12，2），
故答案为：（−12，2）．
总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点B，点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键..
考点3 反比例系数的几何意义
类型1 求反比例系数
典例11 (2023•宝应县一模）如图，▱ABCD的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，顶点C在第一象限，反比例函数y=kx（x＞0）的分支过点C，若▱ABCD的面积为3，则k＝ ．
思路引领：过C作CE⊥AB，通过说明△DOA≌△CEB，可得矩形ODCE的面积等于平行四边形ABCD的面积，设出点C的坐标，用坐标表示出线段CE，OE，结论可求．
解：如图，过点C作CE⊥AB于E，连接OC，
∵▱ABCD的面积为3，
∴AB•CE＝3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAO＝∠CBA．
∵DO⊥AO，CE⊥AB，
∴∠DOA＝∠CEB＝90°．
∴△DOA≌△CEB（AAS）．
∴S△ODA＝S△CEB．
∴S矩形DOEC＝S平行四边形ABCD＝3．
∴OE•CE＝3．
设C（a，b），
∵C在第一象限，
∴a＞0，b＞0．
∴OE＝a，CE＝b．
∴OE•CE＝ab＝3．
∴k＝ab＝3．
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
典例12 如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数y=−1x（x＜0）和反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于A、B两点，且OB＝2OA，则k的值为 ．
思路引领：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则可证出△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可求出k值，再根据反比例函数y=kx（x＞0）的图象在第四象限，可确定k值，此题得解．
解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°．
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴S△BODS△AOC=（BOAO）2＝4，即|k|1=4，
∴k＝±4．
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象在第四象限，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质以及反比例函数系数k的几何意义，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义求出k值是解题的关键．
类型2 求几何图形的面积
典例13 (2023春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y＝kx与函数y=4x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算．
解：设A点坐标为（m，4m），则B点坐标为（﹣m，−4m），
∴C点坐标为（m，−4m），
∴AC=8m，BC＝2m，
∴△ABC的面积=12AC•BC=12•2m•8m=8．
故答案为：8．
总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．
考点4 反比例函数综合题
类型1 反比例函数与一次函数的综合
典例14 (2023•武汉模拟）将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．4D．9
思路引领：由于一次函数y＝kx﹣2﹣k过定点P（1，﹣2），P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
解：∵一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
∴一次函数的图象过定点P（1，﹣2），
∵P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，
∴将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，
∴在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为（a﹣1，3a−1），(3b+2，b+2),
∴a﹣1=−3b+2，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故选：B．
总结提升：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
典例15 (2023春•海安市期中）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y=kx(k＞2)相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，1）为双曲线y=kx(k＞2)上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为 ．
思路引领：设A（a，2a），则B（﹣a，﹣2a），分别待定系数法求出AM和BM的解析式，进一步求出C和D点坐标，即可求OC﹣OD的值．
解：根据题意，设A（a，2a），则B（﹣a，﹣2a），
∵M（m，1），
设AM的解析式为y＝nx+b（n≠0），
代入A，M点坐标，得an+b=2amn+b=1，
解得n=2a−1a−mb=a−2ama−m，
∴AM的解析式为y=2a−1a−mx+a−2ama−m，
∴C（0，a−2ama−m），
∴OC=a−2ama−m，
设BM的解析式为y＝cx+d（c≠0），
代入B，M点坐标，得−ac+d=−2acm+d=1，
解得c=1+2am+ad=a−2amm+a，
∴BM的解析式为y=1+2am+ax+a−2amm+a，
∴D（0，a−2amm+a），
∴OD=−a−2amm+a，
∵A，M都在反比例函数图象上，
∴a•2a＝m•1，
∴m＝2a2，
∴OC﹣OD=a−2ama−m+a−2amm+a=2a2−4a2ma2−m2=2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上的点坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
类型2 反比例与三角形综合
典例16 (2023•宿迁）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）
A．1B．2C．22D．4
思路引领：根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可．
解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，2a），
∴OA=a2+4a2，
∵(a−2a)2≥0，
即：a2+4a2−4≥0，
∴a2+4a2≥4，
∵(a−2a)2≥0，
两边同时开平方得：a−2a=0，
∴当a=2a时，OA有最小值，
解得a1=2，a2=−2（舍去），
∴A点坐标为（2，2），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB=2OA＝22．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
类型3 反比例与四边形综合
17． (2023•鼓楼区校级模拟）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①四边形ADEC为平行四边形；②S四边形ACFP＝2k；③若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6；④若3AP＝BP，则4DA＝DO．
其中正确的是 ．
思路引领：设点B的坐标为（b，a），得到P（ka，a），E（b，kb），利用待定系数法求出直线PE的解析式为y=−abx+kb+a，再求出F（ka+b，0），P（ka，a），从而证出AP＝CF，所以四边形OABC是矩形，证得四边形ACFP是平行四边形，所以S四边形ACFP＝CF•OA=ka•a＝k，故②错误；由AC∥DF，OA∥∥BC，可证得四边形ADEC是平行四边形，故①正确；先由S△CEF＝1，判断出k2ab=2，再由S△PBE＝4，得出12（b−ka）•（a−kb）＝4，可求出k＝6，判断出③正确；由3AP＝BP，判断出ab＝4k，再求出点D坐标，即可判断出④错误；即可得出结论．
解：设点B的坐标为（b，a），
∵四边形ABCD为矩形，
∴A（0，a），C（b，0），
∵点P，E在反比例函数图形上，
∴P（ka，a），E（b，kb），
∴直线PE的解析式为y=−abx+kb+a，
令y＝0，代入得，x=ka+b，
∴F（ka+b，0），
∴CF=ka+b﹣b=ka，
∵P（ka，a），
∴AP=ka，
∴AP＝CF，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，AB∥OC，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CF•OA=ka•a＝k，故②错误；
∵四边形ACFP是平行四边形，
∴AC∥DF，
∵OA∥∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，故①正确；
∵S△CEF＝1，
∴12×ka×kb=1，
∴k2ab=2，
∵S△PBE＝4，
∴12（b−ka）•（a−kb）＝4，
∴ab﹣k﹣k+k2ab=8，
∴k22−2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故③正确，
若3AP＝BP，
则APBP=13，
∴APAB=14，
∵B（b，a），
∴AB＝b，
∵P（ka，a），
∴AP=ka，
∴kab=14，
∴ab＝4k，
∵直线PE的解析式为y=−abx+kb+a，
∴D（0，kb+a），
∵A（0，a），
∴AD=kb+a﹣a=kb，
∴ADDO=kbkb+a=kk+ab=kk+4k=15，故④错误；
∴正确的有①③．
故答案为：①③．
总结提升：本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APFC是平行四边形是解本题的关键
专题提优训练
一．选择题（共7小题）
1． (2023春•江岸区校级月考）如图P为双曲线y=kx上到原点的线段的长度最短的一个点，若∠APB＝45°，交x、y轴于A、B点，则△AOB的面积为（ ）
A．2kB．2k
C．kD．与k无关的一个确定值
思路引领：由P为双曲线y=kx上到原点的线段的长度最短的一个点，可得点P在第一象限的角平分线上，于是OP=2k．通过说明△APO∽△PBO，得出比例式，三角形面积可求．
解：连接OP，则OP=2k．如图，
∵∠APB＝45°，
∴∠APO+∠BPO＝45°．
∵OP为第一象限的角平分线，
∴∠POy＝45°．
∴∠PBO+∠OPB＝45°．
∴∠APO＝∠PBO．
∵∠AOP＝∠POB＝90°+45°＝135°，
∴△APO∽△PBO．
∴OAOP=OPOB．
∴OP2＝OA•OB．
∴S△AOB=12OA×OB=12OP2=12×2k=k．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，依据点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
2．（2016•本溪）如图，点A、C为反比例函数y=kx(x＜0)图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为32时，k的值为（ ）
A．4B．6C．﹣4D．﹣6
思路引领：设点C的坐标为（m，km），则点E（12m，k2m），A（12m，2km），根据三角形的面积公式可得出S△AEC=−38k=32，由此即可求出k值．
解：设点C的坐标为（m，km），则点E（12m，k2m），A（12m，2km），
∵S△AEC=12BD•AE=12（12m﹣m）•（2km−k2m）=−38k=32，
∴k＝﹣4．
故选：C．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标表示出A、E点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
3． (2023秋•渭滨区期末）如图，反比例函数y=kx的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
思路引领：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．
解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；
∵反比例函数的解析式为y=2x，
把x＝2代入求得y＝1，
∴图象也经过点B（2，1），故C正确；
由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；
故选：D．
总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．
4． (2023春•南开区校级月考）若点A（x1，﹣3），B（x2，1），C（x3，3）在反比例函数y=−9x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x1＜x3＜x2D．x2＜x3＜x1
思路引领：根据反比例函数的性质可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．
解：∵k＝﹣9，
∴反比例函数y=−9x的图象在二四象限，且在每个象限y随x是增大而增大，
∵在第二象限内的点对应的纵坐标都大于零，在第四象限内点对应的纵坐标都小于零，
∵点A（x1，﹣3），B（x2，1），C（x3，3）在反比例函数y=−9x的图象上，
∴x2＜x3＜x1，
故选：D．
总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．（2017秋•槐荫区期末）某一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A．y＝2x+4B．y＝﹣2x+4C．y＝3x+1D．﹣y＝3x﹣1
思路引领：设一次函数关系式为y＝kx+b，y随x增大而减小，则k＜0；图象经过点（1，2），可得k、b之间的关系式．综合二者取值即可．
解：设一次函数关系式为y＝kx+b，
∵图象经过点（1，2），
∴k+b＝2；
∵y随x增大而减小，
∴k＜0．
即k取负数，满足k+b＝2的k、b的取值都可以．
故选：B．
总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一．只要满足条件即可．
6． (2023•北碚区校级模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=−43x的图象相交于A、B两点，延长BO交反比例函数图象的另一支于点C，连接AC交x轴于点D，若ADAC=14，则△ABC面积为（ ）
A．83B．2833C．103D．3233
思路引领：根据B、C的对称性，只要求得△AOB的面积，即可求得△ABC的面积．
解：如图：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，AG⊥x轴于G，
∴AE∥CF，
∴△AED∽△CFD，
∴AECF=ADCD，
∵ADAC=14，
∴AECF=ADCD=13，
设AE＝a，则CF＝3a，
∴A（−43a，a），C（433a，﹣3a），
根据对称性可得点B（−433a，3a）．
∵S△AOB＝S△BOG+S梯形ABGE﹣S△AOE＝S梯形ABGE，
∴S△AOB=12（a+3a）（−433a+43a）=1633，
∴S△ABC＝2S△AOB=3233，
故选：D．
总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
7． (2023•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
思路引领：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．
解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵将直线y＝﹣3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AB=OA2+OB2=10，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC=5，
∴S矩形OECF＝S△AOB+S△ABC=12×1×3+12×5×5=4．
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF＝90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB＝∠FCB+∠BCE＝90°，AC＝BC，
∴∠ACF＝∠BCE．
在△ACF和△BCE中，
∠AFC=∠BEC=90°∠ACF=∠BCEAC=BC，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S△ACF＝S△BCE，
∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB+S△ABC．
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝S矩形OECF＝4，
故选：C．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
8． (2023•江夏区模拟）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1，3），则另一个交点坐标是 ．
思路引领：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
总结提升：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
9． (2023秋•三明期末）如图，点A，B为反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD=23OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 ．
思路引领：先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（32a，32b），再根据△OCD的面积为2，列出关系式求得k的值．
解：作BE⊥x轴于E，
∵AC⊥x轴于C，
∴AC∥BE，
∴BECD=OEOC=OBOD，
设点D坐标为（a，b），
∵OD=23OB，
∴BE=32CD，OE=32OC，
∴点B的坐标为（32a，32b），
∴k=94ab，
∵△OCD的面积为2，
∴12ab＝2，
∴ab＝4，
∴k=94ab＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△COD的面积为2列出关系式是解题的关键．
10． (2023秋•乳山市期末）反比例函数y=3x和y=1x在第一象限的图象如图所示．点A，B分别在y=3x和y=1x的图象上，AB∥y轴，点C是y轴上的一个动点，则△ABC的面积为 ．
思路引领：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAD=32，S△OBD=12，即可求得S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1．
解：连接OA、OB，延长AB，交x轴于D，
∵AB∥y轴，
∴AD⊥x轴，OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAD=12×3=32，S△OBD=12×1=12，
∴S△OAB＝S△OAD﹣S△OBD＝1，
∴S△ABC＝1，
故答案为：1．
总结提升：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
11． (2023秋•温江区校级期末）如图，点A是反比例函数y=kx（k＞0）图象位于第一象限内的一支上的点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点B作BC∥OA交双曲线于点C，连接AC并延长，交x轴于点D，则OBBD= ．
思路引领：首先利用两直线平行对应的一次函数的k值相等，求出直线BC的解析式，然后与反比例函数解析式联立通过解方程组表示出C点横坐标，再利用相似三角形的性质将OBBD转化为A、C两点横坐标的比值关系即可求解．
解：∵A点、C点在y=kx（k＞0）上，
∴设A点坐标为（m，km），C点坐标为（n，kn），
∵AB⊥x轴于点B，
∴B点的坐标为（m，0），
∵直线OA经过原点，
∴直线OA的解析式为y=km2x，
设直线BC的解析式为y＝k2x+b，
∵BC∥OA，
∴k2=km2，
∴设直线BC的解析式为y=km2x+b，
将B（m，0）代入得0=km+b，
∴b=−km，
∴直线BC的解析式为y=km2x−km，
联立y=km2x−km与y=kx解得
x=m(1+5)2或x=m(1−5)2，
∵C点在第一象限，
∴C点横坐标为n=m(1+5)2，
∵BC∥OA，
∴△AOD∽△CBD，
∴ODBD=kmkn=nm=1+52，
∴ODBD=OB+BDBD=OBBD+1=1+52，
∴OBBD=5−12，
故答案为：5−12．
总结提升：本题主要考查相似三角形的性质和反比例函数的性质，利用相似三角形的性质将OBBD转化为ODBD即可求解，属于中等难度题型．
12． (2023•锡山区模拟）如图，在▱ABCD中，点B在y轴上，AD过原点，且S▱ABCD＝15，A、C、D三点在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k＝ ．
思路引领：作AH⊥OB于H，CE⊥y轴于E，DF⊥CE于F，证明△CFD≌△AHB，设A（x，y），则D（﹣x，﹣y），由S▱ABCD＝15，OA＝OD，得S△AOB=154，所以OB=152x，BH=152x−y，即点C的坐标为（﹣2x，152x−2y），把点A、D两点代入反比例函数y=kx（k≠0），可求得k的值．
解：如图，作AH⊥OB于H，CE⊥y轴于E，DF⊥CE于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AH∥x轴∥CF，
∴∠BAH＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠AHB＝90°，
∴△CFD≌△AHB（AAS），
∴AH＝CF，DF＝BH，
设A（x，y），则D（﹣x，﹣y），
∵S▱ABCD＝15，OA＝OD，
∴S△AOB=154，
∴OB=152x，BH=152x−y，
∴点C的坐标为（﹣2x，152x−2y），
∵A、C、D三点在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，
∴xy＝﹣2x（152x−2y）＝k，
∴k＝xy＝5．
故答案为：5．
总结提升：本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是构造△CFD≌△AHB得出点D的坐标．
13． (2023•闽侯县模拟）已知过原点O的直线与双曲线y=3x在一三象限分别交于A，B两点，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，tan∠ABC=12，则△ABC的面积为 ．
思路引领：设点A为（3a，a），想办法构建方程即可解决问题．
解：由题意可知OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠OCB+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABC，
设点A为（3a，a），则OD=3a，AD＝a，
∵tan∠ABC=12，
∴tan∠CAD=CDAD=12，
∴CD=12a，
∴OA＝OC=3a+12a，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴（3a+12a）2＝（3a）2+a2，
解得，a＝2或﹣2（舍弃），
∴OC=52，AD＝2
∴S△ABC＝2S△AOC＝2×12×52×2＝5，
故答案为5．
总结提升：本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
14．（2018•椒江区校级模拟）如图，反比例函数y1=3x的图象与一次函数y2＝x+2的图象交于A、B两点．当x满足 时，y1＜y2．
思路引领：解两函数组成的方程组，求出A、B的坐标，根据图象和A、B的坐标即可得出答案．
解：解方程组y=3xy=x+2得：x=−3y=−1或x=1y=3，
即A的坐标为（1，3），B的坐标为（﹣3，﹣1），
所以当﹣3＜x＜0或x＞1，y1＜y2．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1．
总结提升：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能正确识图是解此题的关键，数形结合思想的运用．
15． (2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+b交反比例函数y=3x（x＞0）的图象于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，AE⊥x轴于点E，交OB于点F．若图中四边形BCEF与△AOF的面积差为12，则△ABF与△OEF的面积差为 ．
思路引领：作BH⊥OC于点H，由一次函数性质可得AE＝CE，根据反比例函数面积性质及四边形BCEF与△AOF的面积差为12推出△BCH面积为1，可求出OH＝3，OC＝4，设OE＝x，则CE＝AE＝x，列方程求解x＝1后，△ABF与△OEF的面积转换为△ACE与△BOC的差，即可求解．
解：作BH⊥OC于点H，如图所示，
由y＝﹣x+b知OC＝OD＝b，
∴∠DCO＝45°．
∵AE⊥OC于点E，
∴AE＝CE．
由反比例函数面积性质可知S△AOE＝S△BOH，
∴S△AFO＝S四边形BHEF，
∵四边形BCEF与△AOF的面积差为12，
即△BCH面积为12．
∴BH＝CH＝1．
∵点A、B在反比例函数y=3x的图象上，
∴OH＝3，OC＝4，
设OE＝x，则CE＝AE＝4﹣x，
∴x（4﹣x）＝3，
∴x1＝1，x2＝3（舍去），
∴CE＝AE＝3，
∴△ABF与△OEF的面积差等于△ACE与△BOC的差，
即为12×3×3−12×4×1=52．
故答案为：52．
总结提升：本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉以上知识点是解题的必备条件，本题关键在于推出△BCH面积为1．
三．解答题（共1小题）
16． (2023秋•成华区期末）如图1，直线y＝﹣x+42与x，y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y=6x（x＞0）的图象的两交点分别为点C，D，点M是反比例函数上一动点．
（1）求△OCD的面积；
（2）是否存在点M，使得△ODM∽△OAD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为E，F，是否存在点M，使得矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）先求点B的坐标为（0，42），点C坐标为（2，32），点D坐标为（32，2），过点D作DH⊥OB于点H，得S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC=12×42×32−12×42×2=8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，先证明△NPO≌△DQO，得点N的坐标为（−2，32），先求直线DN的函数关系式为：y=−12x+522，再解方程组：y=−12x+522y=6x，得点M坐标为（22，322），再通过计算得AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，即可证出△MOD∽DOA；
（3）如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，6m），先表示出点T的坐标为（m，13m），点S的坐标为（2m，6m），根据矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236，得方程6−12×2m×6m−12×m×m3=236，即可求解．
解：（1）在y＝﹣x+42中，x＝0时，y＝42，
∴点B的坐标为（0，42），
解方程组：y=−x+42y=6x，
得：x=32y=2或x=2y=32，
∴点C坐标为（2，32），点D坐标为（32，2），
过点C作CG⊥OB于点G，过点D作DH⊥OB于点H，
∴S△DCO＝S△OBD﹣S△OBC=12×42×32−12×42×2=8；
（2）存在点M，使得△ODM∽△OAD，
假设存在点M，使得△ODM∽△OAD，此时∠MDO＝45°，
以OD为直角边构建等腰直角△NOD，过点N作NP⊥OB于点P，过点D作DQ⊥OA于点Q，
∴∠NOP+∠POD＝∠DOQ+∠POD＝90°，
∴∠NOP＝∠DOQ，
∵∠NPO＝∠DQO＝90°，NO＝DO，
∴△NPO≌△DQO（AAS），
∴PN＝QD=2，PO＝QO＝32，
∴点N的坐标为（−2，32），
设直线DN的关系式为：y＝kx+b，
把点D（32，2），N（−2，32）代入，
32k+b=2−2k+b=32，
解得：k=−12b=522，
直线DN的函数关系式为：y=−12x+522，
解方程组：y=−12x+522y=6x，
解得：x=22y=322或x=32y=2，
∴点M坐标为（22，322），
∴DM=(32−22)2+(322−2)2=102，
OD=(32)2+(2)2=25，
OA＝42，
AD=(42−32)2+(2)2=2，
∴AD：OA＝2：42=2：4；DM：OD=102：25=2：4，
∴AD：OA＝DM：OD，且∠MDO＝∠DAO＝45°，
∴△MOD∽△DOA，此时M点坐标为（22，322）；
（3）当点M在点C，点D之间时，如图，重叠面积为四边形MSOT，设点M坐标为（m，6m），
根据点D坐标为（32，2），得OD的关系式为：y=13x，
当x＝m时，y=13m，
∴点T的坐标为（m，13m），
∴OE＝m，TE=13m，
根据点C坐标为（2，32），得OC的关系式为：y＝3x，
当y=6m时，3x=6m，
解得：x=2m，
∴点S的坐标为（2m，6m），
∴SF=2m，OF=6m，
∵矩形OEMF与△OCD的重叠部分的面积S等于236，
∴6−12×2m×6m−12×m×m3=236，
化简得，m4﹣13m2+36＝0，
解得：m＝±2或±3，
∵m＞0，
∴m＝2或3，
∴点M的坐标为（2，3）或（3，2）．
当点M在点C的左侧或点D的右侧时，重合的面积小于3，不合题意，
综上所述：M点坐标为（2，3）或（3，2）．
总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数图象交点，三角形面积求法，一次函数解析式求法，三角形全等的判定与性质，解题关键是构建等腰直角三角形，运用方程思想解决问题．x
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﹣1
0
1
2
3
…
y
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8
6
4
2
0
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