安徽省桐城中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题

这是一份安徽省桐城中学2023-2024学年高一下学期开学检测数学试题，共5页。试卷主要包含了 单选题， 多选题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.已知集合A={0，1，2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
2.已知实数集A满足条件:若a∈A,则1+a1-a∈A,则集合A中所有元素的乘积为( )
A.1B.-1C.±1D.与a的取值有关
3.已知tanαtan(α+π4)=-23,则sin(2α+π4)等于( )
A.-25B.25C.-210D.210
4.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
5.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
6.已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)=g(x)-g(-x)+2,对任意的x1,x2∈(-1,1),x1≠x2,恒有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为( )
A.(-14,+∞)B.(-14,0)C.(-∞,-14)D.(-23,0)
7.设命题p:x3-4x2x⩽0,命题q:x2-(2m+1)x+m2+m⩽0,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为( )
A.-2⩽m⩽1B.-3⩽m⩽1
C.-2⩽m<0或08.对于定义在R上的函数f(x),若存在正常数a,b,使得f(x+a)⩽f(x)+b对一切x∈R均成立,则称f(x)是“控制增长函数”.给出以下四个函数:(1)f(x)=ex;(2)f(x)=|x|;(3)f(x)=sinx2;(4)f(x)=xsinx.其中“控制增长函数”的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.已知正数x,y,z满足3x=4y=6z,则下列说法中正确的是( )
A.1x+12y=1zB.3x>4y>6zC.xy>2z2D.x+y>(32+2)z
10.若“∃x0∈(0,2),使得2x02-λx0+1<0成立”是真命题,则实数λ可能的值是( )
A.1B.22C.3D.32
11.我市计划在龙眠河上游打造一座宏伟的大水车，旨在为城市增添一道令人惊叹的风景线。假设水轮半径为4米(如图所示),水轮中心O距离水面2米,水轮每60秒逆时针转动一圈,如果水轮上点P浮出水面时(图中P0)开始计时,则( )
A.点P第一次达到最高点,需要20秒
B.当水轮转动155秒时,点P距离水面2米
C.在水轮转动的一圈内,有15秒的时间,点P距离水面超过2米
D.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=4sin(π30t-π6)+2
12.已知函数f(x)=ln(4x2+1+2x)+x3,g(x)=f(x-1).若实数a,b(a,b均大于1)满足g(3b-2a)+g(2-a)>0,则下列说法中正确的是( )
A.f(x)在R上单调递减B.g(x)的图象关于点(1,0)中心对称
C.ea-b>baD.lga(a+1)>lgb(b+1)
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.若函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数f(lg2x-1)的定义域为________
14.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0),f(π6)=f(π3),且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值,无最大值.则ω=________
15.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+bc+2ca的最大值为最小值为________
16.已知函数f(x)=|x+1x-ax-b|(a,b∈R),当x∈[12,2]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为________
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）已知全集U=R,集合A={x|x2-2x-15<0},集合B={x|(x-2a+1)(x-a2)<0}.
(1)若a=1,求∁UA和B;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
18.（12分）(1)已知函数y=(2-sinx)(2-csx)(0⩽x⩽π2),求函数的值域.
(2)已知函数y=1-sinθcsθ,θ∈(0,π2),求函数的值域.
19.（12分）(1)已知x,y>0,求x2x+y+2yx+2y的最大值.
(2)已知x>1,y>12,x2a2(2y-1)+4y2a2(x-1)⩾1,求a的最大值.
20.（12分）设函数f(x)=sin(x+π6)sin(π3-x)+cs2(x-π3).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x+φ-π24)-12,φ∈(0,π)且tanφ=34,求函数g(x)在区间[0,π2]上的取值范围.
21.（12分）已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)求证:f(x)在(-1,1)上是減函数;
(3)若f(12)=-1,f(x)⩽t2-2at-1对任意的x∈[-12,12],a∈⌈-1,1⌉恒成立,求实数t的取值范围.
22.（12分）已知函数f(x)=a(1-2|x-12|),a为常数且a>0.若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为函数f(x)的二阶周期点,如果f(x)有两个二阶周期点x1,x2,试确定a的取值范围.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
【解析】显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故f(x)为奇函数,f(x)在(0,1)上单调递增,故选 A.
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
【解析】对于(1),f(x+a)⩽f(x)+b可化为ex+a⩽ex+b,即ex⩽bea-1对一切x∈R恒成立,由函数f(x)的定义域为R可知,不存在满足条件的正常数a,b,所以函数f(x)=ex不是“控制增长函数”。对于(2),若f(x)=|x|是“控制增长函数”,则f(x+a)⩽f(x)+b可化为|x+a|⩽|x|+b,所以|x+a|⩽|x|+b2+2b|x|对一切x∈R恒成立，又|x+a|⩽|x|+a,要使|x|+a⩽|x|+b2+2b|x|恒成立,只要|x|⩾a-b22b,显然,当a二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】ACD
【解析】正数x,y,z满足3x=4y=6z,设3x=4y=6z=t(t⟩1),则x=lg3t,y=lg4t,z=lg6t.对于A,1x+12y-lgt3+12lgt4=lgt6=1z,故A正确.对于B,3x=3lg3t,4y=4lg4t,6z=6lg6t,因为3x4y=3lg3t4lg4t=34lg34<1,所以3x<4y,因为4y6z=4lg4t6lg6t=23lg46<1,所以4y<6z,所以3x<4y<6z,故B错误.对于C,由1z=1x+12y>212xy(x≠2y),两边平方,可得xy>2z2,故C正确.对于D,由xy>2z2,可得x+y>2xy>22z2=22z>(32+2)z(x≠y),故D正确.故选AC D.
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】BD
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】[2,4]
【解析】x∈[-1,1],则2x-1∈[-12,1],则lg2x-1∈[-12,1],即-12⩽lgxx-1⩽1,所以x∈[2,4].
14.【答案】143
【解析】因为f(π6)=f(π3),所以f(π4)=±1,由π4∈(π6,π3),得f(π4)=-1,从而ωπ4+π3=2kπ-π2(k∈Z).因为f(x)在区间(π6⋅π3)上有最小值,无最大值,
15.【答案】3+12
【解析】设0因此(3-1)(ab+bc+2ca)⩽1,即ab+bc+2ca⩽3+12,当b=(3-1)a,c=a时取等号.故ab+bc+2ca的最大值为3+12.
16.【答案】14
【解析】思路1设g(x)=x+1x-ax-b,利用M(a,b)与|g(12)|,|g(1)|,|g(2)|的关系及绝对值三角不等式求解。解法1设g(x)=x+1x-ax-b,则M(a,b)⩾|g(12)|,M(a,b)⩾|g(1)|,M(a,b)⩾|g(2)|.因为g(12)=52-12a-b,g(1)=2-a-b,g(2)=52-2a-b,所以2g(12)-3g(1)+g(2)=32,所以32-|2G(12)-3G(1)+E(2)|⩽2|g(12)||3|g(1)|||g(2)|⩽GM(u,b),故M(a,b)⩾14,当a-0,b=94时取等号.综上,M(a,b)的最小值为14.
思路2设g(x)=x+1x(12⩽x⩽2),h(x)=ax+b(12⩽x⩽2),则f(x)-|g(x)-h(x)|,再利用实数之差的绝对值的几何意义求解.解法2设g(x)=x+1x(12⩽x⩽2),h(x)=ax+b(12⩽x⩽2),则f(x)=|g(x)-h(x)|.作图,对每个x的值,f(x)表示g(x),h(x)的图象上两点间的品离(纵向),所以M(a,b)⩾52-22=14.此时a=0,b=52+22=94.故M(a,b)的最小值为14.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)集合A={x|x2-2x-15<0}={x-3(2)因为A∪B=A,所以B⊆A.
①当B=∅时,a2=2a-1,解得a=1;
②当B≠∅,即a≠1时,B={x|2a-1又由(1)可知集合A={x|-318.（12分）(1)y=(2-sinx)(2-csx)=sinxcsx-2(sinx+csx)+4,令sinx+csx=t,t∈[1,2],则y=t2-12-2t+4=12t2-2t+72∈[92-22,2].
(2)令{sinθ=v,csθ=u,则u2+v2=1,其中u>0,v>0.由题意得y=1-sinθcsθ=1-vu,θ∈(0,π2),由直线斜率的定义即可得y∈(0,1).【评注】本题也可用以下方法求解:由θ∈(0,π2),知y=1-sinθcsθ=1-cs(π2-θ)sin(π2-θ)=tan(π4-θ2)∈(0,1).
19.（12分）(1)解法1:设y>x>0,f(x,y)=x2x+y+2yx+2y=12+yx+2yx1+2yx,今yx=t>1.则f(t)=12+t+2t1+2t=12+t+2t+1-11+2t=12+t-11+2t+1,求12+t-11+2t的最大值即可。今p=12+t-11+2t=t-1(2+t)(1+2t),再令t-1=m,则p=m(3+m)(3+2m)=m9+9m+2m2=19m+2m+9⩽162+9=-223+1,故f(x,y)max=2-223.解法2:令{2x+y=a>0,x+2y=b>0,
则{x=2b-a3,y=2a-b3,x2x+y+2yx+2y=2b-a3a+2(2a-b)3b=2-13(ba+2ab)⩽2-223.
(2)令2y-1=u>0,x-1=v>0,则有(v+1)2u+(u+1)2v⩾a2,由[(v+1)2u+(u+1)2v](u+v)⩾[(v+1)+(u+1)]2,得(v+1)2u+(u+1)2v⩾[(v+1)+(u+1)]2u+v=(u+v)+4u+v+4⩾8⩾a2,得a⩽22,即a的最大值为22.
20.（12分）(1)f(x)=12sin(2x+π3)+12cs(2x-2π3)+12
=12[sin(2x+π3)-cs(2x+π3)]+12=22sin(2x+π12)+12.令-π2+2kπ⩽2x+π12⩽π2+2kπ,k∈Z,解得-7π24+kπ⩽x⩽5π24+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-7π24+kπ,5π24+kπ],k∈Z.
(2)由(1)可知g(x)=22sin(2x+2φ),因为0⩽x⩽π2,所以2φ⩽2x+2φ⩽π+2φ.又φ∈(0,π),且tanφ=34,所以sinφ=35,csφ=45,0<φ<π4,则0<2φ<π2,所以π<π+2φ<3π2,所以sin(π+2φ)=-sin2φ=-2sinφcsφ=-2425,所以-2425⩽sin(2x+2φ)⩽1,则-12225⩽g(x)⩽22,即g(x)在区间[0,π2]上的取值范围为[-12225,22].

21.（12分）(1)令x=0,y=0,得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)设-10,|x1|<1,|x2|<1,所以|x1x2|<1,即-10.又x2-x11-x1x2-1=(1+x1)(x2-1)1-x1x2<0,所以0f(x2),所以f(x)在(-1,1)上是减函数.
(3)由(2)知f(x)在(-1,1)上是减函数,
所以当x∈[-12,12]时,函数f(x)的最大值为f(-12)=-f(12)=1,f(x)⩽t2-2at-1对任意的x∈[-12,12],a∈[-1,1]恒成立,等价于1⩽t2-2at-1对任意的a∈[-1,1]恒成立,即t2-2at-2⩾0对任意的a∈[-1,1]恒成立.
设g(a)=t2-2at-2=-2ta+t2-2,a∈[-1,1]，要使g(a)=-2ta+t2-2⩾0恒成立,则{g(1)⩾0,g(-1)⩾0,即{t2-2t-2⩾0,t2+2t-2⩾0,解得t⩽-1-3或t⩾3+1,所以实数t的取值范围是(-∞,-1-3]∪[1+3,+∞).

22.（12分）【答案】f(x)={2a(1-x),x>12,2ax,x⩽12,
当012,4a2x,x⩽12,
由f[f(x)]=x解得x=0,而f(0)=0,故x=0不是二阶周期点,所以0当a=12时,f[f(x)]={-x+1,x>12,x,x⩽12,f[f(x)]=x有解集{xx⩽12,而当x⩽12时,f(x)=x恒成立,所以a=12不合题意.
当a>12时,f[f(x)]={4a2-4a2x,x>4a-14a,4a2x+2a(1-2a),12由f[f(x)]=x解得x=0或2a1+4a2或2a1+2a或4a21+4a2,又f(0)=0,f(2a1+4a2)≠2a1+4a2,f(2a1+2a)=2a1+2a,f(4a21+4a2)≠4a21+4a2,所以f(x)恰有两个二阶周期点,
综上,a的取值范围是(12,+∞).