2023年河南省平顶山市郏县二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倒数定义可知，的倒数是．
【详解】解：-×-=1
故答案为：C.
【点睛】此题考查倒数的定义，解题关键在于熟练掌握其定义．
2. 如图所示的正三棱柱，下列说法正确的是（ ）
A. 该三棱柱俯视图是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 该三棱柱的俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 该三棱柱的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 该三棱柱的俯视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，根据所学知识可知，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形； 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；正三棱柱的俯视图是等边三角形，据此即可求解.
【详解】解：∵正三棱柱的俯视图是等边三角形，等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形
故选：A.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “在足球赛中，弱队战胜强队”是不可能事件
B. 疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查
C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5
D. 数据201，202，198，199，200的方差是0.2
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据概率的意义以及方差的定义和随机事件、全面调查和抽样调查的定义进行分析得出答案即可．
【详解】A、弱队有可能战胜强队，所以是可能事件，故错；
B、疫情期间从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用普查，故错；
C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5，正确；
D、平均数为200，代入方差公式可求方差为2，故错；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方差的意义以及全面调查与随机事件和概率的意义，能够把方差与概率的意义与实际问题相结合是本题的关键．
4. 下列计算：①；②；③；④，其中计算正确的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算公式、乘法公式进行判断即可．
【详解】①，正确；
②；正确；
③，正确；
④，正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算、幂的运算等知识点，熟记公式并能灵活运用是解决问题的关键．
5. 如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出机器人走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，机器人走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解．
【详解】解：∵机器人每次都是前进再逆时针旋转，
∴机器人走过的图形是正多边形，
∴边数，
∴机器人第1次回到出发点时，一共走了，
故选：C．
6. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集，根据已知不等式的解集确定出的取值范围，再根据的范围在数轴上表示出来即可求解，由已知不等式的解集确定出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：由不等式得，，
∵关于的不等式的解集是，
∴，
∴，
在数轴上表示为：
故选：．
7. 对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】解：根据题意：
，
由：，
故：，
即：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．
8. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在反比例函数的图象上．若是等腰直角三角形，则下列的值错误的是（ ）
A. -28B. -21C. -14D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C1作C1E⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C1坐标，同理可求C2，坐标，进一步可解决问题．
【详解】解：如图，过点C1作C1E⊥x轴于E，过点C2作C2F⊥y轴于F，连接，， 交于点C3，
∵△ABC1和△ABC2是等腰直角三角形,
∴，，
∴
∴
∴
∴
∴四边形是正方形，
∵一次函数中，当x=0时，y=0+4=4，
∴A（0，4），
∴OA=4；
∵当y=0时，0=x+4，
∴x=-3，
∴B（-3，0），
∴OB=3；
∵∠ABC1=90°，AB=BC1，
∵∠C1BE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠C1BE=∠BAO．
在△AOB和△BEC1中，
，
∴△AOB≌△BEC1（AAS），
∴BE=AO=4，C1E=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C1点坐标为（-7，3），
∵点C1在反比例函数y=（x＜0）图象上，
∴k=-7×3=-21；
同理可得C2(-4，7)
∴k=-28；
过C3作C3H⊥x轴，C3G⊥y轴，垂足分别为H，G，
∵
∴四边形矩形
∴
∵
∴，
又
∴
∴AG=BH，
∴矩形是正方形
∴OH=OG
设，则OG=OA-AG=4-t，OH=OB+BH=3+t
∴4-t=3+t
解得，
∴
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
9. 如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，连结、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据点，是以为直径的半圆的三等分点，可得,点是的二等分点，则垂直平分，得到,，根据的长为，可求得，根据,可求得结果．
【详解】解，如图示，连接，
点，是以为直径的半圆的三等分点，
∴,
∴点是的二等分点，
∴垂直平分，
∴,
又∵的长为，
设半径，则有，
∴，
∴,，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了不规则图形的面积计算，三角形的面积和扇形面积的计算，熟悉相关性质是解答本题的关键．
10. 如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过两点，再根据的长即可得到的值．
【详解】解：如图1，
直线中，
令，则；令，则，
∴直线与坐标轴围成的为等腰直角三角形，
∴直线与直线平行，即直线沿轴的正方向平移时，同时经过两点，
由图2可得，当时，直线经过点，
∴，
∴，
当时，直线经过点，
∴当时，直线经过两点，
∴，
∴等腰中，，
即当时，，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若,则=_______.
【答案】5
【解析】
【分析】因为，用一个未知数k表示，可分别表示出x、y和z，代入原式可直接求得结果．
【详解】解:设=k
则 x=3k,y=5k,z=7k
=
=
=5
故答案为:5.
【点睛】此题的重点在于能够表示出三个字母的比值．要把含有同一个字母所占的份数变成相同的，即可表示出来．然后已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
12. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，m-1=2x-2，
解得，，
∵方程的解是正数，
∴m+1＞0，
解这个不等式得，m＞-1，
∵，
∴m≠1，
则m的取值范围是m＞-1且．
故答案为：m>-1且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握解分式方程的方法和步骤．
13. 点在反比例函数的图象上，若，求的取值范围______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分两种情况：点在图象的同一个分支上和当点在图象的两个分支上，列出不等式组解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
又∵点，在反比例函数的图象上，
∴有以下两种情况：
（）当点在图象的同一个分支上时，
当点都在第二象限时，
∵，
∴，
解得；
当点都在第四象限时，
∵，
∴，
此不等式组无解；
（）当点在图象的两个分支上时，
∵，
∴点在第四象限，点在第二象限，
∴，
解得；
综上，的取值范围为或．
14. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当时BE＝a，G是线段AD的中点．其中正确的结论是_____．
【答案】①④⑤
【解析】
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．
【详解】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
15. 如图，中，，，，是的中线，E是线段上一动点，将沿折叠，点A落在点F处，线段与线段交于点G，若是直角三角形，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
分两种情形：如图1中，当时．如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，，
，
∴，
∴．
若是直角三角形，有两种情况：
I．如图1中，当时．
∴，
作于．则，
在中，，，
∴，
．
II．如图2中，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，此时点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
【答案】；代入求值的结果为4
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再确定x的值代入即可．
【详解】解：原式
．
，
，
由解题过程知,则.
当时，原式
17. 为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：），并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生身高的频数分布表
请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：样本容量为_______，______，样本中位数所在组别为_______．
（2）学生身高扇形统计图中，组的扇形的圆心角度数为______．
（3）已知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于的学生约有多少人？
【答案】（1）100，30，C；（2）；（3）估计该校七年级身高不低于的学生人数约有300人．
【解析】
【分析】（1）根据统计图数据，运用公式分别计算即可；
（2）根据已知数据，用圆心角计算公式计算即可；
（3）找到满足条件的数据，运算即可．
【详解】（1）15÷=100，
（100-15-35-15-5）÷100=30%，则a=30，
样本中位数在第50和51的平均数处，故在C组；
（2）35÷100×360°=；
（3）根据题意，D、E两组满足条件，则（人）.
所以估计该校七年级身高不低于的学生人数约有300人．
【点睛】本题主要考查了统计表、中位数、平均数、求扇形圆心角以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键．
18. 如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．
（1）求证：；
（2）若，当______时，四边形是菱形；
（3）若，当______时，四边形是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得BE=DG；
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF时，BC与AB的数量关系即可；
（3）当四边形AECG是正方形时，AE=EC，由AE=AB，可得EC=AB，再有BE=AB可得BC=AB．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴CG⊥AD，AE=CG，
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），
∴BE=DG．
（2）解：当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），
∵BE=CF，BC=AB，
∴EF=AB．
∴AB=BF．
∴四边形ABFG是菱形．
故答案是：；
（3）解：BC=AB时，四边形AECG是正方形．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC=90°，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是矩形，
当AE=EC时，矩形AECG是正方形，
∵∠B=60°，
∴EC=AE=AB，BE=AB，
∴BC=AB．
故答案是：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．
19. 2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级．红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台型设备和3台型设备共需130万元，购买1台型设备的费用恰好可购买2台型设备．
（1）求两种设备的价格；
（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如所示）．
①的解析式为_____________；
的解析式为______________．
②当销售量（）满足条件________时，该公司盈利（即收入大于成本）．
（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中型设备每天生产量为1.2吨，型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？
【答案】（1）型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；（2）①；；②；（3）至少购买型设备8台．
【解析】
【分析】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元，根据题意列二元一次方程组求解即可．
（2）①根据函数图像给出的点的信息，设函数表达式，求解参数即可．
②根据图像读出数据；
（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元.依题意，得
，解得，
答：A型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；
（2）①根据图像特点，设，，
将点（10,20）代入，求解得到k=2，则；
将点（0,10）、（10,20）代入，求解得到m=1，n=10，则；
②从图形可以看出时，该公司盈利；
（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，依题意得
，解得.
∴的最小整数为，
答：至少购买A型设备8台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数性质与图像、一元一次不等式等有关知识点，读懂图像理解题意是解决问题的关键．
20. 天柱塔，又名天中塔，始建于年，驻马店标志性建筑，位于驻马店市开源大道与乐山大道交汇处．天中塔是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度．在离点米的处，用测角仪测得塔顶端的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米?（结果精确到米）
（参考数据：，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，过点作，垂足为，由题意得，，米，，由坡度可得，解三角形可得米，米，得到米，解直角可得米，即可得到米，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得，，米，，
∵斜坡的坡度，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴(米)， (米)，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴(米) ，
∴塔高度约为米．
21. 如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点，在该二次函数图象上．
①当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
②若点M，N位于抛物线对称轴的两侧，且，请求出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）①，理由见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握相关结论是解题关键．
（1）将点代入求得函数解析式即可求解；
（2）①根据抛物线的开口方向和对称轴即可求解；②分类讨论若点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧；若点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，两种情况即可求解；
【小问1详解】
解：将点代入得：，
解得：，
∴，
故顶点坐标为：
【小问2详解】
解：①，理由如下：
由（1）可得：抛物线的对称轴为直线
∵，
∴
即：点，均在抛物线的对称轴的左侧
∵
∴
即：点，均在抛物线的对称轴的左侧，且点在点的左侧
∵抛物线开口向上
∴
②若点在对称轴左侧，点在对称轴的右侧，
则：，
此时无解；
若点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，
则：，
解得：
∵，
∴，
解得：
综上所述：
22. 如图1，在矩形中，，，圆弧过点和延长线上的点，圆心在上，上有一个动点，，交直线于点．线段的长与的长以及的长之间的几组对应值如下表所示．
（1）将线段的长度作为自变量，在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图2所示．请在同一坐标系中画出函数的图象．
（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）
线段的长度的最大值约为______；
线段的长度的最小值约为______；
圆弧所在圆的半径约等于_______；
连结，面积的最大值约为_______．
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点、、为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段的长度的近似值．（结果精确到0.1）
【答案】（1）见解析；（2），，，；（3）画函数图象见解析；当为等腰三角形时，线段的长度约为或或．
【解析】
【分析】（1）根据表格描点连线即可；
（2）根据表中信息及函数图像估算最值即可；
（3）分情况讨论：当时，求得AP的长；当时，求得AP的长；当时，求得AP的长．
【详解】解：（1）所画函数图象如下图.
（2）当时，有最大值为；
当时，长度最小值为；
当P移动到A处时，此时PA=0，Q也在A点，QP也为0，
则QR为所在圆半径，所以QR=；
连接PC，∵，，
∴，
则当PQ值最大时，有最大值，
从表中可知：当时，有最大值为，
此时有最大值：=．
故答案为：，，，．
（3）画函数的图象（如图）.结合函数图象可得，
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值3.7就是的长度；
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值4.4就是的长度；
当时，函数与函数的图象相交，交点对应的值2.4就是的长度．
∴当为等腰三角形时，线段的长度约为或或．
【点睛】本题主要考查函数图像几何类问题，矩形的性质，勾股定理，圆的综合问题，以及分情况讨论等腰三角形腰的情况，正确理解函数中点代表含义、正确运用表中数据是解题关键．
23. 在中，，，点D为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．
（1）如图1，当时，的值是______；的度数为______；
（2）如图2，当时，请写出的值和的度数，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，当时，若，，请直接写出点E到的距离．
【答案】23. 1，60
24. ，理由见解析
25. 或
【解析】
【分析】（1）当时，和为等边三角形，证明即可求解；
（2）当时，和为等腰直角三角形，证明即可求解；
（3）过点A作于H，将线段绕点D逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．过点作于点，过点作于点，则点E到的距离就是的长度，分两种情况进行讨论，当当D在线段上时或当D在线段延长线上时，类似（2）构造相似三角形求解即可．
【小问1详解】
解：当时，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，，
由旋转的性质可得：，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴
在和中
∴
∴，，
∴，．
故答案为：1，60；
【小问2详解】
解：，理由如下：
当时，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
由旋转的性质可得：，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
又
∴
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：过点A作于H，将线段绕点D逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，．过点作于点，过点作于点，则点E到的距离就是的长度，
当D在线段上时，如下图：
由题意可得：
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
同理，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴；
当D在线段延长线上，如下图：
同理：，，
，
∴，
∴
综上所述：点E到的距离为或.
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
组别
身高（单位：）
频数
15
35
15
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
2.9
3.9
4.7
5.3
5.5
4.8
4.3
4.4
43
4.1
3.5
2.7
1.7
1.2
2.6