2022-2023学年山东省青岛市城阳区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省青岛市城阳区八年级下学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列四个图形是中心对称图形的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
如图，平移△ ???得到△ ???，已知点?、?之间的距离是2?
?，?? = 3??，则?? = ()
A.5
B.4
C.3
D.2
把多项式3?2−12分解因式，正确的是()
A.3(?2−4)B.(? + 2)(?−2)C.3(? + 2)(?−2)D.(3? + 6)(?−2)
如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为()
A.7B.8C.9D.10
如图，在平行四边形纸片????中，?? = 5??，将纸片沿对角线??对折，??边与??边交于点?，此时△ ??′?恰为等边三角形，则重叠部分的面积为??2．()
3
25
25
2
3
​
25
4
3
​
25
8
3
​
已知关于?的分式方程2?−?−5=1的解是正数，则?的取值范围是()
?−11−?
A.? > 6且? ≠ 7B.? <6C.? >6D.? < 6且? ≠ 1
如图，将△???先向右平移4个单位，再绕原点?旋转180°，得到△?′?′?，则点?的对应点?′的坐标是()
A.(2,3)
B.(−2,−3)
C.(−3,−2)
D.(−3,−1)
8.如果不等式组{? + 4<4?−5
的解集是? > 3，则?的取值范
围是()
A.? ≥ 3
B.? ≤ 3
C.? = 3
第 II卷（非选择题）
D.? <3
?>?
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
分式?2−16的值为0，则?的值为．
?+4
已知三角形的各边长分别是10??，24??，26??，则以各边中点为顶点的三角形面积是
??2．
如图，▱????的对角线??与??相交于点?，∠???=90°，??=12，??=16，则??的长为．
如图在，△ ???中，∠? = 65°，∠??? = 75° ?为??上一点，??交??于点且??，? = ?? = ??，连接??，∠? = 58°，则∠
??? =°.
某班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校260??.一部分学生乘慢车先行，出发
0.4ℎ后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区.已知快车的速度是慢车速度的
1.3倍，求慢车的速度？设慢车的速度为???/ℎ，则可列方程为．
某中学学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集30个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集25个废弃塑料.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于2800个，至少需要名七年级学生参加活动．
如图，在 △ ???中，∠? = 90°，∠? = 30°，?? = 6，将 △ ???绕点?逆时针方向旋转15°
得到△ ??′?′，?′?′交??.于点?，则?′? =．
如图，在 △ ???中，?? = ??，?? = 32，?? ⊥ ??，∠???的平分线交??于点?.且?? =
将∠?沿??折叠使点?与点?恰好重合，下列结论正确的有：(填写序号)．
①?? = 16
②点?到??的距离为8
③?? = 10
④? ?= 2? ?
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题4.0分)
已知：直线?及?外一点?，∠?．
求作：?? △ ???，使∠??? = 90°，∠??? = ∠?，且顶点?，?在直线?上．
(本小题16.0分)
(1)分解因式：?2?−6?? + 9?；
化简：1−?−3÷ ?−3；
?2−1?−1
解方程：= 2−；
?−23
?−33−?
(4)解不等式组： 5? + 1−1 ≥ 2?−1．
{5?−1<3(?+1)
23
(本小题6.0分)
(1121
先化简，再求值：−) ÷，其中? =．
?2−2??2−4?+4?2−2?5
(本小题6.0分)
在△ ???中，?? ⊥ ??，且?? = ??，??垂直平分??，交??于点?，交??于点?，连接??．
(1)若∠??? = 16°，求∠???的度数；
(2)若?? = 8??，求△ ???的周长．
(本小题6.0分)
2022年，我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统燃油汽车都有明显优势，经过对?款电动汽车和?款燃油汽车的对比调查发现，?款燃油汽车的平均每公里的加油费比?款电动汽车平均每公里的充电费多0.4元，若充电费和加油费均为500元时，?款电动汽车可行驶的总路程是?款燃油汽车行驶总路程的3倍，求?款燃油汽车平均每公里的加油费是多少元？
(本小题8.0分)
如图，在▱????中，点?是??的中点，连接??交??延长线于点?，?? = ??，∠? = 60°，?? =6．
求证： △ ???≌ △ ???；
连接??，请分别求出▱????的面积和周长，并写出你的求解过程．
(本小题10.0分)
某公司电商平台，在线销售甲、乙、丙三种跳绳，已知1根乙跳绳的售价比1根甲跳绳的售价多5元，1根丙跳绳的售价是1根甲跳绳售价的3倍，用360元购买丙跳绳的数量是用60元购买乙跳绳数量的3倍．
求甲、乙、丙三种跳绳每根的售价分别是多少元？
电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种跳绳搭配销售共80根，其中乙跳绳的数量是丙跳绳数量的2倍，且甲、丙两种跳绳数量之和不超过乙跳绳数量的3倍.请你帮忙计算，某校体育老师按此方案购买80根跳绳最少要花费多少元？
(本小题8.0分)
【问题提出】：分解因式：(1)3?2 + 3??−5?−5?；(2)?2−?2 + 4?−4?．
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：(1)3?2 + 3??−5?−5?．
分析：甲发现该多项式前两项有公因式3?，后两.项有公因式−5，分别把它们提出来，剩下的是相同因式(? + ?)，可以继续用提公因式法分解．
解： 3?2 + 3??−5?−5? = (3?² + 3??)−(5? + 5?) = 3?(? + ?)−5(? + ?) = (? + ?)(3?−5)另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式?，第一项和第三项含有公因式?，把?，?提出来，剩下的是相同因式(3?−5)，可以继续用提公因式法分解．
解：3?² + 3??−5?−5? = (3?²−5?) + (3??−5?) = ?(3?−5) + ?(3?−5) = (3?−5)(? + ?)．探究2：分解因式：(2)?2−?2 + 6?−6?．
分析：甲发现先将?2−?2看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：?²−?² + 6?−6? = (?²−?²) + (6?−6?) = (? + ?)(?−?) + 6(?−?) = (?−?)(6 + ? + ?)．
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
(1)分解因式：?3 + ?2−4?−4．
(2)分解因式：?2 + 2?? + ?2−9?2．
【拓展提升】：
(3)分解因式：?2−8? + 15．
(本小题8.0分)
已知：如图①，在▱????中，?? = 43??，∠??? = 30°，?? ⊥ ??.如图②， △ ???沿??的方向匀速平移得到△ ???，速度为1??/?；同时，点?从点?出发，沿??方向匀速运动，速度为2??/?，当点?移动到?点时， △ ???停止平移，点?也停止运动，设运动时间为?(?)，解答下列问题：
求??的长；
当?为何值时，点?在??的垂直平分线上？
是否存在某一时刻?，使?△ ???：?四边形????= 2：52？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：第1个图形不是中心对称图形，不符合题意；第2个图形不是中心对称图形，不符合题意；
第3个图形不是中心对称图形，符合题意；第4个图形是中心对称图形，符合题意． 故选：?．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【答案】?
【解析】解：由题意可知，点?、?之间的距离是2??，即平移距离为2??，
∴ ?? = ?? = ?? = 2??，
∵ ?? = 3??，
∴ ?? = ?? + ?? = 5??，故选：?．
根据平移的定义和性质可得?? = ?? = ?? = 2??，进而得出结论．本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的前提．
【答案】?
【解析】解：原式= 3(?2−4)
= 3(? + 2)(?−2)．故选：?．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【答案】?
【解析】解：设正多边形的边数为?，由题意得：
(?−2)⋅ 180° = 4 × 360°，
解得：? = 10，故选：?．
设正多边形的边数为?，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．
本题考查多边形的内角(和)与外角(和)，熟记多边形的内角和公式及外角和为360°是解答的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ????是平行四边形，
∴ ?? = ?? = 5??，??//??，由折叠得：?? = ??′ = 5??，
∵ △ ??′?恰为等边三角形，
∴ ??′ = ?′? = ?? = 5??，∠?′ = ∠?′?? = ∠?′?? = 60° = ∠?，过点?作?? ⊥ ??，垂足为?，
在?? △ ???中，∠? = 60°，?? = 5??，
∴ ??= ???60°× ??=53(??)，
2
?阴影部分 = 1?? ⋅ ?? = 1× 5 × 53= 253(??2)，
2
故选：?．
224
根据折叠、平行四边形的性质和等边三角形的性质可求出阴影部分的底?? = 5??，高?? = 53??，
2
进而求出面积．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握：平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．
【答案】?
【解析】解：去分母得：
2?−? + 5 = ?−1，解得：? = ?−6，
∵ 方程的解是正数，
∴ ?−6>0，解得?>6，又∵ ?−1 ≠ 0，
∴ ?−6−1 ≠ 0，
∴ ? ≠ −7，
∴ ?的取值范围是：?>6且? ≠ 7．故选：?．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据解为正数，求出?的范围即可．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程增根的判断方法是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ?(−2,3)，
∴ 将△ ???先向右平移4个单位后?点坐标为(2,3)，
∴ 点?关于原点对称的点?′(−2,−3)，故选：?．
先根据平移的性质求出平移后?点的坐标，再利用旋转的性质求出点?关于原点对称的点的坐标即可．
本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．
【答案】?
?> ? ②
【解析】解：{? + 4<4?−5①，解不等式①得：? > 3，
解不等式②得：? >?，
∵ 不等式组的解集是? >3，
∴ ? ≤ 3，故选：?．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【答案】4
【解析】解： ∵ 分式?2−16的值为0，
?+4
{
?2−16=0
∴?+ 4 ≠ 0，
解得? = 4．故答案为：4．
根据分式值为零的条件(分子为零且分母不等于零)列方程和不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件(分子为零且分母不等于零)是解题关键．
【答案】30
【解析】解： ∵ ?、?分别为??、??的中点，?? = 24??，
∴??=1??=12(??)，
2
同理可得：?? = 13??，?? = 5??，
∵52+122=25+144=169=132，
∴ 以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，
∴ 以各边中点为顶点的三角形面积= 1× 5 × 12 = 30(??2)，
2
故答案为：30．
根据三角形中位线定理分别求出??、??、??，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7
【答案】2
【解析】解： ∵ ▱????的对角线??与??相交于点?，
∴ ?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∵∠??? = 90°，??= 12，?? = 16，
∴ ?? = 8，?? = 6，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 27，
82−62
∴ ?? = 27，
故答案为：27．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求??的长，进而可求出??的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是利用平行四边形的性质和勾股定理易求??的长．
【答案】89
【解析】解： ∵ ?? = ??，
∴∠??? = ∠? = 65°，
∴∠??? =180°−2 ×65° =50°，∠??? =75°−50° = 25°．
∵ ?? = ??，
∴∠??? = ∠?= 58°，∠??? = 180°−2× 58° = 66°．
∴ ∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−25°−66° = 89°，故答案为：89．
先根据等腰三角形的性质得出∠??? = ∠?，再由三角形内角和定理求出∠???的度数，进而得出∠
???的度数．再根据?? = ??得出∠??? = ∠?，由三角形内角和定理求出∠???的度数，进而解答即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出∠??? = ∠?是解答此题的关键．
【答案】260−260= 0.4
?1.3?
【解析】解： ∵ 快车的速度是慢车速度的1.3倍，且慢车的速度为???/ℎ，
∴ 快车的速度为1.3???/ℎ．
根据题意得：260−260= 0.4．
?1.3?
故答案为：260−260= 0.4．
?1.3?
根据快车、慢车速度间的关系，可得出快车的速度为1.3???/ℎ，利用时间= 路程÷ 速度，结合快车比慢车少用0.4ℎ，即可列出关于?的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【答案】60
【解析】解：设需要?名七年级学生参加活动，则需要(100−?)名八年级学生参加活动，根据题意得：30? + 25(100−?) ≥ 2800，
解得：? ≥ 60，
∴ ?的最小值为60，
∴ 至少需要60名七年级学生参加活动．故答案为：60．
设需要?名七年级学生参加活动，则需要(100−?)名八年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于2800个，可列出关于?的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【答案】33−3
【解析】解：在△ ???中，∠? = 90°，∠? = 30°，?? = 6，
∴ ?? = 3，?? = 33，∠???= 60°，
∵ 将△ ???绕点?逆时针方向旋转15°得到△ ??′?′，
∴△???≌△??′?′，∠?′??=45°，
∴ ?? = ??′ = ?′? = 3，?? = ?′?′ = 33，
∴ ?′? = ?′?′−?′? = 33−3．故答案为：33−3．
先在含30°锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到?? = ??′ = ?′? = 3，?? = ?′?′ = 33，即可解答．
本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
【答案】①②③④
【解析】解：在△ ???中，?? = ??，?? = 32，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? = 1?? = 16，故①正确；
2
如图，过点?作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，
∵ ?? ⊥ ??，?? = ??，
∴ ??平分∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ??是∠???的角平分线，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = 8，故②正确；
由折叠性质可得：?? = ??，?? + ?? = ?? + ?? = ?? = 16，设?? = ?，则?? = 16−?，
?? △ ???中，??2 = ??2 + ??2，
∴ (16−?)2 = 82 + ?2，解得：? = 6，
∴ ?? = ?? = 10，故③正确；
设?? = ?，则?? = ?? + ?? = 8 + ?，?? = 16，
?1??⋅??1??⋅ ??
∵△???=2= 2，
?△???
1?? ⋅ ??
2
1??⋅??
2
∴??=??，
????
???
∴8=16，
∴ ?? = 2?，
∴ ?? = 2??，故④正确，
∴ 结论正确的有①②③④，故答案为：①②③④．
根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设?? = ?，则?? = 16−
?，结合勾股定理即可判断③，三角形面积公式进行分析求解可判断④．
本题考查翻折变换，点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，三角形面积，掌握相关性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
【答案】解：?? △ ???如图所示：
【解析】过点?作直线?的垂线??，垂足为?，再以??为边作∠??? = ∠?，??与直线?相交于点?，据此解答．
本题主要考查复杂作图，涉及过一点作已知直线的垂线，作一个角等于已知角，是常考题，熟练掌握基本作图是解题的关键．
18.【答案】解：(1)?2?−6?? + 9?
=?(?2−6?+9)
= ?(?−3)2；
1−?−3÷?−3
?2−1?−1
?−3?−1
= 1−⋅
(?+1)(?−1)
1
= 1−
?+1
=?+1−1
?+1
?−3
?
=?+1；
= 2−，
?−23
?−33−?
方程两边都乘?−3，得?−2 = 2(?−3) + 3，解得：? = 1，
检验：当? = 1时，?−3 ≠ 0，所以分式方程的解是? = 1；
(4)5?+1−1≥2?−1
②，
{5?−1<3(?+1)①
23
解不等式①，得? <2，
解不等式②，得? ≥ 1，
11
所以不等式组的解集是 1≤ ? <2．
11
【解析】(1)先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
(2)先根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算即可；
(3)方程两边都乘?−3得出?−2 = 2(?−3) + 3，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了分解因式，分式的混合运算，解分式方程，解一元一次不等式组等知识点，能掌握因式分解的方法是解(1)的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解(2)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(3)的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(4)的关键．
19.【答案】解：原式= [1
1?(?−2)
−] ⋅
=?−2−?⋅?(?−2)
?(?−2)
(?−2)22
?(?−2)22
=−2⋅?(?−2)
?(?−2)22
=1， 2−?
当? = 1时， 5
1
原式= 2− 1
5
=5． 9
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把?的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【答案】解：(1) ∵ ?? ⊥ ??，??垂直平分??，?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，∠??? = ∠?，
∵∠??? = 16°，
∴∠? =90°−16° = 74°，
∴∠??? = 74°，
∵ ∠??? = ∠??? + ∠? = 2∠?，
∴∠?=1∠???=37°，
2
∴∠??? = 90°−∠? = 53°；
(2)由(1)知：?? = ?? = ??，
∵ ?? = ??．
∴ ?? + ?? = ?? + ?? = ??，
∴ △ ???的周长为?? + ?? + ?? + ?? = 2?? = 2 × 8 = 16(??)．
【解析】(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出?? = ?? = ??，求出∠???和∠? = ∠???，即可得出答案；
(2)根据已知能推出?? + ?? = ?? + ?? = ??，即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【答案】解：设?款燃油汽车平均每公里的加油费是?元，根据题意得：500× 3 = 500，
?
解得? = 0.6，
?−0.4
经检验，? = 0.6是原方程的解，也符合题意；答：?款燃油汽车平均每公里的加油费是0.6元．
【解析】设?款燃油汽车平均每公里的加油费是?元，根据充电费和加油费均为500元时，?款电动
汽车可行驶的总路程是?款燃油汽车行驶总路程的3倍可得：500× 3 = 500，解方程并检验可得
??−0.4
答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
【答案】(1)证明： ∵ ?为??的中点，
∴ ?? = ??，
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，
∴ ∠??? = ∠?，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)；
(2)解： ∵ ?? = ??，∠? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∵△???≌△???，
∴ ?? = ?? = 6，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = 2?? = 12，
??2−??2
∴ ?? =
= 63，
3
∴?△???=1??⋅??=1×12×6
= 363，
22
∵△???≌△???，
∴?△???=?△???，
∴ ?四边形????= ?△ ???= 363；
∵ ?? = ?? = ??，
∴??=1??=6，
2
∴ ?? + ?? = 12+ 6 = 18，
∴ 平行四边形????的周长为18 × 2 = 36．
【解析】(1)由平行四边形的性质证出∠??? = ∠?，根据???可证明△ ???≌ △ ???；
(2)证明△ ???是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明 △ ??
?≌ △ ???是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设1根甲跳绳的售价为?元，则1根乙跳绳的售价为(? + 5)元，1根丙跳绳的售价为3?元，根据题意，得：
360=60×3，
3??+5
解得：? = 10，
经检验，? = 10既符合方程，也符合题意，
∴? + 5 = 15，3? = 30．
答：甲、乙、丙三种跳绳每千克的售价分别是10元、15元、30元；
(2)设80根的甲、乙、丙三种跳绳搭配中丙跳绳有?根，则乙跳绳有2?根，甲跳绳有(40−3?)根，
∴80−3? + ? ≤ 2? × 3，
∴ ? ≥ 10，
设按此方案购买80根跳绳所需费用为?元，根据题意，得：
?= 10(80−3?)+ 30?+ 30?= 30?+ 800，
∵ 30>0，
∴ ?随?的增大而增大，
∴ ? = 10时，?取最小值，且?最小 = 500，
答：按此方案购买80根跳绳最少要花费500元．
【解析】(1)设1根甲跳绳的售价为?元，则1根乙跳绳的售价为(? + 5)元，1根丙跳绳的售价为3?
元，根据“用360元购买丙跳绳的数量是用60元购买乙跳绳数量的3倍”列方程解答即可；
(2)设80根的甲、乙、丙三种跳绳搭配中丙跳绳有?根，则乙跳绳有2?根，甲跳绳有(80−3?)根，根据题意列不等式求出?的取值范围；设按此方案购买80根跳绳所需费用为?元，根据题意求出?与?之间的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用．本题属于中档题，难度不大，解决该体系题目时，找准数量关系是解题的突破点．
24.【答案】解：(1)?3 + ?2−4?−4
=(?3+?2)−4(?+)
=?2(?+1)−4(?+1)
= (? + 1)(?2−4)
= (? + 1)(? + 2)(?−2)；
(2)?2+2??+?2−9?2
=(?2+2??+?2)−9?2
= (? + ?)2−(3?)2
= (? + ? + 3?)(? + ?−3?)；
(3)?2−8?+15
=(?2−8?+16)−1
= (?−4)2−1
= (?−4 + 1)(?−4−1)
= (?−3)(?−5)．
【解析】(1)把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式(? + 1)后再利用平方差公式继续分解；(2)把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；
(3)把15分解成16−1，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．
解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．
25.【答案】解：(1) ∵ ?? = 43??，∠??? = 30°，?? ⊥ ??，
∴ ?? = 23，
在?? △ ???中，?? =
(43)2−(2
3)2
= 6．
(2)当点?在??的垂直平分线上时，?? = ??，
?? = ?，?? = 6−?，?? = ?，?? = 6−?，在?? △ ???中，(23)2 + ?2 = (6−?)2
解得? = 2．
(3)存在，理由如下：
∵ △ ???沿??的方向匀速平移得到△ ???，
∴ ??//??，?? = ??，∠??? = 30°，
∴ 四边形????是平行四边形，
设时间为?，则?? = 6−?，?? = 2?，过?作?? ⊥ ??于点?，
?? = 6−?，
2
2
∴ ?△ ???：?四边形????= 1?? ⋅ ??：?? ⋅ ??，
即1??：?? = 2：52，
2
3
∴1⋅2?：4
2
解得? = 23．
13
= 2：52，
【解析】(1)由?? = 43??，∠??? = 30°，?? ⊥ ??，可求出??的长，再运用勾股定理即可解答．
(2)当点?在??的垂直平分线上时，?? = ??，分别用含?的式子表示出??、??，再运用勾股定理即可求解．
(3)存在， △ ???沿??的方向匀速平移得到 △ ???，可知??//??，设时间为?，分别表示出??、
??、点?到直线??的距离，进而可表示出△ ???和四边形????的面积，构造方程解答即可．本题考查特殊直角三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是会用含?的式子表示出线段的长构造方程求解．