2024学年辽宁省鞍山市立山区九年级下学期2月联考（二模）数学试题

这是一份2024学年辽宁省鞍山市立山区九年级下学期2月联考（二模）数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
2．如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条人口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度．设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，弦，点C是圆上一点且，则的直径为（ ）
A．3B．C．D．6
7．已知，为二次函数图象上两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点和关于原点对称，则的值为（ ）
A．1B．0C．－1D．
9．若二次函数的图象与x轴交于，两点，则关于x的方程的根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放-一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，管的最左端距离原点为n米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（ ）
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图，在△ABC中，，，，则______．
12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是______．
13．如图，AC，BD分别与00切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，的半径为6cm，则图中的长为______．
14．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交CB边于点D，交AB边于点E，连接OD，DE，OE，若OD⊥DE，且，，则k的值为______．
15．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD．上时（不与点D重合），则正方形AEFG的面积为______．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（每小题5分，共10分）
（1）计算：
（2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若两根为，且，求m的值．
17．（本小题8分）
在菱形ABCD中，AC为对角线，E，F分别为BC，DC边上的点，射线AE交DF的延长线于点G，射线AF交BE的延长线于点H，．求证：．
18．（本小题8分）
随着信息技术的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷，现有“A微信”“B支付宝”、“C银行卡”和“D现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“D现金”的概率是_____________；
（2）在一次购物中，小王和小丁都想从“A微信”、“B支付宝”和“C银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，用画树状图法或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（本小题9分）
图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，cm，cm，cm，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）
（1）求点D到FG所在直线的距离；
（2）求BC的长度．
20．（本小题8分）
某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数，在销售中销售单价不低于进价．而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）．
（1）若小周某月获得的利润达到2000元，此时的销售单价为多少元？
（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少元？
21．（本小题8分）
如图，在Rt△ABC中，，点D在AC边上，以AD为直径作交BD的延长线于点E，．
（1）求证：CE是的切线；
（2）若，，求BE的长．
22．（本小题12分）
【发现问题】
一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．
【提出问题】
碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离y（cm）与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离x（cm）之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）请你帮助小丽求出y与x的关系式；
（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为20cm时，求此时面碗中水的深度；
（3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与BC重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．
23．（本小题12分）
数学课上，王老师提出问题：如图1，已知△ABC中，AD是BC边上中线，．探究边AB和AC的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下3种不同的方法．
方法1（倍延中线）：如图①，延长AD至点E，使，连接CE．利用全等和等腰三角形的判定证出；
方法2（利用角平分线性质）：如图②，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，利用角平分线性质和全等证出；
方法3（平移）：如图③，将△ABD沿射线BD方向平移得到△EDC，连接AE，设AC与DE交于点O，利用全等或相似证出．
（1）特例感知：请完成方法3（图③）的探究过程；
（2）思维迁移：
如图2，已知△ABC中，D，E是BC边上的两点，且，连接AD，AE，．猜想边AB和AC的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图3，已知点P是 ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，，，求∠ADP的度数．．
九年级数学参考答案及评分细则
（※若有其他正确解法或证法，请参照此标准赋分）
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）
二、填空题：（每题3分，共15分）
11． 12． 13．2πcm 14．2 15．20或80
三、解答题：
16．（1）（2）
17．证明：：四边形ABCD为菱形，
，即，
，，
，，
，
18．（1）
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，分别为（AA）（AB）（AC）（BA）（BB）（BC）（CA）（CB）（CC），其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，分别为（AA）（BB）（CC），
P（两人恰好选择同--种支付方式）
19．【法一】（1）解：如图，过点D作DN⊥FG于点N，交AE的延长线于点M，
交BC的延长线于点P，过点C作CH⊥FG于点H，
在Rt△DCP中，，，
（cm）．
在Rt△CHG中，，，
（cm），
，，
，
四边形CHNP是矩形，
cm，
（cm）．
答：点D到FG所在直线的距离约为77.9cm．
（2）由题意可知：，
四边形ABPM是矩形，
在Rt△ADM中，
cm，，
（cm）．
在Rt△DCP中，
cm，，
（cm）．
（cm），
答：BC的长度约为47.6cm．
19．【法二】（1）延长DC交FN于点Q
可证△CQG为等边三角形，cm，
cm
．
答：点D到FG所在直线的距离约为77.9cm．
20．（1）解：根据题意得
解得，
又，
即，
答：想要某月获得的利润达到2000元，销售单价为30元．
（2）解：由题意得
，
，，
当时，w随x的增大而增大，
当时，W最大
答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
21．解：（1）如图，连接OE，
，．
，．
，．
又，
，
，即，
．
OE是的半径，CE是的切线．
（2）【法一】解：连接AE，
AD为的直径，，
，
，
在Rt△OEC中
，，，
在Rt△AED中
解得：，
【法二】：
，
，解得：
，
在Rt△OEC中
，，，
证出，，即可求出BE的值．
22．解：
（1）（2）（3）
23．（1）证明：略
（2）如图，将△ABD沿直线BD方向平移到△FEC，连接AF，设AC，EF交于点O．
平移
，，，
，
，
，
，
同理可求：
即，
（3）如图，将△ABP沿BC方向平移到△DCQ，连接PQ，设PQ与CD交于点O，
平移
，，，，，
四边形APQD为平行四边形，
，，
，
，
同理可证：
，，
，．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
D
A
D
D
A
D
B