专题14 多边形与平行四边形（共32题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（北京专用）

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1．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
2．（2021·北京·统考中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
3．（2020·北京·统考中考真题）五边形的外角和等于（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
4．（2019·北京·中考真题）正十边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
【答案】B
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．
5．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【答案】C
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
6．（2023·北京朝阳·统考一模）六边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】B
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】解：六边形的外角和是360°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
7．（2023·北京海淀·校考二模）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
8．（2023·北京东城·统考二模）下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正多边形内角和可进行求解．
【详解】解：A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意；
D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键．
9．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（ ）
A．900°B．700°C．360°D．180°
【答案】C
【分析】由多边形外角和为可得答案．
【详解】解：∵多边形的外角和为：，
∴正七边形的外角和是，
故选C．
【点睛】本题考查的是正多边形的外角和问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
10．（2023·北京·统考一模）一个正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
【详解】∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．
11．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于可知，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．
12．（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【详解】分析：首先分别求出正六边形和正方形的内角，然后求出∠1的度数．
详解：∵正六边形的内角为：(6－2)×180°÷6=120°，正方形的内角为：90°，
∴∠1=120°－90°=30°， 故选C．
点睛：本题主要考查的是正多边形的内角计算法则，属于基础题型．理解计算公式是解决这个问题的关键．
13．（2023·北京平谷·统考二模）如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．100°D．120°
【答案】B
【分析】先计算出正六边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解．
【详解】解：正六边形的一个内角度数为，
∴的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图形镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键．
14．（2023·北京石景山·统考二模）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】n边形的内角和公式为（n−2）•180°，由此列方程求n．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则（n−2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形内角和问题．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
15．（2023·北京大兴·统考二模）正六边形的外角和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据任何多边形的外角和是即可求出答案．
【详解】解：正六边形的外角和是．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是，外角和与多边形的边数无关．
16．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080°B．540°C．2700°D．2160°
【答案】A
【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．
【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：
，
∴这个多边形的内角和为：，
故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键．
17．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A．它是轴对称图形B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360°D．它的每个内角都是140°
【答案】B
【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的正误；根据正n边形的内角为可判断D的正误．
【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形
∴A正确，B错误；
由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°
∴C正确；
由正n边形的内角为，可得
∴D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性．
18．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考一模）五边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据边形的内角和为，将代入，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，五边形的内角和为，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键在于明确边形的内角和为．
19．（2023·北京西城·北京育才学校校考模拟预测）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ）
A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质和多边形的外角和即可得．
【详解】任意一个多边形的外角和均为
由正多边形的性质可知，其每一个外角都相等
设这个正多边形为正n边形
则
解得
即这个正多边形为正九边形
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和多边形的外角和，熟记正多边形性质是解题关键．
20．（2023·北京·校联考一模）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°B．90°C．72°D．60°
【答案】C
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
21．（2023·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．18D．20
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和定理、正多边形定义求解．
【详解】设多边形边数为n，则，解得；
故选C．
【点睛】本题考查多边形的内角和定理、正多边形的定义；掌握相关定理及定义是解题的关键．
二、填空题
22．（2023·北京西城·统考一模）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为
【答案】9
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．
【详解】解：∵n边形的每一个外角都是40°，
∴n=360°÷40°=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的边数、每一个外角的度数、外角和，三者之间的关系是解题的关键．
23．（2023·北京门头沟·统考一模）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 ．
【答案】
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程，求出即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
则，
解得：，
∴这个多边形的边数是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和和外角和定理，能根据题意列出方程是解此题的关键．
24．（2023·北京丰台·二模）正十边形的外角和为 ．
【答案】/度
【详解】解：正十边形的外角和为：．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题的关键．
25．（2023·北京顺义·统考二模）五边形的内角和是 度．
【答案】540
【分析】根据n边形内角和为求解即可．
【详解】五边形的内角和是．
故答案为：540．
【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为是解题关键．
26．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）下图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 ．
【答案】2，3，4，6，12
【详解】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．
解：360÷30=12；
360÷60=6；
360÷90=4；
360÷120=3；
360÷180=2．
故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
故答案是：2，3，4，6，12．
27．（2023·北京·北京师大附中校考三模）正多边形一个外角的度数是，则该正多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，再结合一个外角的度数为，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴正多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握正多边形的外角和为且每个内角都相等是解答本题的关键．
三、解答题
28．（2021·北京·统考中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴AD∥CE，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，
∴，
∵，平分，，
∴，
∴EF=CE=AD，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
29．（2023·北京房山·统考二模）下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：通过证明△与△全等即可证明角相等；方法二：利用平行线的性质及互补的关系即可；方法三：利用两直线平行内错角相等的性质解题即可．
【详解】方法一：
证明：∵，

∴
∴
∴
即
在△与△中
∴
∴
方法二：
证明：∵，
∴
∴

∴
又∵，
∴
方法三：
证明：∵，

∴
∴
∴，
即
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质的运用，能够熟练运用平行四边形的性质得到三角形全等及角度的等量关系是解题关键．
30．（2023·北京海淀·校考一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形
(2)如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别证明ABED， AEBD，得出结论；
（2）利用勾股定理求出BH=4，再利用等积法求出AF=，得出结论．
【详解】（1）∵∠ADE=∠BAD，
∴ABED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90º，
∵BC垂直平分AC，
∴∠BFA=90º，
∴∠EAC=∠BFA，
∴AEBD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
（2）∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADB，
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BA=BD，
∵AB=5，
∴BD=5
过B作BH⊥AD，
∴AH=HD=3，
∴BH=4，
∵DABH=DBAF，
∴AF=，
∴AC=．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
31．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BC的长为
【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；
（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
，
在四边形ABCD中，，
四边形ACED是平行四边形；
（2）解：在中，，设，，
在中，，，，
，
，即，解得（舍弃）或，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
32．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC
∵F是AD的中点
∴DF=AD
又∵CE=BC
∴DF=CE，且DFCE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．

已知：如图，．
求证：，．
方法一：
证明：如图，连接AC ．

方法二：
证明：如图，延长BC至点E ．

方法三：
证明：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O ．