2023-2024学年山东省滨州市滨城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省滨州市滨城区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如所示图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.00000028m.数字0.00000028用科学记数法可以表示为( )
A. 2.8×10−6B. 2.8×10−7C. 2.8×10−8D. 2.8×10−9
3.下列运算正确的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (ab2)2=ab4
C. x6÷x2=x3D. (a+b)2=a2+b2
4.如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. AE=AD
C. BE=CD
D. ∠AEB=∠ADC
5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 105∘
D. 120∘
6.下列因式分解正确的是( )
A. 1−81a4=(1+9a2)(1−9a2)B. −2y2+4y=−2y(y+2)
C. a2+4a−4=(a+2)2D. −x2−x+2=−(x−1)(x+2)
7.下列说法错误的是( )
A. 若式子x+1x2−1有意义，则x的取值范围是x≠−1或x≠1
B. 分式x+yx中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C. 分式x+2|x|−2的值不可能等于0
D. 若3x+1表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
8.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.则下列说法中不正确的是( )
A. BP是∠ABC的平分线B. AD=BD
C. S△CBD：S△ABD=1：3D. CD=12BD
9.两个小组同时攀登一座480m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第二组早0.5h到达顶峰，设第二组的攀登速度为vm/min，则下列方程正确的是( )
A. 4801.5v=480v+0.5B. 4801.5v=480v−0.5
C. 4801.5v=480v+30D. 4801.5v=480v−30
10.如图，点D在△ABC内部，且DA=DB=DC，点E在AB边上，且EB=EC，∠AEC=60∘，连接ED并延长交BC于点F，以下结论：①EF⊥BC；②∠BAD+∠BCD=30∘；③∠ADC=60∘；④AE+DE=BE.其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______.
12.如图，△AOD≌△BOC，∠A=30∘，∠C=50∘，∠AOC=150∘，则∠COD=______ ∘.
13.若x2−mx+25是完全平方式，则m=______.
14.如图，在△ABC中，∠ABC=40∘，∠BAC=80∘，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是__________.
15.关于x的分式方程ax−3x−2+1=0的解为正数，则a的取值范围是______.
16.如图，∠AOB=30∘，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β.当MP+PQ+QN最小时，则β−α=______.
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△PQR的三个顶点坐标分别为P(−1,3)、Q(−4,5)、R(−4,1)，直线m上各点的横坐标都为1，直线n上各点的纵坐标都为−1.
(1)在图中分别作出△PQR关于直线m和直线n对称的图形；
(2)填空：
①点(x,y)关于直线m对称的点的坐标为______；
②点(x,y)关于直线n对称的点的坐标为______.
18.(本小题11分)
(1)解方程：1x+3−23−x=12x2−9；
(2)先化简，再求值：[(x+y)(x−2y)−(x+2y)2]÷12y，其中x=−1，y=(14)0；
(3)先化简，再求值：(a−1−a+7a+2)÷a2+6a+9a+2，其中a=(12)−2.
19.(本小题7分)
已知：如图，∠A=∠D=90∘，BD与AC相交于点O，且BD=AC.
求证：OB=OC.
20.(本小题8分)
小明同学在学习过程中发现了一个命题：“如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，请按要求解决下列与此命题有关的问题.
(1)请用无刻度的直尺与圆规作出线段AB(如图)的中点D，再找一点C，使得CD=12AB，连接AC，BC，得到△ABC.(保留作图痕迹，不必写出作法)
(2)结合(1)中画出的图形，用符号表示此命题中的已知与求证，并给出证明.
已知：______；
求证：______；
证明：…
21.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F.
(1)试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论；
(2)试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论；
(3)若∠ACB=60∘，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论.
22.(本小题8分)
如图，在边长为a的正方形上截去边长为b的正方形.
(1)图1阴影面积是______；
(2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式______；
(3)运用得到的公式，计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−11002)=______.
23.(本小题8分)
秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.求一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷.
24.(本小题10分)
【问题发现】(1)如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD=90∘，AC=CD，B、C、E三点在同一直线上，AB=3，ED=4，则BE=______.
【问题提出】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=4，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，求△BCD的面积．
【问题解决】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45∘，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可知，选项B、C、D的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：A.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.00000028=2.8×10−7.
故选：B.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|−1且a≠32.
【解析】解：分式方程去分母得：ax−3+x−2=0，即(a+1)x=5，
当a+1≠0，即a≠−1时，解得：x=5a+1，
∵分式方程的解为正数且x≠2，
∴5a+1>0且5a+1≠2，
解得：a>−1且a≠32.
故答案为：a>−1且a≠32.
表示出分式方程的解，由解为正数求出a的范围即可．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为零这个条件．
16.【答案】60∘
【解析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点Q，交OB于点P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
解：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点Q，交OB于点P，则此时MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∴∠QPN=12(180∘−α)=∠AOB+∠OQP=30∘+12(180∘−β)，
∴180∘−α=60∘+(180∘−β)，
∴β−α=60∘.
故答案为：60∘.
17.【答案】(2−x,y)(x,−2−y)
【解析】解：(1)如图，△P′Q′R′和△P′′Q′′R′′即为所求．
(2)①点(x,y)关于直线m对称的点的纵坐标为y，横坐标为2×1−x=2−x，
∴点(x,y)关于直线m对称的点的坐标为(2−x,y).
故答案为：(2−x,y).
②点(x,y)关于直线n对称的点的横坐标为x，纵坐标为2×(−1)−y=−2−y，
∴点(x,y)关于直线n对称的点的坐标为(x,−2−y).
故答案为：(x,−2−y).
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)①根据轴对称的性质可得答案．
②根据轴对称的性质可得答案．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)1x+3−23−x=12x2−9，
1x+3+2x−3=12(x+3)(x−3)，
x−3+2(x+3)=12，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x+3)(x−3)=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴原方程无解；
(2)[(x+y)(x−2y)−(x+2y)2]÷12y
=[x2−2xy+xy−2y2−(x2+4xy+4y2)]÷12y
=(x2−2xy+xy−2y2−x2−4xy−4y2)÷12y
=(−5xy−6y2)÷12y
=−10x−12y，
当x=−1，y=(14)0=1时，原式=−10×(−1)−12×1=10−12=−2；
(3)(a−1−a+7a+2)÷a2+6a+9a+2
=(a−1)(a+2)−(a+7)a+2⋅a+2(a+3)2
=a2−9a+2⋅a+2(a+3)2
=(a+3)(a−3)a+2⋅a+2(a+3)2
=a−3a+3，
当a=(12)−2=4时，原式=4−34+3=17.
【解析】(1)按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
(2)利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
(3)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，分式的化简求值，负整数指数幂，解分式方程，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中BD=ACCB=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO.
【解析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，再根据等角对等边可得BO=CO.
此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
20.【答案】D是AB的中点，CD=12AB△ABC是直角三角形
【解析】解：(1)如图：
△ABC即为所求；
(2)已知：D是AB的中点，CD=12AB，
求证：△ABC是直角三角形，
证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD=12AB=CD，
∴点A、B、C在以点D为圆心，以AD的长为半径的圆上，
∴∠ACB=90∘，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：D是AB的中点，CD=12AB；△ABC是直角三角形．
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半画图．
(2)根据直径所对的圆周角是直角证明．
本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∠AOB=90∘+12∠ACB，
证明：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠AOB=180∘−(∠OAB+∠OBA)
=180∘−12(∠CAB+∠CBA)
=180∘−12(180∘−∠ACB)
=90∘+12∠ACB；
(2)∠AOB+∠COF=180∘，
证明：如图，过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∴∠OCF=12∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90∘，
∴∠COF+∠OCF=90∘，
∴∠COF=90∘−∠OCF，①
由(1)知：∠AOB=90∘+12∠ACB=90∘+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90∘+∠OCF+90∘−∠OCF=180∘；
(3)OE=OD，
证明：∵∠ACB=60∘，
∴由(1)知：∠AOB=90∘+12∠ACB=90∘+30∘=120∘，
∴∠EOD=∠AOB=120∘，
∵OM⊥AC.OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90∘，∠CMO=∠CFO=90∘，
∴∠MOF=360∘−90∘−90∘−60∘=120∘，
∴∠MOE=∠DOF=120∘−∠MOD，
在△EOM和△DOF中，
∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF，
∴△EOM≌△DOF(AAS)，
∴OE=OD.
【解析】(1)根据角平分线定义即可解决问题；
(2)过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根据角平分线性质求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90∘+12∠ACB，∠COF=90∘−∠OCF，即可求出答案；
(2)求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根据AAS证出△MOE≌△FOD即可．
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
22.【答案】a2−b2 (a+b)(a−b)=a2−b2 101200
【解析】解：(1)根据图形可知，图1的阴影部分的面积为：a2−b2，
故答案为：a2−b2；
(2)根据图形可知，图2为一个梯形，
∴根据梯形的面积公式可知图2的面积为12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，
可以得到乘法公式为(a+b)(a−b)=a2−b2；
故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2；
(3)(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−11002)
=[(1+12)(1−12)][(1+13)(1−13)][(1+14)(1−14)]…[(1+1100)(1−1100)]
=12×32×23×43×34×54×…×99100×101100
=12×101100
=101200.
故答案为：101200.
(1)直接用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；
(2)直接根据梯形的面积公式计算即可；
(3)根据图1中阴影部分的面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案；
(4)直接利用平方差公式计算即可．
本题主要考查平方差公式的证明和应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解答此题的关键．
23.【答案】解：设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦(x+2)公顷，
依题意得：15x+2=9x，
解得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2=3+2=5.
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
【解析】设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦(x+2)公顷，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
24.【答案】7
【解析】解：(1)∵∠ACD=∠E=90∘，
∴∠ACB=90∘−∠DCE=∠D，
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠ACB=∠DAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE=3，BC=ED=4，
∴BE=BC+CE=7；
故答案为：7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠ACD=90∘，
∴∠ACB=90∘−∠DCE=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠E=90∘∠ACB=∠CDEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=ED=4，
∴S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为12且CD的长为6，
∴12×6⋅AE=12，
∴AE=4，
∵∠ADC=45∘，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD−DE=2，
∵∠ABC=∠CAB=45∘，
∴∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠ACE=90∘−∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠F=90∘∠ACE=∠CBFAC=BC，
∴△ACE≌△CBF(AAS)，
∴BF=CE=2，
∴S△BCD=12CD⋅BF=6.
(1)由∠ACD=∠E=90∘，得∠ACB=90∘−∠DCE=∠D，可证明△ABC≌△CED(AAS)，即得AB=CE=3，BC=ED=4，故BE=BC+CE=7；
(2)过D作DE⊥BC交BC延长线于E，由DE⊥BC，CD⊥AC，得∠E=∠ACD=90∘，即得∠ACB=90∘−∠DCE=∠CDE，可证明△ABC≌△CED(AAS)，得BC=ED=4，故S△BCD=12BC⋅DE=8；
(3)过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD面积为12且CD的长为6，得AE=4，又∠ADC=45∘，AE⊥CD，得△ADE是等腰直角三角形，即得DE=AE=4，CE=CD−DE=2，根据∠ABC=∠CAB=45∘，可得∠ACB=90∘，AC=BC，即有∠ACE=90∘−∠BCF=∠CBF，即可证明△ACE≌△CBF(AAS)，从而BF=CE=2，故S△BCD=12CD⋅BF=6.
本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形(K型全等).