2023-2024学年河南省信阳市淮滨县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河南省信阳市淮滨县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列简图中，不是轴对称图形的是( )
A. 建筑B. 窗花
C. 标识D. 模型
2.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (a3)2=a5C. a6÷a2=a3D. (−2a)3=−8a3
3.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. 3.4×10−9B. 0.34×10−9C. 3.4×10−10D. 3.4×10−11
4.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为( )
A. 10∘
B. 15∘
C. 20∘
D. 25∘
5.若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a−5|+(b−3)2=0，则c的值可以为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是( )
A. 八B. 九C. 十D. 十二
7.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
8.如图，已知∠AOB=60∘，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
9.中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从A地到B地节约的时间为( )
A. 3600−a(a−20)hB. 3600a(a+20)hC. 7200a(a+20)hD. 7200a(a−20)h
10.如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为( )
A. 4
B. 32
C. 6
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(π−2021)0−(12)−1=______.
12.代数式|x|+1x−1有意义时，x应满足的条件为______.
13.如图，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是______.(只需写出一个条件即可)
14.已知点M(−2022,y)与点N(x,−2023)关于y轴对称，则(x+y)2023的值为______.
15.如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是______.
三、解答题：本题共8小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)因式分解：4a3−16a；
(2)解分式方程：xx−1=32x−2−2.
17.(本小题9分)
先化简：(1−xx+3)÷x2−9x2+6x+9，然后从−3，−2，2，3中选一个你认为合适的x的值代入求值.
18.(本小题9分)
已知：如图，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：AE=AC.
19.(本小题9分)
如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A，B之间的距离，由于条件限制无法直接测得.请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案.
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的步骤；(测量数据用字母表示)
(3)计算A，B之间的距离.(写出求解或推理过程，结果用字母表示)
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,4)，B(3,1)，C(3,5).△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1.
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)若点P从点A处出发，向左平移m个单位．当点P落在△A1B1C1内部时，直接写出m的取值范围；
(3)在y轴上取点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的点D共有______个．
21.(本小题10分)
阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2=(a+b)2来求一些多项式的最小值.
例如，求x2+6x+3的最小值问题.
解：∵x2+6x+3=x2+6x+9−6=(x+3)2−6，
又∵(x+3)2≥0，
∴(x+3)2−6≥−6.
∴x2+6x+3的最小值为−6.
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：x2−4x+5=(x−______)2+______；
(2)代数式−x2−2x+2025有最______(填“大”或“小”)值为______；
(3)如图，矩形花圃一面靠墙(墙足够长)，另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
22.(本小题10分)
甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？
23.(本小题10分)
已知：如图△ABC，射线AM平分∠BAC.完成以下任务
(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)作BC的中垂线，与AM相交于点N，连接BN、CN.
(2)用三角尺过点N分别画AB，AC的垂线，垂足分别为点D和点E；
(3)在(1)(2)的条件下，∠BAC和∠BNC的等量关系为______，证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，所以A选项不正确，不符合题意；
B、(a3)2=a6，所以B选项不正确，不符合题意；
C、a6÷a2=a4，所以C选项不正确，不符合题意；
D、(−2a)3=−8a3，所以D选项正确，符合题意．
故选：D.
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据幂的乘方与积的乘方法则对B进行判断；根据同底数幂的除法法则对C进行判断；根据幂的乘方与积的乘方法则对D进行判断．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：科学记数法一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，
所以0.00000000034=3.4×10−10.
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：由题意得，∠ABD=60∘，∠C=45∘，
∴∠α=∠ABD−∠C=15∘，
故选：B.
根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得，a−5=0，b−3=0，
解得a=5，b=3，
∵5−3=2，5+3=8，
∴2∴c的值可以为7.
故选A.
根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
6.【答案】C
【解析】解：设正边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，
4x+x=180∘，
∴x=36∘
∴这个正n边形的边数为：360∘÷36∘=10，
故选：C.
根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360∘可求出正多边形的边数．
考查多边形的内角和、外角和的性质，掌握内角和外角的关系是正确解答的前提．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．先过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF.再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.
【解答】
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
因为两把完全相同的长方形直尺，
所以PE=PF，
所以OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
故选：A.
8.【答案】B
【解析】解：过P作PQ⊥MN，
∵PM=PN，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60∘，
∴∠OPQ=30∘，
∴OQ=6，
则OM=OQ−QM=6−1=5.
故选B.
过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ−MQ求出OM的长即可．
此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得：
360a−360a+20=7200a(a+20).
故选：C.
直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案．
此题主要考查了列代数式(分式)，正确表示出行驶时间是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：设AB=a，AD=b，由题意得，
8a+8b=32，2a2+2b2=12，
即a+b=4，a2+b2=6，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2=102=5，
即长方形ABCD的面积为5，
故选：D.
设矩形ABCD的边AB=a，AD=b，根据四个正方形周长之和为32，面积之和为12，得到a+b=4，a2+b2=6，再根据ab=(a+b)2−(a2+b2)2，即可求出答案．
本题考查完全平方公式的意义和应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
11.【答案】−1
【解析】解：原式=1−2=−1.
故答案为：−1.
根据负整数指数幂、零指数幂的运算性质进行计算即可．
本题考查负整数指数幂、零指数幂，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算性质是正确解答的关键．
12.【答案】x≠1
【解析】解：由题意得x−1≠0，
解得x≠1.
故答案为：x≠1.
根据分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
本题主要考查分式有意义的条件，由分母不等于0求解得答案是解题的关键．
13.【答案】∠B=∠E(或∠C=∠D或AB=AE)
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠BAC=∠EAD，
∵AC=AD，
∴当添加∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；
当添加∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当添加AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED.
故答案为∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE.
利用∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，由于AC=AD，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：∵点M(−2022,y)与点N(x,−2023)关于y轴对称，
∴x=2022，y=−2023，
则(x+y)2023=(2022−2023)2023=−1.
故答案为：−1.
直接利用关于y轴对称点的性质得出，x，y的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，熟知关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：连接OD，
∵PO=PD，
∴OP=DP=OD，
∴∠DPO=60∘，
∵等边△ABC，
∴∠A=∠B=60∘，AC=AB=9，
∴∠OPA=∠PDB=∠DPA−60∘，
∴△OPA≌△PDB，
∵AO=3，
∴AO=PB=3，
∴AP=6.
故答案是：6.
连接OD.由题意可知OP=DP=OD，即△PDO为等边三角形，所以∠OPA=∠PDB=∠DPA−60∘，推出△OPA≌△PDB，根据全等三角形的对应边相等知OA=BP=3，则AP=AB−BP=6.
本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证△OPA≌△PDB.
16.【答案】解：(1)原式=4a(a2−4)
=4a(a+2)(a−2)；
(2)去分母得：2x=3−2(2x−2)，
解答：x=76，
检验：把x=76代入得：2(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=76.
【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：(1−xx+3)÷x2−9x2+6x+9
=x+3−xx+3÷(x+3)(x−3)(x+3)2
=3x+3÷x−3x+3
=3x+3⋅x+3x−3
=3x−3，
∵x2−9≠0，
∴x≠±3，
∴当x=2时，原式=32−3=−3(答案不唯一).
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠CAB，
在△DAE和△CAB中，
∠DAE=∠BACAD=AB∠B=∠D，
∴△DAE≌△CAB(SAS)，
∴AE=AC，
【解析】证∠DAB=∠CAB即可证明△DAE≌△CAB，可得AE=AC.
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证△DAE≌△CAB是解题的关键．
19.【答案】解：(1)测量示意图如图所示；
(2)在湖岸上找可以直接到达A，B的一点O，连接AO并延长到C使OC=OA，连接BO并延长到点D使OD=OB，连接CD，则AB=CD.测量DC的长度a，即为AB的长度为a；
(3)设DC=a，
由测量方案可得AO=CO，BO=DO，
在△AOB和△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴AB=CD=a.
【解析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)根据作图的作法写出步骤即可；
(3)根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
20.【答案】5
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)结合图形知，2(3)以点A为顶点、AB为腰的等腰三角形ABD，且点D在y轴上的有2个；
以点B为顶点，BA为腰的等腰△ABD，且点D在y轴上的有2个；
以AB为底边的等腰三角形，且点D在y轴上的点只有1个；
所以这样的点D共有5个，
故答案为：5.
(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
(2)结合图形可得答案；
(3)分AB为腰和AB为底分别求解可得．
本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】2 1 大 2026
【解析】解：(1)x2−4x+56=x2−4x+4+1=(x−2)2+1，
故答案为：2，1；
(2)∵−x2−2x+2025=−(x2+2x+!)+2026=−(x+1)2+2026，
又∵(x+1)2≥0，
∴−(x+1)2≤0，
∴−(x+1)2+2026≤2026，
∴−x2−2x+2025的最大值为2025，
故答案为：大，2026；
(3)设矩形花圃的宽为x m，则长为(40−2x)m，
∴矩形的面积S=(40−2x)x=−2x2+40x=−2(x2−20x)=−2(x−10)2+200，
∵−2<0，
∴当x=10时，S有最大值200(m2)，此时，40−2x=20(m)，
∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2.
(1)将原式配方即可；
(2)将原式配方即可判断；
(3)设矩形花圃的宽为x m，则长为(40−2x)m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，即可求最大面积．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，
由题意得：600x=6001.5x+5，
解得x=40，
∴1.5x=60，
经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件．
(2)设甲加工了a天，乙加工了b天，则由题意得
60a+40b=3000①,150a+120b≤7800②，
由①得b=75−1.5a③
将③代入②得150a+120(75−1.5a)≤7800，
解得a≥40，
当a=40时，b=15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
【解析】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
(1)设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
(2)设甲加工了a天，乙加工了b天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，综合考虑求解即可．
23.【答案】解：(1)如图，点N为所作；
(2)如图，ND、DE为所作；
(3)∠BAC+∠BNC=180∘.
理由如下：∵AM平分∠BAC，ND⊥AB，NE⊥AC，
∴ND=NE，∠NDB=∠NEC=90∘，
∵N点为BC的垂直平分线与BC的交点，
∴NB=NC，
在Rt△NBD和Rt△NCE中，
NB=NCND=NE，
∴Rt△NBD≌Rt△NCE(HL)，
∴∠BND=∠CNE，
∴∠BND+∠DNC=∠CNE+∠DNC，
即∠BNC=∠DNE，
∵∠BAC+∠DNE=180∘，
∴∠BAC+∠BNC=180∘.
【解析】解：(1)如图，点N为所作；
(2)如图，ND、DE为所作；
(3)∠BAC+∠BNC=180∘.
理由如下：∵AM平分∠BAC，ND⊥AB，NE⊥AC，
∴ND=NE，∠NDB=∠NEC=90∘，
∵N点为BC的垂直平分线与BC的交点，
∴NB=NC，
在Rt△NBD和Rt△NCE中，
NB=NCND=NE，
∴Rt△NBD≌Rt△NCE(HL)，
∴∠BND=∠CNE，
∴∠BND+∠DNC=∠CNE+∠DNC，
即∠BNC=∠DNE，
∵∠BAC+∠DNE=180∘，
∴∠BAC+∠BNC=180∘.
(1)利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
(2)根据几何语言画出对应的几何图形即可；
(3)先根据角平分线的性质得到ND=NE，再根据线段垂直平分线的性质得到NB=NC，接着证明Rt△NBD≌Rt△NCE得到∠BND=∠CNE，则∠BNC=∠DNE，然后根据四边形的内角和得到∠BAC+∠BNC=180∘.
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．