黑龙江省齐齐哈尔市甘南县三校2023届九年级下学期期初考试数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市甘南县三校2023届九年级下学期期初考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了全卷共三道大题，总分120分等内容，欢迎下载使用。

1．本科为闭卷考试，考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、单项选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程，是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A、不符合定义，故该选项不符合题意；
B、符合定义，故该选项符合题意；
C、不符合定义，故该选项不符合题意；
D、不符合定义，故该选项不符合题意；
故选：B．
3. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：分两种情况：
当时，函数的图象经过一三四象限，的图象分布在一三象限；
当时，函数的图象经过一二四象限，的图象分布在二四象限；
故选：C．
4. 下列事件中是不可能事件的为（ ）
A. 三角形的内角和是360°
B. 打开电视机正在播放动画片
C. 车辆随机经过一个路口，遇到绿灯
D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数
答案：A
解析：解：A、三角形的内角和是360°，属于不可能事件，A符合题意；
B、打开电视机正在播放动画片，属于随机事件，故B不符合题意；
C、车辆随机经过一个路口，遇到绿灯，属于随机事件，故C不符合题意；
D、掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数，属于随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
5. 如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（ ）
A. 20B. 22C. 24D. 26
答案：C
解析：、分别切于、，
，，
，
、分别切于、，切于，
，，
，
故选：C．
6. 在一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：
由列表可知共有种可能，两次都摸到红球的有9种，所以概率是．
故选：D．
7. 如图，在中，点在边上，连接，若，，，则的长为（ ）

A. 3B. 4C. D.
答案：D
解析：解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
8. 某商品现在售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为，
故选：B
9. 如图，等腰直角斜边长为4，点D从点A出发，沿的路径运动，过D作AB边的垂线，垂足为G，设线段AG的长度为x，的面积为y，则y与关于x的函数图象，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：当时，D在AC上运动，
∵且
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，D在BC上运动，
同理可得，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
根据解析式图象的性质可知B正确，
故选B．
10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：解：①由图可知，，，，
∴，
∴，故①不符合题意；
②由题意可知，，
∴，故②符合题意；
③∵对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，故③符合题意；
④由图象可知，二次函数的最小值小于0，
令代入，
∴有两个不相同的解，故④不符合题意；
⑤将代入，
∴，
∵，
∴，故⑤符合题意；
故选：B．
二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共21分）
11. 如果一个正六边形的边长等于，那么这个正六边形的半径等于____．
答案：2
解析：解：如图，
根据正六边形的性质可知
∴为等边三角形，
∴，即正六边形的外接圆半径为．
故答案为：2．
12. 如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是____________（写出一个即可）．
答案：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）
解析：解：∵∠C=∠C
∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．
故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．
13. 圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是___________．
答案：4
解析：解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
解得：，
故答案为：4．
14. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．
答案：且
解析：解：去分母得：，
解得：，
∵该方程的解是正数
∴，
解得，
又∵当时，该分式方程的左边两项分母为0，
∴，
故答案为：且．
15. 如图，点在双曲线的图象上，点在双曲线的图象上，且轴，点在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为_______．
答案：2
解析：解：∵点在双曲线的图象上，
设A的坐标为 ，
∴，
∵四边形为矩形，轴，
∴，
∴B的纵坐标为，而点在双曲线的图象上，
∴B的横坐标为，
∴
∴矩形的面积=
故答案为：2．
16. 如图，长方形ABCD中，，，点P是射线AD上一点，将沿BP折叠得到，点恰好落在BC的垂直平分线l上，线段AP的长为______.
答案：或15
解析：解：设直线l交于R，交于T．
如图1中，当点P在线段上时，设
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
在中，则有，
解得．
如图2中，当点P在线段上时，设.
在中，∵，
∴，
∵，
，
在中，则有，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或15．
17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A、C分别在x，y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为______．
答案：
解析：解：∵四边形是正方形，，
∴，
∴，
将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形，
再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律，
∴每4次循环一周，，
∵，
∴点与同在一个象限内，
∴点．
故答案为．
点睛：此题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分）
18. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）.
答案：（1），；
（2），.
小问1解析：
解：
，
解得：，；
小问2解析：
解：
，
，
解得：，.
19. （1）计算
（2）因式分解：
答案：（1）12；（2）
解析：解：（1）原式
；
（2）
．
20. 如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．

（1）求证：是的切线；
（2）直线与交于点，且，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴DC是的切线；
小问2解析：
解：设的半径为r，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
21. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有___________人；
（2）扇形统计图中，___________，C等级对应的圆心角为___________度；
（3）小永是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
答案：（1）40 （2）10，144
（3）
小问1解析：
（人），
故答案为：40，
小问2解析：
，．
故答案为：10，144；
小问3解析：
设小永用A表示，其他三位同学分别用B、C、D，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12种等可能出现的情况，其中小永被选中的有6种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
22. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
答案：（1）
（2）气压是
（3）为了安全起见，气体的体积应不少于
小问1解析：
解：设，
将点代入，得，
，
即这个函数的解析式为；
小问2解析：
解：当时，，
即当气体体积为时，气压是；
小问3解析：
解：当时，，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
23. 综合与实践 已知矩形，，，点E在边上，，连接、.
（1）如图1，图中共有相似三角形______对；
（2）如图2，将沿着平移，使点C与点B重合，得到，并将绕点B顺时针旋转，连接、，当旋转到如图3所示位置时，写出与相似的三角形，无需证明.
（3）如图4，在（2）的条件下，若直线与直线相交于点H，
①与的位置关系为______，请证明你的猜想.
②在旋转过程中，当四边形为矩形时，线段的长为______.
答案：（1）3 （2）；
（3）①②或
小问1解析：
解：有三对相似的三角形，分别为：，，，
证明：如下：
∵矩形，，,，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理可证：，；
故答案为：3；
小问2解析：
∵将沿着平移，使点C与点B重合，得到，
∴，，
∵将绕点B顺时针旋转，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
小问3解析：
①设与交于点O，
由（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②当旋转到如图所示位置时，四边形为矩形，

∵，，
∴，
∴；
当旋转到如图所示位置时，满足题意，四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
综上可得：线段的长为或．
24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围；
（3）连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；
（4）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）或；
（4）或或或．
小问1解析：
解：把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
小问2解析：
由（1）可知，二次函数解析式为，
∴抛物线的对称轴直线，
∴当时，n取最小值，
此时：，
当时， ；
当时， ；
∴当时，；
小问3解析：
∵、
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将点、代入得：
，解得，
∴的表达式为，
设点Q的坐标为
∴
解得或，
当时，，
当时，
∴点Q的坐标为或；
小问4解析：
存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
①当为菱形的对角线时，如图所示，
由（3）可知，，
∴，
∴，
∴菱形为正方形，
∴点N的坐标为
②如图所示，当为菱形对角线时，C、N关于x轴对称，
∴点N坐标为；
③，当为对角线时，如图所示，
，
∴，
∴点N的坐标为或
综上所示，点N的坐标为：或或或．红1
红2
红3
白1
白2
红1
红1红1
红2红1
红3红1
白1红1
白2红1
红2
红1红2
红2红2
红3红2
白1红2
白2红2
红3
红1红3
红2红3
红3红3
白1红3
白2红3
白1
红1白1
红2白1
红3白1
白1白1
白2白1
白2
红1白1
红2白1
红3白1
白1白1
白2白1