福建省莆田市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省莆田市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷（Word版附解析），文件包含福建省莆田市2024届高三毕业班第二次教学质量检测数学试卷原卷版docx、福建省莆田市2024届高三毕业班第二次教学质量检测数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 为虚数单位，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 若集合，则集合可能为（ ）
A. B. C. D.
3. 某校高三年级有男生600人，女生400人．为了获得该校全体高三学生的身高信息，采用按比例分配的分层随机抽样抽取样本，得到男生､女生的平均身高分别为和，估计该校高三年级全体学生的平均身高为（ ）
A. B. C. D.
4. 柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 事件与互斥B. 事件与相互独立
C. D.
6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 已知角顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，把它的终边绕原点逆时针旋转角后经过点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下四个结论：
①在区间上“优于”；
②在区间上“优于”；
③在区间上“优于”；
④若在区间上“优于”，则．
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 最大值为1
C. 在上单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合
10. 在正方体中，点在平面上（异于点），则（ ）
A. 直线与垂直．
B. 存在点，使得
C. 三棱锥的体积为定值
D. 满足直线和所成的角为的点的轨迹是双曲线
11. 已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A. 是奇函数
B. 若，则
C. 若，则为增函数
D. 若，则为增函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，则__________，在上的投影向量的坐标为__________．
13. 已知的内角的对边分别为，若，则__________．
14. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前项和．
16. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面；
（2）若平面，求二面角的正弦值．
17. 某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在内的人数；
附：若，则．
（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
①求顾客获得乙奖品概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
18. 已知椭圆离心率为，且上的点到右焦点的距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，对于内任一点，直线交于两点，点在上，且满足，求四边形面积的最大值．
19. 已知函数．
（1）证明：当时，；
（2）若函数有两个零点．
①求的取值范围；
②证明：．