所属成套资源:【中考二轮】备战中考数学《重难点解读•专项训练》(知识解读)
备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题03 阿氏圆(知识解读)
展开这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题03 阿氏圆(知识解读),共17页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度,培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准,安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础,在此基础上适当增加变式和难度,提高能力。
专题03 阿氏圆(知识解读)
【专题说明】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题;
本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】
阿氏圆问题
问题:求解“”类加权线段和最小值
方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
②造:根据线段比,构造母子型相似
③算:根据母子型结论,计算定点位置
④转:“”转化为“”问题
关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1:内部构造母子型
③系数大于1:外部构造母子型
【典例分析】
【典例1】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点,且OP=r,设=k,求PC+kPD的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤:
第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;
第二步:证明kPD=PM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.
任务:
(1)将以上解答过程补充完整.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点,满足CD=2,利用(1)中的结论,请直接写出AD+BD的最小值.
【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=9,⊙B的半径为3,点P是⊙B上一点,连接AP,CP,则AP+CP的最小值为 .
【典例2】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,C,D分别为OA,OB的中点,点P是上一点,则2PC+PD的最小值为 .
【变式2-1】如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD=5,P是上一动点,则PC+PD的最小值为 .
【变式2-2】如图,△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,连接CD,∠BAD的平分线交CD于点E,点F为CD上一点,且DF=2CF,连接BF.
(1)如图①,当θ=60°时,求EF的长;
(2)如图②,连接AF,求BF+AF的最小值.
专题03 阿氏圆(知识解读)
【专题说明】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题;
本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。
【方法技巧】
阿氏圆问题
问题:求解“”类加权线段和最小值
方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
②造:根据线段比,构造母子型相似
③算:根据母子型结论,计算定点位置
④转:“”转化为“”问题
关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1:内部构造母子型
③系数大于1:外部构造母子型
【典例分析】
【典例1】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P是平面内一动点,且OP=r,设=k,求PC+kPD的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤:
第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;
第二步:证明kPD=PM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.
任务:
(1)将以上解答过程补充完整.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点,满足CD=2,利用(1)中的结论,请直接写出AD+BD的最小值.
【解答】解(1)在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,
∴△POM∽△DOP.
∴MP:PD=k,
∴MP=kPD,
∴PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时,PC+MP有最小值,即C,P,M三点共线时有最小值,
利用勾股定理得.
(2)∵AC=m=4,=,在CB上取一点M,使得CM=CD=,
∴的最小值为.
【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=9,⊙B的半径为3,点P是⊙B上一点,连接AP,CP,则AP+CP的最小值为 .
【答案】
【解答】解:连接BP,在BC上截取BQ=1,连接PQ,AQ,
∴,,
∴,
∵∠PBQ=∠CBP,
∴△BPQ∽△BCP,
∴,
∴PQ=CP,
∴AP+CP=AP+PQ≥AQ,
当A、P、Q三点依次在同一直线上时,AP+CP=AQ=的值最小,
故答案为:.
【典例2】如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,C,D分别为OA,OB的中点,点P是上一点,则2PC+PD的最小值为 .
【答案】2.
【解答】解:如图,延长OA使AE=OA,连接ED,EP,OP,
∵AO=OB=4,C,D分别是OA,OB的中点,
∴OE=8,OP=4,OD=OC=2,
∴==,且∠COP=∠EOP,
∴△OPE∽△OCP,
∴==,
∴EP=2DC,
∴2PC+PD=PE+PD,
∴当点E,点P,点D三点共线时,2PC+PD的值最小,
∴2PC+PD最小值==2.
【变式2-1】如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,C是OA的中点,D是OB上一点,OD=5,P是上一动点,则PC+PD的最小值为 .
【答案】
【解答】解:如图,延长OA使AE=OB,连接EC,EP,OP,
∵AO=OB=6,C分别是OA的中点,
∴OE=12,OP=6,OC=AC=3,
∴==,且∠COP=∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴==,
∴EP=2PC,
∴PC+PD=(2PC+PD)=(PD+PE),
∴当点E,点P,点D三点共线时,PC+PD的值最小,
∵DE===13,
∴PD+PE≥DE=13,
∴PD+PE的最小值为13,
∴PC+PD的值最小值为.
故答案为:.
【变式2-2】如图,△ABC为等边三角形,AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,连接CD,∠BAD的平分线交CD于点E,点F为CD上一点,且DF=2CF,连接BF.
(1)如图①,当θ=60°时,求EF的长;
(2)如图②,连接AF,求BF+AF的最小值.
【解答】解:(1)∵将边AB绕点A顺时针旋转θ(0°<θ<120°)得到线段AD,如图,
∴∠BAD=θ,AB=AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴AC=AD,
∴∠ADC=∠ACD,
∵θ=60°,
∴∠DAC=120°
∴∠ADC=∠ACD=30°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE=30°,
∴∠EDA=∠EAD,∠CAE=90°,
∴DE=AE=,
∵AB=AC=6,
∴DE=AE=AC•tan30°=2,
∴CE=4,
∴CD=CE+DE=6,
∵DF=2CF,
∴CF=CD=2,
∴EF=CE﹣CF=2;
(2)如图,过F作FH∥AD,交AC于H,取AC的中点M,连接FM,则AM=CM=3,
∴△CFH∽△CDA,
∴,
∵DF=2FC,
∴,
∴CH=FH=2,
∴MH=3﹣2=1,
∵,,
∴,
∵∠FHM=∠AHF,
∴△FHM∽△AHF,
∴,
∴FM=AF,
∴当B、F、M三点共线时,BF+FM=BF+AF的长最小,如图,此时BM⊥AC,
∴BM=,
∴BF+AF的最小值为3.
相关试卷
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题02 线圆最值(知识解读),共15页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题01 辅助圆定点定长(知识解读),共13页。试卷主要包含了复习方法,复习难点等内容,欢迎下载使用。
这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题03 阿氏圆(专项训练),文件包含专题03阿氏圆专项训练原卷版docx、专题03阿氏圆专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共14页, 欢迎下载使用。