专题41 关于分母有理化的大题解答-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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专题41 关于分母有理化的大题解答1．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：…(1)________（n为正整数）．(2)________．(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；（2）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；（3）原式变形为，再进一步计算即可．【详解】（1）；故答案为：；（2），故答案为：；（3）解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的基本方法．2．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）阅读下列化简过程：化简：．解法一：解法二：请用其中一种方法完成下列问题：(1)化简：①；②；(2)计算：．【答案】(1)①；②；(2)9．【分析】（1）根据阅读材料中的解法计算即可求解；（2）直接利用分母有理化化简二次根式，再合并得出答案．【详解】（1）解：①；②；或①；②；（2）解：【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确读懂题意是解题的关键．3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）观察下列计算：，，，(1)运用上面的计算方法化简（n为正整数）；(2)利用上面的结论计算：；(3)计算：．【答案】(1)(2)2021(3)【分析】通过观察式子发现，三个式子都是利用平方差公式进行分母有理化，因此下面的题目也利用平方差公式进行分母有理化，然后再进行计算即可．（1）解：（为正整数）（2）解：原式（3）解：原式【点睛】本题考查二次根式的分母有理化．通过观察给出的计算提炼出利用平方差法进行分母有理化是解题的关键．4．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）像，•＝a（a≥0），（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：(1)化简：①　　  ；           ②　　；(2)计算：…+）＝　　；(3)已知，，试比较a、b的大小，并说明理由．【答案】(1)①，②(2)2021(3)，理由见详解【分析】（1）①将二次根式分母有理化进行计算；②先确定分母有理化因式，然后进行计算；（2）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解；（3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较．（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2），故答案为：2021；（3），理由如下：，同理：，∵，∴，∴．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键．5．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．例如：与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；……(1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）(2)利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答；（2）仿照例题，利用分子有理化，进行计算即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：，，∵，∴，即．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键．6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：．请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为 　 　，的有理化因式为 　 　；（均写出一个即可）(2)计算：；(3)当2≤a≤4时，求代数式的最大值．【答案】(1)；（答案不唯一）(2)(3)2﹣【分析】（1）根据有理化因式的定义进行求解即可；（2）把分母进行有理化运算，从而可求解；（3）逆用分母有理化的运算，从而可求解．【详解】（1）解：的有理化因式为，的有理化因式为．故答案为：；（答案不唯一）．（2）解：＝ ＝（3）解：＝＝＝∵2≤a≤4，∴要使代数式有最大值，则a＝2，∴＝＝2-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．7．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：(1)化简：①= ；②= ．(2)计算：．【答案】(1)①；②(2)2021【分析】（1）①分子，分母同时乘以，计算即可；②分子，分母同时乘以，计算即可．（2）根据，变形计算即可．（1）①，故答案为：；②=，故答案为：．（2）∵，∴===2021．【点睛】本题考查了有理化因式的应用，学以致用是解题的关键．8．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)计算：①______，②______；(2)计算：；(3)已知有理数、满足，则______，______．【答案】(1)，；(2)1(3)-1，1【分析】（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；（2）===1；（3）∵，∴，∴，∴，∵a、b都是有理数，∴2a+b=-1，b-a=2，解得a=-1，b=1，故答案为：-1，1．【点睛】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．9．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）【阅读材料】像，，，…，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与，…．，等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】(1)的有理化因式为_________；(2)化简：；(3)①如图1， 中，，点到边的距离为_________；②如图2，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为3，则点到边的距离为_________． 【答案】(1)(2)-2(3)①；②【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可；（2）先对分母进行有理化，再求解即可；（3）①先求出斜边上的高，再利用面积法求解；②先作出P点到各边的垂线段，再表示出△ABC的面积，求出P点到各边的距离即可．(1)∵ 与 的积不含有二次根式，∴的有理化因式为．(2)               ．(3)①∵中，，∴，设点到边的距离为h，∵，∴，∴点到边的距离为  ． ②设点到边的距离m，分别过P点向三角形各边作垂线，垂足分别即为E、F、G，连接PC，则PE=PF=PG=m，∴，即，∵的周长为，∴∴点到边的距离为．【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程．10．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：（2）解：．（3）解：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．11．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）(2)将下列各式分母有理化：①；②；（要求；写出变形过程）(3)计算：的结果____．【答案】(1)，(2)①；②(3)【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；②分子分母同时乘2+3，然后化简即可；（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．（1）由题意可得，的有理化因式为，的有理化因式为，故答案为：，；（2）①；②；（3），故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．12．（2022秋·湖南郴州·八年级校考期末）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； .以上这种化简过程叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：.（1）请用其中一种方法化简；（2）化简：.【答案】(1) ＋；(2) 3-1.【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.【详解】（1）原式=；（2）原式=+++…=3﹣1.【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.