广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试题（附参考答案）

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数学
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名､准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号､姓名和科目.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第I卷选择题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（ ）
A.21 B.24 C.27 D.30
3.已知的内角的对边分别为，若，则下列的取值中，使得该三角形有两解的是（ ）
A. B. C. D.
4.展开式中项的系数为（ ）
A.42 B.35 C.7 D.1
5.已知函数是奇函数，则的最小值为（ ）
A.3 B.5 C. D.
6.在复数范围内，下列命题是真命题的为（ ）
A.若，则是纯虚数
B.若，则是纯虚数
C.若，则且
D.若为虚数，则
7.已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为8，与圆锥底面所成的角为，则（ ）
A.圆锥的高为1
B.圆锥的体积为
C.圆锥侧面展开图的圆心角为
D.二面角的大小为
8.如图，设是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B.-1 C.-2 D.-3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ）
参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：.记样本平均数为，样本方差为，
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10.已知函数，则（ ）
A.曲线的对称轴为
B.在区间上单调递增
C.的最大值为
D.在区间上的所有零点之和为
11.如图，是连接河岸与的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与相切，且圆心在线段上；
③古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量，点分别位于点正北方向､正东方向处，.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A.新桥的长为
B.圆心可以在点处
C.圆心到点的距离至多为
D.当长为时，圆形保护区的面积最大
第II卷非选择题
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13､14题第一空2分，第二空3分.
12.已知成对样本数据中，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数__________.
13.已知外接圆的半径为1，圆心为点，且满足，则__________，__________.
14.如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知数列和，其中，数列的前项和为.
（1）若，求；
（2）若是等比数列，，求数列和的通项公式.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.
（1）若为的中点，求证：；
（2）若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分17分）
已知点为双曲线上的动点.
（1）判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
（2）（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.
19.（本小题满分17分）
2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.
假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.
设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
（1）若，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）