专题04 旋转之角度问题最新期中真题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．
【详解】（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2，
∵AP=1，∴AP2+PP′2=1+8=9，∵AP′2=32=9，∴AP2+PP′2=AP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；
（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=，在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=，
∵AP=3，∴AP2+PP′2=9+2=11，
∵AP′2=（）2=11，∴AP2+PP′2=AP′2，∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．
【模型演练】
1．如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，，
(1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可．
【详解】（1）（1）如图，即为所求；
（2）∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键．
2．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．
(1)求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)BF=2
(2)∠AEB=135°
【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可．
（1）
解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF为等腰直角三角形，
设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ，
解得： x=2；
（2）
解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1，
在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3，
∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9，
∴CF2+EF2=CE2，
∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°，
∴∠AEB=135°．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．
3．一节数学课上，老师提出一个这样的问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，求出∠APB的度数．
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【答案】∠APB =135°，解答过程见解析
【分析】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．
【详解】解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BA，连接P，
则△AB≌△CBP，A=CP=3，B=BP=2，∠PB=90°
∴∠BP=45°，
根据勾股定理得，，
∵AP=1，
∴，
又∵，
∴，
∴△AP是直角三角形，且∠AP=90°，
∴∠APB=∠AP+∠BP=90°+45°=135°．
思路二：
将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△CB，连接P，
∴B=PB=2，C=AP=1，∠BP=90°，∠APB=∠BC，
∴∠BP=45°，，
∵PC=3，C=1，
∴，
∴∠PC=90°，
∴∠BC=∠BP+∠PC=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BC=135°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键．
4．已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．
（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；
（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；
【答案】（1）证明见解析；
（2）仍成立，理由见解析；
（3）仍成立，理由见解析．
【分析】（1）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，根据等腰直角三角形的性质得∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据，，即可得；
（2）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，即可得△ACO、△OBD是等边三角形，即可得∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，即可得；
（3）根据旋转的性质得OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，根据三角形内角和定理和角之间的关系得∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，即可得．
【详解】（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠CAO=∠OCA=45°，
∠ODB=∠OBD=45°，
∴，
，
∴；
（2）仍成立，理由如下：
解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△ACO、△OBD是等边三角形，
∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，
∴∠BAC=∠BAO﹣∠CAO=∠BAO﹣60°，
∠BDC=∠DCO﹣∠DBO=∠DCO﹣60°，
∴∠BAC=∠BDC；
（3）仍成立，理由如下：
解：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，
∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，
∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，
∴∠CAO=∠OBD，
∵∠BAC=∠BAO﹣∠CAO，
∠BDC=∠DCO﹣∠DBO，
∵∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BDC．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的判定，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
5．如图1，在正方形中，，点E是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点D顺时针旋转，旋转角为．
(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
(2)如图3，延长交直线于点P．
①求证：；
②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)．理由见解析
(2)①见解析；②存在，的最大值为
【详解】（1）如图2中，结论：．
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴（SAS）．
（2）①证明：如图3中，设交于O．
∵，
∴，
∵，
∴在与中
，
∴．
②存在
∵，是定值，
∴当最小时，的值最大，
∴当时，的值最小，此时的值最大，此时点F与P重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
6．如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点C顺时针旋转至，旋转角为．
(1)当点恰好落在边上时，点到边的距离为____________，旋转角____________；
(2)如图2，G为的中点，且，求证：；
(3)小长方形绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)1，30
(2)见解析
(3)能，为或
【分析】（1）根据矩形的性质可知点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，可知点到边的距离为1；根据旋转的性质得，即可判定 ，然后根据平行线的性质即可得到 ；
（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS” 可判断，则；
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而，则 和为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当 和为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 和为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
（1）
解：由题意可知，当点恰好落在边上时，点到边的距离等于F到边的距离，即DF=1，
∴点到边的距离为：1，
∵CE=1，，
∴在中，，
∵，
∴，
故答案为：1，30；
（2）
证明：∵G为中点，
∴，
∴，
∵长方形绕点C顺时针旋转至，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴；
（3）
能，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵，
∴和为腰相等的两等腰三角形，
当时，，
当和为钝角三角形时，则旋转角=，
当和为锐角三角形时， ，
则=，
即旋转角的值为135°或315°时，和全等．
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
7．已知：在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．
（1）如图1，若时，连接，求证：；
（2）如图2，当点恰好在上时，求的度数；
（3）如图3，点、的坐标分别是，，点是线段上的一个动点，点是线段上的一个动点，是否存在这样的点、使得为等腰三角形且为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）存在，或
【分析】（1）由旋转的性质可知， 是等边三角形，即可求证；
（2）由旋转的性质可知，，从而，即可求解；
（3）分两种情况：若，时；若，时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知
，，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
点恰好在上，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点、的坐标分别是，，
∴，
∵，，
∴，，
如图1，若，时，
图1
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
如图2，若，时，
图2
设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，能够利用旋转的性质和分类讨论的思想是解题的关键．
8．同题提出 如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值．
问题探究 （1）先将问题特殊化．
①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；
②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论；
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立．
问题拓展 （3）当时，若，请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析．
②见解析；
（2）．
（3）或．
【分析】（1）①当时，在图中找到的中垂线，看能否满足即可；
②先证明≌，根据，得到，最后利用，即可证明结论；
（2）先证明出，得到，再证明出，通过性质可证明出，得到，根据，得到，最后根据，即可得证；
（3）仿照（2）的过程依次证明，，再通过角的转换即可得到答案．
【详解】解：（1）①当时，
为的中位线，
经过点的的垂线与的中垂线重合，
∴此时点在的中垂线上任何位置都能满足，
故不存在确定的点．
②证明：连接．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵在的中垂线上，
∴，
∴．
∵，
∴≌．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）延长至，使得，连接，．连接并延长交于点．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
（3）延长至F，使得，连接、并延长交于点G，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
由（2）可得，
∴，
，
∴，
∴，
当时，延长至F，使得，连接、，
同理可得，
∵
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．
9．问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究
(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决
(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析
【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．；
（2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解；
（3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求．
（2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
故；
（3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，，，，
、是等边三角形，
，
，
根据两点间线段距离最短得：当时最短，
是等边三角形，
以为一边作等边三角形，
最小值为的长，此时点在线段上，
点为、的交点．
若点与点重合，即在对角线 上，
则点为与的交点，此时点（E）与点重合，
显然不符合题意，故点不在对角线上，
即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
10．【问题背景】如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，我们可以通过把绕点逆时针旋转90°到，容易证得：．

(1)【迁移应用】如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若、都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【联系拓展】如图3，在中，，，点、均在边BC上，且．猜想、、满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）把绕点逆时针旋转90°到，证明，进而即可得到结论；
（2）把绕点逆时针旋转90°到，连接DF，证明，从而得，进而即可得到结论．
（1）
解：数量关系是，
理由如下：由题意得，，，
把绕点逆时针旋转90°到，如图2所示，
则，，，
∵，
∴，
∴点、、在同一条直线上；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
解：数量关系是，
理由如下：把绕点逆时针旋转90°到，连接DF，如图3所示，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴DF=DE，
∵，AB=AC，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是正确画出图形．
11．【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】
(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】
(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
【答案】(1)四点共线，
(2)的值最小时，此时
(3)
【分析】(1)证明得到进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，的值最小为，再由等边△及求出的长；
(2)同(1)中思路证明得到，当B，P，D，E四点共线时，的值最小为；进一步得到，即可求出，再过点C作于点F，利用即可求出的值；
(3)同(2)中思路即可求解．
(1)
解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，
∴，
∴，
且，
∴，
∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示：
连接AC，设AC与BD交于点O，
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴，
此时．
(2)
解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，
∴，
∴，
且均为等边三角形，,
∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示．
∵均为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时；
过点C作于点F，如图1所示．
∵，
∴是线段的中垂线，
∴C，P，F三点共线，
∴，
设，则．
∴，
∴．
(3)
解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，
过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示：
由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时，
由(2)知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴在中由勾股定理得到，
过点C作，垂足为G，如图2所示．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中由勾股定理得到，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考察了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．