河南省部分学校2023-2024学年高中毕业班阶段性测试（六）数学试卷

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
3.的展开式中的系数为（ ）
A.-225 B.60 C.750 D.1215
4.设为偶数，样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
5.直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.圆锥甲､乙､丙的母线与底面所成的角相等，设甲､乙､丙的体积分别为，侧面积分别为，高分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A. B.四点共面
C.平面 D.平面
10.已知函数，则（ ）
A.的定义域为
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在区间上的最小值为
11.已知是抛物线上的动点，点为坐标原点，点到的准线的距离最小值为1，则（ ）
A.
B.的最小值为
C.的取值范围是
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.
13.已知分别为平行四边形的边的中点，若点满足，则__________.
14.已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，点在上运动（与枃不重合），直线交直线于点，若恒成立，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
将一枚质地均匀的正四面体玩具（四个面分别标有数字）抛掷3次，记录每次朝下的面上的数字.
（1）求3次记录的数字经适当排序后可成等差数列的概率；
（2）记3次记录的最大的数字为，求的分布列及数学期望.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，.
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求.
17.（15分）
记数列的前项和为.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使不等式成立的的最大值.
18.（17分）
已知椭圆的左顶点和在焦点分别为，，且，点
满足.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，与轴交于点，且点在点的左侧，点关于轴的对称点为，直线分别与直线交于两点，求面积的最小值.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围.
2023—2024学年高中毕业班阶段性测试（六）
数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.AC 10.CD 11.ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.2
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解析（1）抛掷正四面体玩具3次，所有可能的结果有种，
3次记录的数字可以排成等差数列，如果3个数字相同，则不同的结果有4种，如果3个数字互不相同，则不同的结果有种，
因此所求的概率为.
（2）的所有可能取值为，
，
，
，
.
故的分布列为
的数学期望.
16.解析（1）取的中点，连接.
因为，所以四边形是平行四边形，
所以.
因为，所以.
又因为，所以平面，
所以平面，所以，
即是的垂直平分线，所以，即是等腰三角形.
（2）由（1）知，因为平面平面，所以平面，从而可知两两垂直.
以为坐标原点，所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由已知得，
所以.
设为平面的法向量，
则得取，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，故.
17.解析（1）由，
得，即，
所以，变形得，
故数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）因为，
所以，
.
因为，所以，即.
设函数.
因为，
所以单调递增.
又，所以，
所以使成立的最大正整数的值为6.
18.解析（1）由题意知，设.
因为，所以①.
因为，
所以，即②.
由①②解得，
所以的方程为.
（2）设，由题可设直线，则.
令，得，由，得.
由得，
所以.
直线的方程为，
令，得，
直线的方程为，
令，得，
所以，
因为
，
又，
所以.
设，则，
则
，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.
19.解析（1）当时，，
则，
易知函数在上单调递减，又，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意知，且.
令函数，则.
①若，则在上单调递减.
又，则当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得极大值，不合题意.
②若，则，令，得，故在上单调递减.
又，
所以当时，，从而在上单调递增；
当时，，从而在上单调递减，
所以在处取得极大值，不合题意.
③若，则，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，所以，从而，
所以在上单调递增，不合题意.
④若，则，
令，解得，故在上单调递增.
又，
故当时，，从而在上单调递减，
当时，，从而在上单调递增.
所以在处取得极小值，符合题意.
综上，的取值范围是.1
2
3
4