广东省深圳市深圳科学高中2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

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命题人：卞上 审题人：吴冰欣
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，或，则（ ）
A．－8B．－7C．7D．8
3．过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的
体积为（ ）
A．36B．32C．28D．24
5．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若，则，共线；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的部分图象如图，则函数（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
8．若数列满足，，，，则称数列Fibnacci数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知M为直线上的一点，动点N与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点N的轨迹方程为B．
C．的最小值为D．的最大角为
10．已知数列:，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的项是，，，再接下来的项是，，，，，，，依此类推），其前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．存在常数M，使得恒成立
B．是的第2036项
C．
D．满足不等式的正整数n的最小值是2100
11．如图，在边长为1的正方体中，E是的中点，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M点与点重合时，直线平面ACM
B．当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值
C．当M点与E点重合时，平面ACM与平面夹角的正弦值为
D．当M点为线段中点时，平面ACM截正方体所得截面面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．命题“”的否定是______．
13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______．
14．如图，椭圆的离心率，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，Р是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，向量，且．
（1）求证：；
（2）延长BC至点D，使得．当最大时，求tanD的值．
17．（15分）四棱锥中，底面ABCD，，，，．
（1）求证：平面PAC；
（2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
18．（17分）已知双曲线C：的离心率是3，点在C上．
（1）求C的标准方程：
（2）已知直线l与C相切，且与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，试问是否为定值?若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
19．（17分）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②．
则称这样的数表具有性质P．
（1）若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
（2）对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数．
使得；
（3）对于具有性质Р的数表，当n为偶数时，求的最大值．
深圳科学高中2023-2024学年第二学期开学考试参考答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．，，13．，14．
8．对于A：因为，，，，
所以
，故A正确；
对B：显然，，由可知，，可由判断，若，则，
若或，则，
由此可得，，，，…，，，，
所以，故B正确；
对于C：因为，，，，
所以
，
又由选项A，易知，
所以，
则，故C错误；
对于D：
，
又因为，所以，
故，故D正确．
11．对A，因为，所以点A，，C，四点共面，
当M点与点重合时，直线平面ACM，故A正确；
对B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
因为E为中点，则设，，，，
则，，，
设平面ACM的方向量为，则，
令，则，，所以，
则点D到平面ACM的距离，显然不是定值，故B错误；对C，当M点与E点重合时，由B知此时，，平面的法向量，
设平面ACM与平面夹角为θ，，
则，故C正确；
对D，连接，并在上底面内将直线沿着，的方向平移，直至该直线经过点M，交于点P，交于点N，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，因为点，
所以平面ACM截正方体所得的图形为四边形APNC，
不妨以为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，
则，，因为M为线段中点，则．
根据直线，则，设直线PN的方程为，代入点M坐标得，解得，则，则点P位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，点N位于线段的四分之一等分点处，且靠近点，
则，，，结合，
则四边形APNC为等腰梯形，则其高为
，
则﹐故D正确．
14．，∴，
设，则
，，
∴
．
∴当时，有最大值为．
∴，则，．
∴所求椭圆方程为．
四、解答题
15．（1）当时，，，即切点，
，则，
所以切线，即
（2）定义域为R，恒成立，所以恒成立，即恒成立．
设，则，，
令，解出．
所以，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即
故实数a的取值范围．
16．（1）因为，
所以，
即
又，
所以，，
整理可得
再由正弦定理得：，
结合，
可得，．
即
显然
两边同时除以可得，，即
如图：设，则．
因为，所以，
则
故，
因为，
当且仅当，即，时取等号
所以，
此时，
所以，故为等边三角形，即
17．（1）四棱锥中，底面ABCD，平面ABCD，则，而，即，又，PA，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）在平面ABCD内作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP两两垂直，以射线Ax，AB，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，，则，即是正三角形，，，而，则，设点，
，，，令平面DPC的一个法向量，
则，令，得，由（1）知平面PAC的法向量，
因二面角的余弦值为﹐则，
解得，
则，，令平面PBC的一个法向量，
则，令，得，
又，所以A点到平面PBC的距离．
18．（1）由题可得，解得，
故C的标准方程为；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，，，
联立，整理得，
则，即
由（1）可知C的渐近线方程为和，
不妨设直线l与直线的交点为A，与直线的交点为B，
联立，解得，即，
联立解得，即，
则，，
得，
因为，所以，
所以，即，
故是定值，且该定值为–7．
19．（1）满足条件的数表为，，
所以的值分别为5，5，6
（2）若当取最大值时，存在，使得．
由数表具有性质P可得j为奇数，
不妨设此时数表为
①若存在（k为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，
所以存在，使得
②若对任意的（k为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况
综上可知，存在正整数，使得
（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质P数表，一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此．②
记，．
由①＋②得；．
又，可得
构造数表
可知数表具有性质P，且．|
综上可知，当n为偶数时，的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
B
C
C
C
题号
9
10
11
答案
AC
BCD
ACD