新高考数学圆锥曲线62种题型第一讲 直线的方程（教师版）

这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第一讲 直线的方程（教师版），共14页。试卷主要包含了直线的倾斜角，直线的斜率，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。

知识点归纳
1.直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).
依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(（1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
感悟提升 (1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；
(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；
(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
课后检测
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.
【详解】因为,所以过两点的直线斜率为,
所以倾斜角为.
故选：A.
2．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣7＝0B．2x﹣y﹣7＝0
C．2x+y+7＝0D．2x﹣y+7＝0
【答案】B
【分析】联立方程可得l过的定点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可．
【详解】联立方程，解得x＝3，y＝﹣1，
故所求直线l过点（3，﹣1），
由直线x+2y+1＝0的斜率为，
可知l的斜率为2，
由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，
故选：B
3．已知，则“直线与平行”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.
【详解】若直线与平行，
则，即，当，时，
两直线方程为，，此时两直线重合，
故“直线与平行”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分必要条件，考查直线的位置关系，是基础题.
4．已知直线与圆交于两点，是坐标原点，且，则实数的值为（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据向量关系可得，由此可得圆心到直线距离为，建立方程求得结果.
【详解】由可得：
又为圆的圆心，则
则到直线的距离为：
即
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量垂直的关系，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
6．已知圆，过的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】根据得圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式求直线的斜率.
【详解】因为，所以圆心到直线的距离为，
因为圆心到距离等于，所以直线的斜率必存在，设为，则直线，
因此或
故选：C
【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
二、多选题
7．已知直线，，当满足一定的条件时，它们的图形可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系即可判断．
【详解】解：直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．
直线可化为，斜率为，在轴上的截距为．
当时，直线与平行，故正确．
选项中，由直线在轴上的截距可得，．
而由直线的斜率为，可得，故不正确．
在选项中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．
直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故正确．
选项中，两直线斜率，．
再由直线在轴上的截距，故不正确．
故选：．
8．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合D．对任意的，与都不垂直
【答案】ABD
【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；
对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；
对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；
对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；
故选：ABD.
三、填空题
9．经过点，且与直线平行的直线方程是__________.
【答案】
【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.
【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ，
故答案为： .
10．关于直线：，：，若，则__________.
【答案】
【分析】根据两直线垂直系数关系列式解决即可求解.
【详解】若，则，解得.
故答案为：.
11．当m变化时，平行线和间的距离的最小值等于______.
【答案】
【分析】直接利用平行直线的距离公式得到答案.
【详解】平行线和间的距离
.
当时有最小值
故答案为
【点睛】本题考查了平行直线间的距离，意在考查学生的计算能力.
12．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________.
【答案】
【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.
【详解】因为，所以线段的中点，且.
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.
故答案为：
四、解答题
13．已知直线与垂直．
(1)求;
(2)求直线与直线之间的距离．
【答案】(1)1或3
(2)时,距离为;时,距离为．
【分析】(1)若两直线垂直,则,代入即可求得;
(2)根据(1)中结果,分或两种情况分别带入平行直线的距离公式求出即可.
【详解】（1）解:由题知与垂直,
故有,
解得或;
（2）由(1)知或,
当时,
,
则两直线的距离为:,
当时,
,
则两直线的距离为:,
综上: 时,距离为;
时,距离为．
14．已知集合，，若．求的值．
【答案】或或.
【分析】对集合分类讨论，当时显然成立，当时，根据集合表示直线上的点，利用直线的位置关系求解即可.
【详解】当，即时，，显然满足；
当集合与表示的直线互相平行且不重合时，即，即时，；
由于集合表示的不是完整的一条直线，需排除点，因此当两直线的交点坐标为时，仍有，此时．
解得或．
综上所述：当或或时，．
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，考查了集合的描述法表示，分类讨论，注意空集这一特殊情况，属于常考题型．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点和，所在直线的方程为，.
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段的中点的坐标，由可得直线的斜率，再由直线过点可求得对角线所在直线的方程；
（2）联立直线、的方程，可求得点的坐标，进而可求得直线的斜率，由可得，再由点的坐标可求得直线的方程.
【详解】（1）因为、，所以中点坐标为，
因为，直线斜率为，所以直线斜率为，
由四边形是平行四边形，所以过点，
所以直线方程为，即；
（2）联立直线、的方程，解得，得，
所以斜率为，又因为，所以斜率为，
所以方程为，即.
【点睛】本题考查直线方程的求解，解题时要结合平行四边形的基本性质求得直线的斜率，结合点斜式得直线方程，考查计算能力，属于中等题.
16．已知直线经过两条直线和的交点，直线.
（1）若，求的直线方程；
（2）若，求的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先解方程组得交点坐标，再根据平行设所求方程，代入交点坐标得结果，
（2）先解方程组得交点坐标，再根据垂直设所求方程，代入交点坐标得结果.
【详解】（1）由，得，
∴与交点为.
设与直线平行的直线为，
将交点代入，∴.
∴所求直线方程为；
（2）设与直线垂直的直线为 ，
则，解得，
∴所求直线方程为 .
【点睛】本题考查直线交点以及根据直线平行于垂直求直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
α
0
0