四川省绵阳中学2022-2023学年高三下学期三诊模拟考试理科数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省绵阳中学2022-2023学年高三下学期三诊模拟考试理科数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了已知全集，集合，则，已知为实数，，展开式中的常数项是，为实数，则“”是“”的，如图，圆内接四边形中，，等内容，欢迎下载使用。
试题时间：120分钟 满分：150分
出题人：谢金芮 审题人：何虎，唐榆婷，罗博
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题共60分）
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为实数，（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
3.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图，根据如图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）
A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
4.展开式中的常数项是（ ）
A.-160 B.-20 C.20 D.160
5.为实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知和均为等差数列，，则数列的前50项的和为（ ）
A.5000 B.5050 C.5100 D.5150
7.已知函数的图象关于直线对称，则函数的最大值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
8.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）
A.6种 B.12种 C.24种 D.30种
9.如图，圆内接四边形中，，.现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域均为为偶函数且，，则（ ）
A.21 B.22 C. D.
11.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若三角形面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且.则下列结论不正确的是.（ ）
A.若保持.则点的运动轨迹长度为
B.保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C.沿正方体的表面从点到点的最短路程为
D.当在点时，三棱锥的外接球表面积为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13.抛物线的焦点到准线的距离为__________.
14.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影为2，则__________.
15.已知函数，若存在四个不相等的实根，且，则的最小值是__________.
16.如图所示，在中，已知分别在边上，且为等边三角形，则面积的最小值是__________.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）记为正项数列的前项和，已知.
（1）求数列的前项和；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
19.（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.
（1）求证：平面：
（2）若侧面底面，且，求与平面所成角的正弦值.
20.（12分）过抛物线上的点作直线交抛物线于另一点.
（1）设的准线与轴的交点为，若，求：
（2）过的焦点作直线交于两点，为上异于的任意一点，直线，分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点，
21.（12分）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设函数，当时，若，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线的普通方程及直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线和直线分别交于均异于点两点，求的取值范围.
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.
绵阳中学2020级高三下期三诊模拟考试
数学（理科）试题参考答案
1-5ADDAA 6-10BCCDC 11-12CC
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）时，，
数列是等差数列，首项为1，公差为1，
为正项数列的前项和，.
（2）时，时，也满足上式，
.
.
时，数列的前项和
；
时，
数列的前项利.
.
18.解：（1）由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率.
（2）由题可知，所有可能取值为，，，
可以的分布列：
所以，即能获得吉祥物.
19.（1）证明：取线段的中点，连，
在中，分别为的中点，
且，
又底面是菱形，且为的中点，
且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面.
（2）在平面内过点作，由已知可证得且平面，
故分别以所在线分别为轴建立空间坐标系，
则，
设平面的一个法向量，
可得，
不妨取，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）点在上，，解得，
的方程为，
的准线方程为，
，
，
直线的方程为，即，
联立，消去得，
解得，或，
将代入抛物线方程得，即.
（2）证明：设点，
设直线的方程为，代入，
得，
则.
设点，则，
直线的方程为，
令，得.同理得.
设以线段为直径的圆与铀的交点为，
则，
，即，
，
解得或.
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
21.解：（1）当时，
所以由导数的几何意义可得，
所以在处的切线方程为.
（2）证朋：当时，，
令，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以任意，
所以，当且仅当时，取等号，
所以在上单调递增，且，
又，不妨令，
令
令，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在上单调递增，所，
所以当吋，时，，
即，又，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
22.解：（1）由参数方程为（为参数）.
得
所以曲线的普通方程为.
由普通方程为，而
所以直线的极坐标方程为
即
（2）曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为
即
则的取值范围为
23.解：（1）当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由船得，综合得.
所以的解集是.
（2）的解集包含，
当时，恒成立
原式可变为，即，
，即在上恒成立，
显然当时，取得最小值10，0
1
2
3
4