中考数学复习指导：相似三角形开放题中考直播

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开放创新题开阔了同学们的视野，发展了同学们的发散思维能力和解题创新探索能力，因此倍受命题者的青睐，近年来在中考中频频亮相，另人耳目一新、目不暇接，现从中采撷几例相似三角形开放题，希望对同学们有所帮助和启发.
条件开放型
例1如图1在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是
图1
解析:考虑相似三角形判定方法，由图可知，已经有一个公共角A对应相等了，若根据两角对应相等两三角形相似需要添加∠ACD＝∠B或者∠ADC＝∠ACB,若根据两边对应成比例,两三角形相似需要添加，就可以两个三角形相似.
评注:本题是一道条件开放性试题，所给问题结论△ADC与△ABC相似，需要完备使△ADC∽△ABC的条件，答案不唯一，有利于同学们发挥自己的思维，找出符合条件的答案，由于只要找一个条件，相对来说降低了题目的难度.
结论开放型
例2如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
图1
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
分析:△BAD∽△CAE，△ABC∽△ADE；∠BAD ＝∠CAE知∠BAC ＝∠DAE，又．∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE∴又∵∠BAD ＝∠CAE∴△BAD∽△CAE
解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE
(2)①证△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE
又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE
②证△ABD∽△ACE．
∵△ABC∽△ADE，∴.
又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE.
点评: 结论不唯一，具有开放性.本题判断相似比较容易，证明需灵活运用相似三角形的判定方法进行证明．
三.条件结论双开放型
图3
例3如图3，Rt△AB C  是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC  交斜边于点E，CC  的延长线交BB  于点F．
(1)证明：△ACE∽△FBE；
(2)设∠ABC=，∠CAC  =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
分析:(1)证明两个三角形相似首先要考虑到方法是找出这两个三角形有两个对应角分别相等，：△ACE.△FBE已经知道一组对顶角对应相等，还须知道另一组角对应相等，根据旋转的性质，不难得出：△BAB 、△CAC 都是等腰三角形，且顶角度数相等，这样易求得∠ACC =∠ABB ，由此，便可推出△ACE∽△FBE.第(2)问是因果索因，答题时可先假设△ACE≌△FBE，再一步步地推出这两个三角形全等时、之间满足的关系.
解:(1)证明：∵Rt△AB C  是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB  ∴∠CAC =∠BAB  ∴∠ACC =∠ABB ，又∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE..
(2)解：当时，△ACE≌△FBE.在△ACC中，∵AC=AC ， ∴.在Rt△ABC中， ∠ACC+∠BCE=90°，即， ∴∠BCE=． ∵∠ABC=，∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE=BE
由(1)知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．
评注:本题融相似三角形、全等三角形相关知识于一题，综合性较强，且第一问是由因执果，第二问则因果索因，题目设置上一正一反，考察了学生运用正向思维、逆向思维解题能力.