2024年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷

这是一份2024年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合U＝{1，2，4，6，8}，集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x＝4a，a∈M}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A．{6}B．{4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{1，2，4，6，8}
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．iB．C．1D．
3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．（5分）已知向量，，若，则m＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A．f（x）＝ka|x|+bB．f（x）＝kxex+b
C．f（x）＝k|x|+bD．f（x）＝k（x﹣1）2+b
6．（5分）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．A1，A2互斥B．
C．D．
7．（5分）已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，如果关于x的实系数方程1003x2﹣S1003x+T1003＝0有实数解，那么以下1003个方程x2﹣aix+bi＝0（i＝1，2，…1003）中，有实数解的方程至少有（ ）个．
A．499B．500C．501D．502
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A．中位数不变B．平均数不变
C．方差不变D．第40百分位数不变
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（ω＞0）满足：f（）＝2，f（）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线对称
B．函数y＝f（）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（，）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
（多选）11．（6分）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线AE与PB所成的角为
B．△ABE的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在二项式的展开式中，常数项为 ．
13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
14．（5分）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+a．
（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．
（2）若a＞0，求f（x）在区间[0，2]上最大值．
16．（15分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠DAB＝90°，，，，，点M为BD中点．
（1）证明：B1M∥平面A1C1D；
（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．
17．（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4．求P1，P2，P3，P4；
（3）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，写出P（A），P（B|A），P（C|AB），P（ABC）的等量关系式，并加以证明．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点（﹣1，0）与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值．
19．（17分）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（m≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak﹣1，ak（a1＜a2＜...＜ak）．
（Ⅰ）当k＝4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
（Ⅱ）当k≥4时，若a2﹣a1，a3﹣a2，﹣ak﹣1构成等比数列，求正整数a；
（Ⅲ）记A＝a1a2+a2a3+...+ak﹣1ak，求证：A＜a2．
2024年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合U＝{1，2，4，6，8}，集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x|x＝4a，a∈M}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A．{6}B．{4，6，8}C．{1，2，4，8}D．{1，2，4，6，8}
【解答】解：由题知M＝{1，2}，N＝{4，8}，
∴∁U（M∪N）＝{6}．
故选：A．
2．（5分）设复数z满足，则|z|＝（ ）
A．iB．C．1D．
【解答】解：由解得，所以|z|＝1．
故选：C．
3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
4．（5分）已知向量，，若，则m＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，量，，
所以，即，所以，解得．
故选：C．
5．（5分）函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A．f（x）＝ka|x|+bB．f（x）＝kxex+b
C．f（x）＝k|x|+bD．f（x）＝k（x﹣1）2+b
【解答】解：由函数f（x）的数据可知，函数f（﹣2）＝f（2），f（﹣1）＝f（1），
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当x＞0时，由函数f（x）的数据可知，函数f（x）增长越来越快，可排除C．
故选：A．
6．（5分）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．A1，A2互斥B．
C．D．
【解答】解：甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球，
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；
再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，
因为每次只取一球，故A1，A2是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，故B正确；
，故D正确；
因为，故C错误．
故选：C．
7．（5分）已知等差数列{an}（公差不为0）和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，如果关于x的实系数方程1003x2﹣S1003x+T1003＝0有实数解，那么以下1003个方程x2﹣aix+bi＝0（i＝1，2，…1003）中，有实数解的方程至少有（ ）个．
A．499B．500C．501D．502
【解答】解：根据题意，方程1003x2﹣S1003x+T1003＝0有实数解，
而S10031003a502，T10031003b502，
则原方程等价于x2﹣a502x+b502＝0，
若其有解，必有Δ4b502≥0，
设方程x2﹣a1x+b1＝0与方程x2﹣a1003x+b1003＝0的判别式分别为Δ1和Δ1003，
则有Δ1+Δ1003＝（4b1）+（4b1003）4（b1+b1003）
（a1+a1003）2﹣4（b1+b1003）（2a502）2﹣8b502＝2（4b502）≥0，
其中等号成立的条件是a1＝a1003，
所以Δ1＜0和Δ1003＜0至多一个成立，
同理可证：Δ2＜0和Δ1002＜0至多一个成立，
…，Δ501＜0和Δ503＜0至多一个成立，且Δ502≥0，
故在所给的1003个方程x2﹣aix+bi＝0中，有实数解的方程至少有502个．
故选：D．
8．（5分）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点P（x1，y1）是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设半焦距为c，延长F2M交PF1于点N，由于PM是∠F1PF2的平分线，F2M⊥PM，
所以△NPF2是等腰三角形，所以|PN|＝|PF2|，且M是NF2的中点．
根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即|NF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，
所以MO是△NF1F2的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，b＝1，所以双曲线C的方程为，
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设T（u，v），T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即u2+v2＝8，
又T在上，则，即u2﹣2v2＝2，解得u2＝6，v2＝2，
由，故，即距离之和为．
故选：A．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）
A．中位数不变B．平均数不变
C．方差不变D．第40百分位数不变
【解答】解：将原数据按从小到大的顺序排列为12，16，22，24，25，31，33，35，45，
其中位数为25，平均数是（12+16+22+24+25+31+33+35+45）÷9＝27，
方差是，
由40%×9＝3.6，得原数据的第40百分位数是第4个数24．
将原数据去掉12和45，得16，22，24，25，31，33，35，
其中位数为25，平均数是，
方差是，
由40%×7＝2.8，得新数据的第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（ω＞0）满足：f（）＝2，f（）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线对称
B．函数y＝f（）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（，）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
【解答】解：，所以函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]，故D正确；
因为，所以，所以，
因为，所以，所以ω＝12k2+1，k2∈Z，
所以，即k1＝8k2+1，
所以ω∈{1，13，25，37，…}，
因为，
所以曲线y＝f（x）关于直线对称，故A正确；
因为2sin（（12k2+1）x﹣4k2π）＝2sin（（12k2+1）x），
即，
所以函数是奇函数，故B正确；
取ω＝13，则最小正周期，故C错误．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线AE与PB所成的角为
B．△ABE的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【解答】解：A选项，连接AD，由于D为PB的中点，
所以PB⊥CD，PB⊥AD，又CD∩AD＝D，AD，CD⊂平面ACD，
所以直线PB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，所以PB⊥AE，故A正确；
B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E，
则AE+BE的最小值即为AB的长，由于，AC＝4，
cs∠ADC，
，
所以AB2＝BD2+AD2﹣2BD•ADcs∠ADB＝22+（2）2﹣2×2×2（）＝16，
故，
△ABE的周长最小值为，B错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为O，取AC的中点M，连接BM，PM，过点P作PF垂直于BM于点F，
则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM 于点N，
因为AM＝2，AB＝4，所以，同理，
则，
故，
设OF＝ON＝R，故，
因为△PNO∽△PFM，所以，即，
解得，C正确；
D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，
设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q﹣VKG，
由C选项可知，其高为，
由C选项可知，PF是正四面体P﹣ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，
则，SF＝r，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的，如图正四面体P﹣HJI中，QZ＝r，QP＝3r，
正四面体Q﹣VKG高为，解得，D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）在二项式的展开式中，常数项为 ﹣160 ．
【解答】解：由于，
因为的通项公式为Tk+1，
所以在中，当6﹣2k＝﹣1时，不满足；
在中，当6﹣2k＝0时，k＝3，则常数项为．
故答案为：﹣160．
13．（5分）已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 时，圆锥的体积最大，最大值为 ．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线与底面所成的角为，易知．
圆锥的体积为，
令x＝sinθ，x∈（0，1），则y＝（1﹣sin2θ）sinθ＝﹣x3+x，y'＝﹣3x2+1，
当y'＞0时，，当y'＜0时，，
即函数y＝﹣x3+x在上单调递增，在上单调递减，
即，此时．
故答案为：；．
14．（5分）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若u≥v＞0，且u⊗v与v⊗u都是集合的元素，则u⊗v＝ ．
【解答】解：由u⊗v与v⊗u都是集合的元素，
不妨设，，n1，n2∈Z，
因为u≥v＞0，所以，
因为，
所以λ•∈（0，1），
因为n2∈Z，
所以n2＝1，
即，
所以∈（），
所以∈（），∈（2，4），
则∈（1，2），
因为n1∈Z，
所以n1＝3，．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+a．
（1）若x＝1是函数f（x）的极值点，求f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程．
（2）若a＞0，求f（x）在区间[0，2]上最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣ax+a，f′（x）＝3x2﹣a，
又x＝1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）＝3﹣a＝0⇒a＝3，
∴f（x）＝x3﹣3x+3，f′（x）＝3x2﹣3，
∴f（﹣1）＝5，f′（﹣1）＝0，
∴f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y﹣5＝0．
（2）∵若a＞0，f′（x）＝3x2﹣a＜0⇒，
∴f（x）在单调递减，在单调递增，
而f（0）＝a，f（2）＝8﹣a，
∴①当a≥8﹣a，即a≥4时，f（x）max＝a，
②当0＜a＜8﹣a，即0＜a＜4时，f（x）max＝8﹣a，
∴f（x）在区间[0，2]上最大值为．
16．（15分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠DAB＝90°，，，，，点M为BD中点．
（1）证明：B1M∥平面A1C1D；
（2）求二面角B﹣AA1﹣D的正弦值．
【解答】（1）证明：连接B1D1，交A1C1于N，连接DN，
∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形，可得BD∥B1D1，且BD＝B1D1，
∵平行四边形A1B1C1D1中，N为对角线交点，
∴N为B1D1中点，
∵M是BD中点，
∴DM∥B1N，DM＝B1N，可得四边形DMB1N是平行四边形，
∴B1M∥DN，
∵B1M⊄平面A1C1D，DN⊂平面A1C1D，
∴B1M∥平面A1C1D；
（2）解：∵，，，，
∴∠A1AB＝45°，∠A1AD＝60°，
∵△AA1D中，AD＝AA1＝1，
∴△AA1D是边长为1的等边三角形，
取AA1中点F，连接DF，则DF⊥AA1，
在平面ABB1A1中，作FG⊥A1A，交AB于点G，连接DG，可知∠DFG就是二面角B﹣AA1﹣D的平面角，
等边△A1AD中，，AF，
△AFG中，∠AFG＝90°，∠FAG＝∠FGA＝45°，可知FG＝AF，AG．
∴Rt△ADG中，，
∴△DFG中，，可得．
∴二面角B﹣AA1﹣D的正弦值等于．
17．（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．（1）求第2次摸到红球的概率；
（2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4．求P1，P2，P3，P4；
（3）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，写出P（A），P（B|A），P（C|AB），P（ABC）的等量关系式，并加以证明．
【解答】解：（1）根据题意，记事件“第i次摸到红球”为Ai（i＝1，2，3，⋯，10），则第2次摸到红球的事件为A2，
于是由全概率公式，可得．
（2）由已知得，
，
，
．
（3）由（2）可得P1＝P2P3P4，即P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2），
可猜想：P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB），
证明如下：由条件概率及P（A）＞0，P（AB）＞0，
得，，
所以．
18．（17分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点（﹣1，0）与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值．
【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
可得，所以，
又点在该椭圆上，所以，所以a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由于该直线斜率不为0，可设LMN：x＝my﹣1，
联立方程x＝my﹣1和，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
Δ＞0恒成立，根据韦达定理可知，
，
，
，
∴，∴．
19．（17分）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（m≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak﹣1，ak（a1＜a2＜...＜ak）．
（Ⅰ）当k＝4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
（Ⅱ）当k≥4时，若a2﹣a1，a3﹣a2，﹣ak﹣1构成等比数列，求正整数a；
（Ⅲ）记A＝a1a2+a2a3+...+ak﹣1ak，求证：A＜a2．
【解答】解：（Ⅰ）当k＝4时正整数a的4个正约数构成等比数列，
比如1，2，4，8为8的所有正约数，即a＝8．
（Ⅱ）由题意可知a1＝1，ak＝a，ak﹣1，ak﹣2，
因为k≥4，依题意可知，所以，
化简可得（a3﹣a2）2＝（a2﹣1）2a3，所以a3＝（）2，
因为a3∈N*，所以∈N*，
因此可知a3是完全平方数．
由于a2是整数a的最小非1因子，a3是a的因子，且a3＞a2，所以a3，
所以a2﹣a1，a3﹣a2，﹣ak﹣1为a2﹣1，a2，…，，
所以a，（k≥4）．
（Ⅲ）证明：由题意知a1ak＝a，a2ak﹣1＝a，…，aiak+1﹣i＝a，（1≤i≤k），
所以A...，
因为，…，，
所以（...）
≤a2（...）＝a2（），
因为a1＝1，ak＝a，所以1，
所以A≤a2（）＜a2，
即A＜a2．
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