青海西宁市湟川中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试卷(含答案)

这是一份青海西宁市湟川中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知为方程(a,)的一个根,则( )
A.,B.,C.,D.,
3．我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”可用如图的程序框图的算法思路表述.执行该程序框图,若输入的a,b分别为28,12,则输出的( )
A.3B.4C.5D.6
4．若单位向量,的夹角为,则与的夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列单调递增,,,为其前n项和,则( )
A.93B.189C.93或189D.189或
6．乒乓球是我国的国球,乒乓球运动在我国十分普及,深受国人喜爱,在民间经常开展各种乒乓球比赛.现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军,根据以往比赛记录统计的数据,可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为,若比赛为“五局三胜”制,各局比赛结果相互独立且没有平局,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了四局的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知,,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知双曲线(,)的左,右焦点分别为,,O为坐标原点,以为直径的圆与C的渐近线在第一象限交于点M,若的面积为2,则( )
A.B.C.D.
9．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春:未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动,要求每个会场至少派一名获奖者,每名获奖者只去一个会场,则不同的派出方法有( )
A.60种B.120种C.150种D.240种
10．将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象,再将图象的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若在区间上没有零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．设F为椭圆C:的左焦点,过F作倾斜角为的直线交C于A,B两点,线段AB的中垂线交x轴于点M,则的面积为( )
A.B.C.D.
12．如图,正四面体ABCD的棱长为2,点E在四面体ABCD外侧,且是以E为直角顶点的等腰直角三角形.现以AD为轴,点E绕AD旋转一周,当三棱锥的体积最小时,直线CE与平面BCD所成角的正弦值的平方为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．2023年9月7日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭,成功将遥感三十三号03星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功.为激发学生的爱国精神和对科学的探究动力,某班主任组织学生观看了发射升空场景,事后收集了全班50份学生的知识问卷(每一份试卷均有一个编号对应一位学生,编号从01到50),现采用系统抽样的方法从中抽取10份问卷了解答题情况,已知第一组中被抽到的号码为04,则第7组中被抽到的号码为________.
14．已知函数在区间上单调递减,则a的取值范围为________.
15．在等比数列中,若,,则________.
16．如图1,菱形的边长为,,将平面,平面同时绕BD向相对方向旋转,当A,C两点之间的距离等于BD时,构成四面体,如图2所示,则BD与AC所成角的大小为________,四面体外接球的表面积为________.
三、解答题
17．某新能源汽车配件厂生产一种新能源汽车精密零件,为提高产品质量引入了一套新生产线,为检验新生产线所生产出来的零件质量有无显著提高,现同时用旧生产线和新生产线各生产了10个零件,得到各个零件的质量指标的数据如下:
设旧生产线和新生产线所生产零件的质量指标的样本平均数分别为和,样本方差分别为和.
（1）求,及;
（2）若,则认为新生产线生产零件的质量有显著提高,否则不认为有显著提高,现计算得,试判断新生产线生产的零件质量较旧生产线生产的零件质量是否有显著提高.
18．如图,在中,点D在边BC上,.
（1）若,,,求AB;
（2）若是锐角三角形,,求的取值范围.
19．在三棱柱中,平面平面ABC,,,D为AC的中点.
（1）求证:平面平面;
（2）求与平面所成角的正弦值.
20．根据抛物线的光学性质可知,从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行.已知抛物线,如图,点F为C的焦点,过F的光线经拋物线反射后分别过点,.
（1）求C的方程;
（2）设点,若过点的直线与C交于R,T两点,求面积的最小值.
21．已知函数.
（1）若,当时,讨论的单调性;
（2）当时,,求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线(为参数,),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程与的直角坐标方程;
（2）若直线与或有公共点,求t的取值范围.
23．已知函数.
（1）解不等式;
（2）在直角坐标系xOy中,求不等式组所确定的平面区域的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：解不等式,得或,即,
函数有意义,则,解得,即,
所以.
故选:B
2．答案：A
解析：因为为方程的一个根,
则,
可得,解得.
故选:A.
3．答案：B
解析：输入,,
第一次运算:,,得到,;
第二次运算:,,得到,;
第三次运算:,,得到,;
第四次运算:,,得到,;
第五次运算:则,输出结果,,
故选:B.
4．答案：D
解析：由题意知单位向量,的夹角为,则,
故,
,
,
故,
故选:D
5．答案：B
解析：设等比数列公比为q,由,得,而,且,
解得,,则,解得或,
当时,数列不单调,当时,,此时数列单调递增,符合题意,
所以.
故选:B
6．答案：D
解析：由题意可设甲获得冠军为事件A,比赛进行了四局为事件B,
则,
,
故,
故选:D
7．答案：A
解析：由,得,即,
由,即,得,解得,
所以p是q的充分不必要条件.
故选:A
8．答案：A
解析：令双曲线C的半焦距为c,则,直线,依题意,,
于是,,
显然,解得,
则,当且仅当时取等号,A正确,B错误;
,当且仅当时取等号,CD错误.
故选:A
9．答案：C
解析：依题意,5名获奖者按去到三个不同会场,有种方法,
5名获奖者按去到三个不同会场,有种方法,
所以不同的派出方法有(种).
故选:C
10．答案：C
解析：由题意得,,
在区间上没有零点,则,即,,
又,故,
而,故,,
由于在区间上没有零点,故,解得,
故的取值范围是,
故选:C
11．答案：C
解析：由椭圆方程可知:,则,
可知直线,且直线AB必与椭圆C相交,设,,
联立方程,消去y得,
则,,可得线段AB的中点坐标为,
则线段AB的中垂线方程为,
令,解得,即,
又因为,
点到直线的距离,
所以的面积为.
故选:C.
12．答案：D
解析：在正四面体ABCD中,取BC中点F,连接DF,AF,则,
取AD中点M,连接FM,EM,则,
是以E为直角顶点的等腰直角三角形,正四面体ABCD的棱长为2,
则,且,
点E绕AD旋转一周,形成的图形为以M为圆心,以为半径的圆,
设该圆与MF的交点为,当三棱锥的体积最小时,即E点到底面BCD的距离最小,
即此时E点即位于处,
因为正四面体ABCD的棱长为2,则,
又AD中点为M,则,则,
设点在底面BCD上的射影为H,则,
又,中点为F,故,
故,
由于点在底面BCD上的射影为H,故即为直线与平面BCD所成角,
故,
故选:D
13．答案：34
解析：由题意可知将50份学生的知识问卷,编号从01到50,分为10组,
每组5个编号,组距为5,
故第一组中被抽到的号码为04,则第7组中被抽到的号码为,
故答案为:34
14．答案：
解析：设,则可看作由复合而成,
由于在上单调递增,
故要使得函数在区间上单调递减,
需满足在区间上恒成立,且在区间上单调递减,
故,解得,
故a的取值范围为,
故答案为:
15．答案：1024
解析：因为为等比数列,则,可得,
又因为,可得,即,
所以.
故答案为:1024.
16．答案：,
解析：取BD的中点N,连接AN,CN,由,,得,,
而,AN,平面ANC,则平面ANC,又平面ANC,
因此,所以BD与AC所成角的大小为;
取AC中点M,连接MN,显然平面ANC,则,
又,则,且,
取MN中点O,连接AO,BO,CO,DO,则,
因此四面体ABCD外接球的球心为O,半径,
所以四面体ABCD外接球的表面积.
故答案为:;
17．答案：（1）5.0,5.2,0.012
（2）有显著提高
解析：（1）由题意得,
,
;
（2）由（1）可得,
,
因为,所以,
故新生产线生产的零件质量较旧生产线生产的零件质量有显著提高.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,由余弦定理得,
即,而,解得,则,
在中,,由余弦定理得.
（2）在锐角中,,,且,则,
由正弦定理得,
显然,即有,因此,即,
所以的取值范围是.
19．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）取的中点E,连接AE,
由题意可知:为等边三角形,则,
且,可得,
因为平面平面ABC,平面平面,平面,
所以平面ABC,
由平面ABC,可得,
又因为,,AE,平面,
可得平面,且平面,
所以平面平面.
（2）由（1）可知:平面,且平面,可得,
且平面ABC,如图,以A为坐标原点,AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
可得,,,
设平面的法向量为,则,
令,则,,可得,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）;
（2）4.
解析：（1）依题意,点A的纵坐标,点B的纵坐标,焦点,
显然直线AB不垂直于y轴,设直线AB的方程为,
由消去x得:,
则,即,而,解得,
所以C的方程是.
（2）显然直线RT不垂直于y轴,设直线RT的方程为,,,
由消去x得:,,
则,,
由,,得,且轴,
因此的面积,当且仅当时取等号,
所以求面积的最小值为4.
21．答案：（1）递增区间为,,递减区间为;
（2）.
解析：（1）当,时,,求导得,
由,得或,当或时,,当时,,
所以函数的递增区间为,,递减区间为.
（2）当时,,
令,求导得,
令,求导得,当时,,而,
则,函数在上递增,有,
当,即时,,函数在上递增,,符合题意,则;
当时,,而,
于是在上存在,使得,当时,,
因此函数在上单调递减,当时,,不符合题意,
所以a的取值范围是.
22．答案：（1）,
（2）.
解析：（1）在曲线中,,则,,消去参数得,
在曲线中,,,则,
所以的普通方程为,
的直角坐标方程为.
（2）由（1）知,曲线是以为圆心,1为半径的在y轴及右侧,直线及上方的圆弧,
曲线是以原点为圆心,2为半径的在y轴及左侧,x轴及上方的圆弧,
在同一坐标系内作出曲线和曲线如图,
过点的直线记为,此时,与曲线相切的直线记为,
此时,且,解得,
观察图形知,直线l与或有公共点,当且仅当直线l在直线与之间平行移动(含,),有,
所以t的取值范围是.
23．答案：（1）;
（2）30.
解析：（1）依题意,函数,不等式化为:
或或,解得或或,则,
所以不等式的解集是.
（2）作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影,其中,,,
于是的面积,
所以不等式组所确定的平面区域的面积是30.
旧生产线
5.2
4.8
4.8
5.0
5.0
5.2
5.1
4.8
5.1
5.0
新生产线
5.0
5.2
5.3
5.1
5.4
5.2
5.2
5.3
5.2
5.1