最高考文数考点一遍过（讲义） 考点51 不等式选讲

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点51 不等式选讲，共36页。学案主要包含了不等式的求解，不等式的证明等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题51 不等式选讲
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）.
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.
8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
一、不等式的求解
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2．绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.
(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.
【技能方法】
（一）含绝对值不等式的解法
（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律
1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.
2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.
(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.
(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.
3．f(x)a.
二、不等式的证明
1．基本不等式
(1)基本不等式:如果a,b>0,那么 QUOTE ，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即 QUOTE ,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
2．柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.
(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么 QUOTE .
(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
3．证明不等式的基本方法
(1)比较法;
(2)综合法;
(3)分析法;
(4)反证法和放缩法.
考向一 绝对值不等式的求解
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）基本性质法：对.
（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.
（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.
（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.
（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.
典例1 解不等式．
【答案】.
【解析】令，，令，.
当时，，.
当时，，，故解集为；
当时，，.
综上：.
【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，此类问题常用“零点”分段讨论法将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式后再求解，属于基础题.求解时，令和令，得和，分，，三种情况分别讨论，将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式，求解转化后的不等式，再求解这三种情况的解集的并集可得解.
典例2 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
当时，，；
当时，，；
当时，，舍去.
综上得，的解集为.
（2）.
有解，
，，
或，
的取值范围是.
【名师点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.求解时，（1）对去绝对值符号，然后分别解不等式即可；（2）不等式有解，则只需，求出的最小值，然后解不等式即可.

1．已知函数，．
（1）求的解集；
（2）若有两个不同的解，求的取值范围．
考向二 含绝对值不等式的恒成立问题
含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分享参数法
运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.
典例3 若不等式lg2(|x+1|+|x-2|−m)≥2恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】(−∞,-1]
【解析】由题意可知|x+1|+|x−2|−m≥4恒成立，即m≤(|x+1|+|x−2|-4)min.
又|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1) − (x−2)| −4=−1，故m≤−1.
典例4 已知函数fx=3x+2.
（1）解不等式fx 1时，①式为，无解．
综上所述，不等式的解集为．
（2），
令，
∴时，，
要使不等式恒成立，只需，即，
∴实数a的取值范围是．
2．设函数.
（1）当时，解不等式：；
（2）若存在，使得，试求实数的取值范围.
考向三 不等式的证明
比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.

典例5 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）.
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．
综上所述：不等式的解集为．
（2），即．
，
，
所以．
故所证不等式成立．
【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式的证明，将绝对值不等式转化为分段函数是常用的技巧，需要灵活掌握.求解时，（1）得到分段函数，分别计算不等式得到答案.（2）不等式等价于，证明得到答案.
3．设正数满足，求证：，并给出等号成立的条件.
1．不等式的解集为
A．B．
C．D．
2．函数的最小值及取得最小值时的值分别是
A．1，B．3，0
C．3，D．2，
3．不等式无实数解，则的取值范围是
A．B．
C．D．
4．若a，b，c为正数，且a+b+c=1，则++的最小值为
A．9 B．8
C．3 D．
5．已知函数，若恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
6．若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值3，则实数a的值为
A．−4或8B．−1或−4
C．−1或5D．5或8
7．不等式|x+1|