青海省西宁市大通县2024届高三上学期期末数学（理）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市大通县2024届高三上学期期末数学（理）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．复数,满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,不共线,,,,则( )
A.B.C.6D.
4．曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．在等差数列中,,则的前15项和( )
A.15B.45C.75D.105
6．如图,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则( )
A.B.
C.D.平面MNQ
7．下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A.B.C.D.
8．三名学生各自在篮球,羽毛球,乒乓球三个运动项目中任选一个参加,则三个项目都有学生参加的概率为( )
A.B.C.D.
9．已知是定义在R上的奇函数,且,当时,,则( )
A.3B.0C.D.
10．已知,分别为双曲线的左,右焦点,O为坐标原点,P是C右支上一点,若,则( )
A.B.C.D.
11．已知,,,则( )
A.B.C.D.
12．中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯,纱灯,吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯,3盏不同的纱灯,2盏不同的吊灯挂成一排,要求吊灯挂两端,同一类型的灯笼至多2盏相邻挂,则不同挂法种数为( )
A.216B.228C.384D.486
二、填空题
13．设x,y满足约束条件,则的最小值为________.
14．已知,分别是椭圆:的左,右焦点,P是E上一点,若的周长为6,则________.
15．在数列中,,对任意m,,.若,,则________.
16．已知等边的边长为2,将其沿边AB旋转到如图所示的位置,此时点A,B,C,在同一球面上,且,则该球的表面积为________.
三、解答题
17．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
（1）求的值;
（2）若,求的取值范围.
18．家居消费是指居民在日常生活中购买和使用的家具,家电,建材,装修等产品和服务所形成的消费行为.长期以来,家居消费一直是居民消费的重要组成部分,对于带动居民消费增长和经济恢复具有重要意义.某家居店为了迎接周年庆举办促销活动,统计了半个月以来天数x与销售额y(万元)的一组数据:,,,,.通过分析发现x与y呈线性相关.
（1）求x与y的样本相关系数r(结果保留三位小数);
（2）求x与y的线性回归方程(,的结果用分数表示).
参考公式:相关系数,,.
参考数据:,,,.
19．如图,在棱长为6的正方体中,E,F分别为,的中点,平面与棱相交于点G.
（1）求;
（2）求直线AG与平面DEF所成角的正弦值.
20．已知函数.
（1）证明:.
（2）若关于x的不等式有解,求a的取值范围.
21．已知抛物线的焦点为F,且A,B,C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为,且点F为的重心,求p的值;
（2）设,直线AB经过点,直线BC的斜率为1,动点D在直线AC上,且,求点D的轨迹方程.
22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
（1）求C和l的直角坐标方程;
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为,求l的斜率.
23．已知函数.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：由题意得,
则,
故.
故选:D.
3．答案：A
解析：因为,所以,
,则.
解得.
故选:A.
4．答案：A
解析：因为,所以,
当时,,,即切点坐标为,切线斜率为,
所以曲线在处的切线方程为,即.
故选:.
5．答案：C
解析：设的公差为d,
则,
则,
故.
故选:C.
6．答案：C
解析：如图,记正方体的另一个顶点为C,连接BC,交MN于点O,
设BC的中点为D,连接QD,OD,
因为Q,D为AC,BC的中点,则,
又因为QD,QN,QM,QO交于同一点,
即AB与QN,QM,QO均不平行,故A,B错误;
对于选项D:若平面MNQ,
且平面ABC,平面平面,可得,
这与AB与QO不平行相矛盾,假设不成立,故D错误;
对于选项C:因为CEBF为正方形,则,
且M,N为所在棱的中点,则,可得,
又因为平面CEBF,且平面CEBF,可得,
且,BC,平面ABC,所以平面ABC,
由平面ABC,所以,故C正确;
故选:C.
7．答案：A
解析：,令,,
得,,
对A,令,则,则,故A正确;
对BCD,令,,结合A选项中,则BCD错误;
故选:A.
8．答案：D
解析：三名学生各自在篮球,羽毛球,乒乓球三个运动项目中任选一个参加,共有种方法,
其中三个项目都有学生参加的方法有种,故所求的概率为.
故选:D
9．答案：C
解析：因为,可知的图象关于直线对称,
且是定义在R上的奇函数,
则,且,
即,
可知是以8为周期的周期函数,
因为当时,,可得,
则
.
故选:C.
10．答案：B
解析：由题可知,O为的中点,且,所以.
由解得
则,.
故选:B.
11．答案：C
解析：设,则.
设,则,
当时,,单调递减.
因为,所以当时,,
则在上单调递减.
又,所以,
即,则,从而.
故选:C.
12．答案：A
解析：先挂2盏吊灯有种挂法,再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法,
最后将宫灯插空挂.
当4盏宫灯分成2,2两份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时有种挂法;
当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时有1种挂法,
所以共有种不同的挂法.
故选:A
13．答案：2
解析：由约束条件作出可行域,如图阴影部分,
结合图可知,平移直线,当平移到经过点A时,直线在y轴上的截距最小,
即z取得最小值,
联立,得,即,
将的坐标代入直线,即得的最小值为2,
故答案为:2
14．答案：2
解析：由题可知,解得.
故答案为:2.
15．答案：3
解析：令,可得,
所以,又,
所以是以2为首项,2为公比的等比数列,
则,
所以,解得.
故答案为:3.
16．答案：/
解析：由和为全等的等边三角形,设E,F分别为线段AB,的中点,连接CE,,,则,,
设为的外心,为的外心,过点作平面ABC的垂线,过点作平面的垂线,两垂线交于点O,
则O为该球的球心,连接OE,知和全等,点O在线段EF上,
在中,,则,
又,,所以,
外接圆半径为,所以,
因为和相似,所以,解得,
设该球的半径为R,连接OC,所以,
则该球的表面积为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
所以.
因为,所以,所以.
（2）由余弦定理可得,
则,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,即,解得.
因为,所以.
综上,的取值范围为.
18．答案：（1）0.984;
（2）.
解析：（1）依题意,,,
所以.
（2）因为,则,
所以y关于x的线性回归方程为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）设平面DEF与棱AB相交于点H,
连接FH,DH,EG,FG,则平面DEF截正方体的截面为五边形DEGFH.
因为平面平面,平面,所以平面,
且DE在平面DEF内,平面平面,所以,同理得,
因为E,F分别为,的中点,若是中点,由正方体性质易得,
所以,则,且,故.
由得,即,则,
所以.
（2）以A为坐标原点,AB,AD,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,.
设平面DEF的法向量为,
则,令,得,
可得,
故直线AG与平面DEF所成角的正弦值为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）.
当时,;
当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
故.
（2）由题意可得不等式有解.
因为,
所以
当时,等号成立,所以.
故a的取值范围为
21．答案：（1）8;
（2）(且).
解析：（1）抛物线的焦点,设,,,
由消去x得,则,,
由点F是的重心,得,则,
而点C在上,于是,又,所以.
（2）当时,的方程为,设,,,
直线AC的斜率,
同理得直线BC的斜率,直线AB的斜率,
直线AB的方程为,化简得.
而直线AB过点,即,显然,则,
又,即,于是,整理得,
直线AC的方程为,化简得,
将代入,得,令,得,直线AC过定点,
设线段ME的中点为G,则G的坐标为,
因为D在直线AC上,且,因此D在以G为圆心,EM为直径的圆上运动,
因为,所以D的轨迹方程为(且).
22．答案：（1）答案见解析
（2）1
解析：（1）消去参数,由上下两边平方相加可得
C的直角坐标方程为.
当时,l的直角坐标方程为.
当时,l的直角坐标方程为.
（2）将的参数方程代入C的直角坐标方程,
整理得.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点坐标为,
所以①有两解,设为,,
则,即.
故l的斜率.
23．答案：（1）
（2）.
解析：（1）因为,所以.
当时,原不等式转化为,解得;
当时,原不等式转化为,解得;
当时,原不等式转化为,解得.
综上所述,原不等式的解集为.
（2）,
由,得,
解得或,即a的取值范围为.