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2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高三（下）入学数学试卷（文科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={y|y=2x,x<1},N={x|y= 2x−x2}，则M∩N等于( )
A. ⌀B. [0,2)C. (0,2)D. [0,+∞)
2.“sinαA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.复数z满足(z+2)i=1−i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的模长是( )
A. −3B. 1C. 2D. 10
4.为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2=7.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过
( )
A. 0.1%B. 1%C. 99%D. 99.9%
5.函数y=lg|x|x的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.在等差数列{an}中，12a14−a10=4，则{an}的前11项和为( )
A. −88B. −44C. 44D. 88
7.已知在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3，点D在线段BC上，且S△ACD=3S△ABD，则AB⋅AD的值为( )
A. 72B. 52C. 32D. −12
8.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=2相切的直线有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条
9.若函数f(x)=13x3+(m−2)2x2+(5−m)x−1的两个极值点都大于2，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,−5)∪(−5,−4]B. (−∞,−4]
C. (−∞,−2]D. (−5,−4)
10.在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是( )
A. 当AE⊥PB时，△AEF−定为直角三角形
B. 当AF⊥PC时，△AEF−定为直角三角形
C. 当EF//平面ABC时，△AEF−定为直角三角形
D. 当PC⊥平面AEF时，△AEF−定为直角三角形
11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0，f(2)=52，则关于x的不等式f(lnx)>1lnx+2的解集为( )
A. (e2,+∞)B. (0,e2)C. (e,e2)D. (1,e2)
12.若抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB|的最大值为( )
A. 4 33B. 2 33C. 33D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线x28−y2m2=1(m>0)的离心率为3，则m= ______．
14.设x，y满足约束条件x≥0x−y≥0x+y≤2，则z=2x−y的最大值为______．
15.将函数f(x)= 3sin2x+2sinxcsx− 3cs2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的的4倍，再将所得图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的对称中心为______．
16.在△ABC中，BC=6，AB+AC=8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C重合，记为P，则三棱锥P−EFG的外接球表面积的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在①sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)csC+ccsA=0，③ 3asinA+B2=csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
(1)求角C的大小；
(2)若c=4，求AB的中线CD长度的最小值．
18.(本小题12分)
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数xi，yi(i=1,2,3,4,5)，数据如表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则线性相关程度很高)
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2， 0.9≈0.95．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，BC=2CD=2AD=2 2，平面ABCD⊥平面PAC．
(1)证明：PC⊥AB；
(2)若PA=PC= 52AC，M是PA的中点，求三棱锥C−PBM的体积．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(ex−a)−a2x，其中参数a≤0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知点P(2,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P作直线l交椭圆C于另一点A，求△PAO的面积的取值范围．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x=2+2csαy=2sinα(α为参数，0≤α<2π)，点P的坐标为(−2,0)
(1)若点Q在曲线M上运动，点N在线段PQ上运动，且PN=NQ，求动点N轨迹的极坐标方程；
(2)若射线l：θ=θ0(ρ≥0,0<θ0<π2)与曲线M交于点A(异于极点)，与曲线N交于点B，且|OA||OB|=2，求θ0．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|2x−1|．
(1)求不等式f(x)(2)若a+b=1，f(x)−f(x+1)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：y=2x单调递增，当x<1时，02x−x2≥0⇔x2−2x≤0，得0≤x≤2，即N=[0,2]，
所以M∩N=(0,2)．
故选：C．
分别根据指数函数的值域和函数的定义域，求解两个集合，再求交集．
本题考查指数函数的值域、函数的定义域、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当α=π6时，sinα若α是第四象限角，则sinα<0，csα>0，则sinα故sinα故选：B．
根据三角函数的定义结合充分必要条件定义可判断．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由(z+2)i=1−i，得zi+2i=1−i，
∴z=1−3ii=(1−3i)ii2=−3−i，
∴z−=−3+i，则|z−|= (−3)2+1= 10．
故选：D．
利用复数乘除运算化简，求出z和z−，再根据复数模的公式求出z−的模．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由K2=7.069>6.635，对照表格，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
故选：B．
由K2=7.069>6.635，对照表格，认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%.故可得到答案．
本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：令f(x)=lg|x|x，则f(−x)=lg|−x|−x=lg|x|−x=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B；
当x>0时，f(x)=lgxx，f′(x)=1ln10−lgxx2，
∴存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)=0，
∴f(x)在(0,+∞)上先增后减，排除A，D；
故选：C．
判断函数的奇偶性与单调性，从而得出函数图象．
本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设{an}的公差为d，则12a14−a10=12(a1+13d)−(a1+9d)=−12a1−52d=4，
即a1+5d=−8，所以a6=−8，
所以S11=11(a1+a11)2=11a6=−88．
故选：A．
由等差数列通项公式的基本量法求得a6，然后由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3，点D在线段BC上，且S△ACD=3S△ABD，
则|DC|=3|BD|，|BC|=2 3，
即CD=34CB，
则AB⋅AD=AB⋅(AC+CD)
=AB⋅(AC+34CB)
=AB⋅AC+34AB⋅CB
=2×2×(−12)+34×2×2 3× 32
=52，
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：与点A(1,1)的距离为1的直线始终与(x−1)2+(y−1)2=1相切，
而该直线也与圆(x−1)2+(y−4)2=2相切，
故这样的直线是圆(x−1)2+(y−1)2=1与圆(x−1)2+(y−4)2=2的公切线，
所以圆心距离为3，半径和为 2+1，显然 2+1<3，故两圆相离，
可得这样的直线共4条，故A正确．
故选：A．
分析题意转化为公切线问题，利用圆与圆的位置关系求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：(1)f(x)=13x3+(m−2)2x2+(5−m)x−1，
则f′(x)=x2+(m−2)x+(5−m)，
对于方程f′(x)=0，Δ=(m−2)2−4(5−m)>0⇒m∈(−∞,−4)∪(4,+∞)
设方程两根为x1，x2，由韦达定理，可得x1+x2=2−m，x1x2=5−m．
因为f(x)的两个极值点都大于2，所以方程f′(x)=0的两根都大于2，
所以x1+x2>4(x1−2)(x2−2)=x1x2−2(x1+x2)+4>0
⇒2−m>45−m−2(2−m)+4>0⇒−5结合m∈(−∞,−4)∪(4,+∞)，可得m∈(−5,−4)．
故选：D．
对f(x)求导，根据条件，得到方程f′(x)=0的两根都大于2，由根的分布知识可得答案．
本题考查了函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
10.【答案】B
【解析】解：A.当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF−定为直角三角形，正确．
B.当AF⊥PC时，无法得出△AEF−定为直角三角形，因此不正确；
C.当EF//平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF//BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF−定为直角三角形，正确；
D.当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF−定为直角三角形，正确．
故选：B．
A.当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．
B.当AF⊥PC时，无法得出△AEF−定为直角三角形，即可判断出正误；
C.当EF//平面ABC时，可得EF//BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；
D.当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．
本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的定义，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性问题，构造函数g(x)是解题的关键，属于中档题．
根据题意，令g(x)=f(x)−1x(x>0)，对其求导分析可得g(x)在(0,+∞)上为增函数，原不等式可以转化为g(x)>g(2)，结合函数g(x)的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，令g(x)=f(x)−1x(x>0)，
其导数g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2，
因为函数f(x)在(0,+∞)上满足x2f′(x)+1>0，
则有g′(x)>0，
即g(x)在(0,+∞)上为增函数，
又由f(2)=52，则g(2)=f(2)−12=2，
f(lnx)>1lnx+2⇔f(lnx)−1lnx>2⇔g(lnx)>g(2)，
又由g(x)在(0,+∞)上为增函数，
则有lnx>2，解得x>e2，
即不等式的解集为(e2,+∞)．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：如图，
设AF=a(a>0)，BF=b(b>0)，由抛物线定义，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3=a2+b2+ab=(a+b)2−ab，
∵a>0，b>0，由基本不等式得：a+b≥2 ab，∴ab≤(a+b)24，
∴(a+b)2−ab≥34(a+b)2．
即|AB|2≥34(a+b)2，∴|AB|≥ 32(a+b)．
∴|MM′||AB|≤a+b2 32(a+b)= 33．
∴|MM′||AB|的最大值为 33．
故选：C．
设AF=a，BF=b，由抛物线定义得2|MM′|=a+b.再由余弦定理得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3，结合不等式a+b≥2 ab求得|AB|的范围，把|MM′|和|AB|作比可得答案．
本题主要考查对抛物线定义的应用和余弦定理的应用．训练了基本不等式的用法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】8
【解析】解：由双曲线方程可知，a2=8，b2=m2，则c2=8+m2，
由e=ca=3知，c2a2=8+m28=9，得m2=64，且m>0，
所以m=8．
故答案为：8．
根据双曲线方程求a2，b2，c2，再根据离心率公式求m．
本题考查了双曲线的方程及性质，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：作出可行域如下：
由z=2x−y可得y=2x−z，由图可知当直线y=2x−z过点(2,0)时，
−z最小，则z最大，此时z=2x−y=2×2−0=4．
故答案为：4．
由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】(2kπ+π3,0)(k∈Z)
【解析】解：由二倍角公式以及辅助角公式有f(x)=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
由题意变换可知y=2sin(2x−π3)⇒y=2sin[12(x+π3)−π3]=2sin(12x−π6)，
所以g(x)=2sin(12x−π6)，令12x−π6=kπ,k∈Z得x=2kπ+π3,k∈Z，
故g(x)的对称中心为(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
故答案为：(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
由三角恒等变换化简f(x)的解析式，然后由伸缩、平移变换法则即可得到函数g(x)的解析式，进而求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】17π2
【解析】解：设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，
三棱锥P−EFG中，FG=PE=3，EF=PG=m，EG=PF=n，
将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有x2+y2=32y2+z2=m2,z2+x2=n2三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，
所以(2R)2=x2+y2+z2=12(9+m2+n2)，由基本不等式m2+n2≥(m+n)22=8，
当且仅当m=n=2时等号成立，所以外接球表面积最小值为S=4πR2≥12(9+8)π=17π2．
故答案为：17π2．
设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，利用三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球表面积的最值计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)选择条件①，
由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为0选择条件②，
由(a+2b)csC+ccsA=0及正弦定理，可得(sinA+2sinB)csC+sinCcsA=0，
即sinAcsC+csAsinC=−2sinBcsC．
即sin(A+C)=−2sinBcsC．
在△ABC中，A+B+C=π，
所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，即sinB=−2csCsinB，
因为0因为0选择条件③，
由 3asinA+B2=csinA及正弦定理，可得 3sinAsinA+B2=sinCsinA，
因为sinA≠0，所以 3sinA+B2=sinC．
在△ABC中，A+B+C=π，可得sinA+B2=csC2，
故 3csC2=2sinC2csC2．
因为0(2)因为∠ADC+∠BDC=π，所以4+CD2−b22×2×CD+4+CD2−a22×2×CD=0，整理可得2CD2=a2+b2−8，在△ABC中，由余弦定理可得42=a2+b2−2abcs2π3=a2+b2+ab，
因为ab≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，
所以16=a2+b2+ab≤a2+b2+12(a2+b2)=32(a2+b2)，即a2+b2≥323，
所以2CD2=a2+b2−8≥323−8=83，即CD≥2 33，即CD长度的最小值为2 33．
【解析】(1)选择条件①，利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=−ab，由余弦定理得csC=−12，结合范围0选择条件②，由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得csC=−12，结合范围0选择条件③，利用正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得sinC2= 32，进而可求C的值．
(2)由题意可得∠ADC+∠BDC=π，利用余弦定理可得4+CD2−b22×2×CD+4+CD2−a22×2×CD=0，整理可得2CD2=a2+b2−8，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换在解三角形中的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)x−=2+4+5+6+85=5，y−=3+4+4+4+55=4，
所以i=15(xi−x−)(yi−y−)=−3×(−1)+(−1)×0+0×0+0+3×1=6，
由于i=15(xi−x−)2=9+1+0+1+9=20，i=15(yi−y−)2=1+0+0+0+1= 2
相关系数r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=62 5× 2= 910≈0.95，
因为r>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．
(2)将地点1，2，3，4，(5分)别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共10种情况，
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即(C,D)，(C,E)，(D,E)3种情况，
故所求概率为310．
【解析】(1)利用相关系数的公式计算求解，判断即可；
(2)由列举法并利用古典概型求概率．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取BC中点N，连接AN，则CN=AD=CD= 2，
又AD//CN，BC⊥CD，所以四边形ANCD为正方形，
则∠ANB=∠ANC=90°，∠NAC=45°，
又在△ANB中，AN=BN= 2，
则∠BAN=45°，所以∠BAC=90°，即AB⊥AC，
又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAC，又PC⊂面PAC，所以PC⊥AB．
(2)连接DN，交AC于O，连OP，由于AD//BN，AD=BN，
所以四边形ABND是平行四边形，所以ON//AB．
因为AB⊥平面PAC，所以ON⊥平面PAC，
OP，OC⊂平面PAC，所以ON⊥OP，ON⊥OC，
因为PA=PC，所以OP⊥AC，
所以ON，OC，OP两两垂直，
因为BC=2CD=2AD=2 2，PA=PC= 52AC，
所以AC=2，ON=OC=1，PC= 5，所以OP=2，
所以VC−PBM=12VC−PAB=12VP−ABC=12×13×12×2 2× 2×2=23．
【解析】(1)通过证明AB⊥平面PAC来证得PC⊥AB；
(2)转化三棱锥的顶点与底面，再根据三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=ex(ex−a)−a2x=e2x−exa−a2x，
∴f′(x)=2e2x−aex−a2=(2ex+a)(ex−a)，
①当a=0时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在R上单调递增，
②当a>0时，2ex+a>0，令f′(x)=0，解得x=lna，
当x当x>lna时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
③当a<0时，ex−a>0，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2)，
当x当x>ln(−a2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增，
(2)①当a=0时，f(x)=e2x>0恒成立，
②当a>0时，由(1)可得f(x)min=f(lna)=−a2lna≥0，
∴lna≤0，∴0③当a<0时，由(1)可得：
f(x)min=f(ln(−a2))=3a24−a2ln(−a2)≥0，
∴ln(−a2)≤34，
∴−2e34≤a<0，
综上所述a的取值范围为[−2e34,1]．
【解析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
(2)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
21.【答案】解：(1)由题意可得4a2+1b2=11−b2a2=34，解得：a2=8，b2=2，
所以椭圆C的方程为：x28+y22=1；
(2)当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为x=2，
则点A的坐标为A(2,−1)，
则S△AOP=12×2×2=2；
当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，
则直线PA的方程为y−1=k(x−2),(k≠12)，(k=12时，P，O，A三点共线)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x−2)+1x2+4y2=8，整理可得：(4k2+1)x2−(16k2−8k)x+16k2−16k−4=0，
由已知得Δ=(16k2−8k)2−4(4k2+1)(16k2−16k−4)=16(2k+1)2>0，
即k≠−12，
结合题意得2x1=16k2−16k−44k2+1，
所以x1=8k2−8k−24k2+1=2−8k+44k2+1，
则y1=k(x1−2)+1=−(8k+4)k4k2+1+1，
|PA|= (x1−2)2+(y1−1)2= (8k+44k2+1)2+[k(8k+4)4k2+1]2
=|8k+4| 1+k24k2+1，
而原点O到直线l的距离为d=|−2k+1| 1+k2=|2k−1| 1+k2，
所以S△PAO=12d⋅|PA|=12×|2k−1| 1+k2×|8k+4| 1+k24k2+1=2|4k2−1|1+4k2=2|1−21+4k2|，
因为k≠±12，所以1+4k2∈(1,2)∪(2,+∞),0<21+4k2<2且21+4k2≠1，−1<1−21+4k2<1且1−21+4k2≠0，
所以0<|1−21+4k2|<1，从而0综上可知，△PAO的面积的取值范围为(0,2]．
【解析】(1)根据椭圆过的点以及离心率，列方程，求出a2，b2，即得答案；
(2)讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线方程，联立椭圆方程，可求得A点坐标的表达式，从而求得|PA|的表达式，再求出原点到直线l的距离，即可求得△PAO的面积的表达式，结合k的取值范围，即可求得答案．
本题考查了椭圆方程的求解以及椭圆中三角形面积的取值范围问题，解答时容易出错的地方在于复杂的计算，计算量较大，并且基本都是字母参数的运算，因此要十分细心，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知曲线M的参数方程为x=2+2csαy=2sinα(α为参数，0≤α<2π)，
则曲线M的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4；
设N(x,y)，Q(x′,y′)，则PN=(x+2,y),NQ=(x′−x,y′−y)
由PN=NQ可得：x+2=x′−xy=y′−y，
所以x′=2x+2y′=2y，代入曲线M的方程得x2+y2=1，
所以动点N的轨迹方程为x2+y2=1，
结合极坐标和直角坐标的转化公式x=ρcsθ，y=ρsinθ，
x2+y2=1即化为极坐标方程为：ρ=1；
(2)将x=ρcsθ，y=ρsinθ代入(x−2)2+y2=4，
得曲线M的极坐标方程为ρ=4csθ，
联立ρ=4csθθ=θ0,θ0∈(0,π2)，可得ρA=4csθ0，而ρB=1，
所以|OA||OB|=4csθ0=2，所以csθ0=12，
又因为θ0∈(0,π2)，所以θ0=π3．
【解析】(1)消去参数得曲线M的直角坐标方程，设N(x,y)，Q(x′,y′)，由PN=NQ得x′=2x+2y′=2y，代入曲线M的方程即可求得动点N的轨迹方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得答案；
(2)求出曲线M的极坐标方程，联立射线l：θ=θ0(ρ≥0,0<θ0<π2)的方程，结合|OA||OB|=2，可列方程，即可求得答案．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，参数方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由已知可得，|2x−1|0，
即x2−2x<0x>−1，解得0故解集为{x|0(2)因为a+b=1，且a，b为正实数，
(b2a+a2b)(a+b)=a2+b2+b3a+a3b
≥a2+b2+2 b3a⋅a3b=a2+b2+2ab=(a+b)2=1，
当且仅当b3a=a3b，即a=b=12时等号成立．
因为f(x)−f(x+1)所以f(x)−f(x+1)<(b2a+a2b)min，即f(x)−f(x+1)<1，即|2x−1|−|2x+1|<1．
当x≥12时，不等式化为2x−1−(2x+1)=−2<1恒成立；
当−12解得x>−14，又−12当x≤−12时，不等式化为1−2x+2x+1=2<1，显然不等式无解．
综上，不等式解集为{x|x>−14}．
【解析】(1)由已知可得(2x−1)2<(x+1)2x+1>0，求解不等式组，即可得到解集；
(2)利用基本不等式求出b2a+a2b的最小值，可得出|2x−1|−|2x+1|<1，分类讨论求解不等式的解集．
本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
1.已知集合M={y|y=2x,x<1},N={x|y= 2x−x2}，则M∩N等于( )
A. ⌀B. [0,2)C. (0,2)D. [0,+∞)
2.“sinα
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.复数z满足(z+2)i=1−i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的模长是( )
A. −3B. 1C. 2D. 10
4.为考察高中生的性别与喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2=7.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过
( )
A. 0.1%B. 1%C. 99%D. 99.9%
5.函数y=lg|x|x的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.在等差数列{an}中，12a14−a10=4，则{an}的前11项和为( )
A. −88B. −44C. 44D. 88
7.已知在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3，点D在线段BC上，且S△ACD=3S△ABD，则AB⋅AD的值为( )
A. 72B. 52C. 32D. −12
8.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=2相切的直线有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条
9.若函数f(x)=13x3+(m−2)2x2+(5−m)x−1的两个极值点都大于2，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,−5)∪(−5,−4]B. (−∞,−4]
C. (−∞,−2]D. (−5,−4)
10.在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是( )
A. 当AE⊥PB时，△AEF−定为直角三角形
B. 当AF⊥PC时，△AEF−定为直角三角形
C. 当EF//平面ABC时，△AEF−定为直角三角形
D. 当PC⊥平面AEF时，△AEF−定为直角三角形
11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0，f(2)=52，则关于x的不等式f(lnx)>1lnx+2的解集为( )
A. (e2,+∞)B. (0,e2)C. (e,e2)D. (1,e2)
12.若抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB=2π3，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则|MM′||AB|的最大值为( )
A. 4 33B. 2 33C. 33D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知双曲线x28−y2m2=1(m>0)的离心率为3，则m= ______．
14.设x，y满足约束条件x≥0x−y≥0x+y≤2，则z=2x−y的最大值为______．
15.将函数f(x)= 3sin2x+2sinxcsx− 3cs2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的的4倍，再将所得图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的对称中心为______．
16.在△ABC中，BC=6，AB+AC=8，E，F，G分别为三边BC，CA，AB的中点，将△AFG，△BEG，△CEF分别沿FG，EG，EF向上折起，使得A，B，C重合，记为P，则三棱锥P−EFG的外接球表面积的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在①sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)csC+ccsA=0，③ 3asinA+B2=csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
(1)求角C的大小；
(2)若c=4，求AB的中线CD长度的最小值．
18.(本小题12分)
某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数xi，yi(i=1,2,3,4,5)，数据如表所示：
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则线性相关程度很高)
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2， 0.9≈0.95．
19.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，BC=2CD=2AD=2 2，平面ABCD⊥平面PAC．
(1)证明：PC⊥AB；
(2)若PA=PC= 52AC，M是PA的中点，求三棱锥C−PBM的体积．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(ex−a)−a2x，其中参数a≤0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知点P(2,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P作直线l交椭圆C于另一点A，求△PAO的面积的取值范围．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x=2+2csαy=2sinα(α为参数，0≤α<2π)，点P的坐标为(−2,0)
(1)若点Q在曲线M上运动，点N在线段PQ上运动，且PN=NQ，求动点N轨迹的极坐标方程；
(2)若射线l：θ=θ0(ρ≥0,0<θ0<π2)与曲线M交于点A(异于极点)，与曲线N交于点B，且|OA||OB|=2，求θ0．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|2x−1|．
(1)求不等式f(x)
1.【答案】C
【解析】解：y=2x单调递增，当x<1时，0
所以M∩N=(0,2)．
故选：C．
分别根据指数函数的值域和函数的定义域，求解两个集合，再求交集．
本题考查指数函数的值域、函数的定义域、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：当α=π6时，sinα
根据三角函数的定义结合充分必要条件定义可判断．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由(z+2)i=1−i，得zi+2i=1−i，
∴z=1−3ii=(1−3i)ii2=−3−i，
∴z−=−3+i，则|z−|= (−3)2+1= 10．
故选：D．
利用复数乘除运算化简，求出z和z−，再根据复数模的公式求出z−的模．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由K2=7.069>6.635，对照表格，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
故选：B．
由K2=7.069>6.635，对照表格，认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%.故可得到答案．
本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：令f(x)=lg|x|x，则f(−x)=lg|−x|−x=lg|x|−x=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B；
当x>0时，f(x)=lgxx，f′(x)=1ln10−lgxx2，
∴存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)=0，
∴f(x)在(0,+∞)上先增后减，排除A，D；
故选：C．
判断函数的奇偶性与单调性，从而得出函数图象．
本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设{an}的公差为d，则12a14−a10=12(a1+13d)−(a1+9d)=−12a1−52d=4，
即a1+5d=−8，所以a6=−8，
所以S11=11(a1+a11)2=11a6=−88．
故选：A．
由等差数列通项公式的基本量法求得a6，然后由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：已知在等腰△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=2π3，点D在线段BC上，且S△ACD=3S△ABD，
则|DC|=3|BD|，|BC|=2 3，
即CD=34CB，
则AB⋅AD=AB⋅(AC+CD)
=AB⋅(AC+34CB)
=AB⋅AC+34AB⋅CB
=2×2×(−12)+34×2×2 3× 32
=52，
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：与点A(1,1)的距离为1的直线始终与(x−1)2+(y−1)2=1相切，
而该直线也与圆(x−1)2+(y−4)2=2相切，
故这样的直线是圆(x−1)2+(y−1)2=1与圆(x−1)2+(y−4)2=2的公切线，
所以圆心距离为3，半径和为 2+1，显然 2+1<3，故两圆相离，
可得这样的直线共4条，故A正确．
故选：A．
分析题意转化为公切线问题，利用圆与圆的位置关系求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：(1)f(x)=13x3+(m−2)2x2+(5−m)x−1，
则f′(x)=x2+(m−2)x+(5−m)，
对于方程f′(x)=0，Δ=(m−2)2−4(5−m)>0⇒m∈(−∞,−4)∪(4,+∞)
设方程两根为x1，x2，由韦达定理，可得x1+x2=2−m，x1x2=5−m．
因为f(x)的两个极值点都大于2，所以方程f′(x)=0的两根都大于2，
所以x1+x2>4(x1−2)(x2−2)=x1x2−2(x1+x2)+4>0
⇒2−m>45−m−2(2−m)+4>0⇒−5
故选：D．
对f(x)求导，根据条件，得到方程f′(x)=0的两根都大于2，由根的分布知识可得答案．
本题考查了函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
10.【答案】B
【解析】解：A.当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF−定为直角三角形，正确．
B.当AF⊥PC时，无法得出△AEF−定为直角三角形，因此不正确；
C.当EF//平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF//BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF−定为直角三角形，正确；
D.当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF−定为直角三角形，正确．
故选：B．
A.当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．
B.当AF⊥PC时，无法得出△AEF−定为直角三角形，即可判断出正误；
C.当EF//平面ABC时，可得EF//BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；
D.当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．
本题考查了线面垂直的判定与性质定理、直角三角形的定义，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性问题，构造函数g(x)是解题的关键，属于中档题．
根据题意，令g(x)=f(x)−1x(x>0)，对其求导分析可得g(x)在(0,+∞)上为增函数，原不等式可以转化为g(x)>g(2)，结合函数g(x)的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，令g(x)=f(x)−1x(x>0)，
其导数g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2，
因为函数f(x)在(0,+∞)上满足x2f′(x)+1>0，
则有g′(x)>0，
即g(x)在(0,+∞)上为增函数，
又由f(2)=52，则g(2)=f(2)−12=2，
f(lnx)>1lnx+2⇔f(lnx)−1lnx>2⇔g(lnx)>g(2)，
又由g(x)在(0,+∞)上为增函数，
则有lnx>2，解得x>e2，
即不等式的解集为(e2,+∞)．
故选A．
12.【答案】C
【解析】解：如图，
设AF=a(a>0)，BF=b(b>0)，由抛物线定义，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3=a2+b2+ab=(a+b)2−ab，
∵a>0，b>0，由基本不等式得：a+b≥2 ab，∴ab≤(a+b)24，
∴(a+b)2−ab≥34(a+b)2．
即|AB|2≥34(a+b)2，∴|AB|≥ 32(a+b)．
∴|MM′||AB|≤a+b2 32(a+b)= 33．
∴|MM′||AB|的最大值为 33．
故选：C．
设AF=a，BF=b，由抛物线定义得2|MM′|=a+b.再由余弦定理得|AB|2=a2+b2−2abcs2π3，结合不等式a+b≥2 ab求得|AB|的范围，把|MM′|和|AB|作比可得答案．
本题主要考查对抛物线定义的应用和余弦定理的应用．训练了基本不等式的用法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】8
【解析】解：由双曲线方程可知，a2=8，b2=m2，则c2=8+m2，
由e=ca=3知，c2a2=8+m28=9，得m2=64，且m>0，
所以m=8．
故答案为：8．
根据双曲线方程求a2，b2，c2，再根据离心率公式求m．
本题考查了双曲线的方程及性质，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：作出可行域如下：
由z=2x−y可得y=2x−z，由图可知当直线y=2x−z过点(2,0)时，
−z最小，则z最大，此时z=2x−y=2×2−0=4．
故答案为：4．
由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】(2kπ+π3,0)(k∈Z)
【解析】解：由二倍角公式以及辅助角公式有f(x)=sin2x− 3cs2x=2sin(2x−π3)，
由题意变换可知y=2sin(2x−π3)⇒y=2sin[12(x+π3)−π3]=2sin(12x−π6)，
所以g(x)=2sin(12x−π6)，令12x−π6=kπ,k∈Z得x=2kπ+π3,k∈Z，
故g(x)的对称中心为(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
故答案为：(2kπ+π3,0)(k∈Z)．
由三角恒等变换化简f(x)的解析式，然后由伸缩、平移变换法则即可得到函数g(x)的解析式，进而求解．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】17π2
【解析】解：设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，
三棱锥P−EFG中，FG=PE=3，EF=PG=m，EG=PF=n，
将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，如图，
则有x2+y2=32y2+z2=m2,z2+x2=n2三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，
所以(2R)2=x2+y2+z2=12(9+m2+n2)，由基本不等式m2+n2≥(m+n)22=8，
当且仅当m=n=2时等号成立，所以外接球表面积最小值为S=4πR2≥12(9+8)π=17π2．
故答案为：17π2．
设AB=2m，AC=2n，由题设m+n=4，将P−EFG放在棱长为x，y，z的长方体中，利用三棱锥P−EFG的外接球就是长方体的外接球，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球表面积的最值计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)选择条件①，
由sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab及正弦定理，可得ab+ba+1=c2ab，则a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为0
由(a+2b)csC+ccsA=0及正弦定理，可得(sinA+2sinB)csC+sinCcsA=0，
即sinAcsC+csAsinC=−2sinBcsC．
即sin(A+C)=−2sinBcsC．
在△ABC中，A+B+C=π，
所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，即sinB=−2csCsinB，
因为0
由 3asinA+B2=csinA及正弦定理，可得 3sinAsinA+B2=sinCsinA，
因为sinA≠0，所以 3sinA+B2=sinC．
在△ABC中，A+B+C=π，可得sinA+B2=csC2，
故 3csC2=2sinC2csC2．
因为0
因为ab≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号，
所以16=a2+b2+ab≤a2+b2+12(a2+b2)=32(a2+b2)，即a2+b2≥323，
所以2CD2=a2+b2−8≥323−8=83，即CD≥2 33，即CD长度的最小值为2 33．
【解析】(1)选择条件①，利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=−ab，由余弦定理得csC=−12，结合范围0
(2)由题意可得∠ADC+∠BDC=π，利用余弦定理可得4+CD2−b22×2×CD+4+CD2−a22×2×CD=0，整理可得2CD2=a2+b2−8，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换在解三角形中的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)x−=2+4+5+6+85=5，y−=3+4+4+4+55=4，
所以i=15(xi−x−)(yi−y−)=−3×(−1)+(−1)×0+0×0+0+3×1=6，
由于i=15(xi−x−)2=9+1+0+1+9=20，i=15(yi−y−)2=1+0+0+0+1= 2
相关系数r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2 i=15(yi−y−)2=62 5× 2= 910≈0.95，
因为r>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．
(2)将地点1，2，3，4，(5分)别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，共10种情况，
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即(C,D)，(C,E)，(D,E)3种情况，
故所求概率为310．
【解析】(1)利用相关系数的公式计算求解，判断即可；
(2)由列举法并利用古典概型求概率．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取BC中点N，连接AN，则CN=AD=CD= 2，
又AD//CN，BC⊥CD，所以四边形ANCD为正方形，
则∠ANB=∠ANC=90°，∠NAC=45°，
又在△ANB中，AN=BN= 2，
则∠BAN=45°，所以∠BAC=90°，即AB⊥AC，
又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAC，又PC⊂面PAC，所以PC⊥AB．
(2)连接DN，交AC于O，连OP，由于AD//BN，AD=BN，
所以四边形ABND是平行四边形，所以ON//AB．
因为AB⊥平面PAC，所以ON⊥平面PAC，
OP，OC⊂平面PAC，所以ON⊥OP，ON⊥OC，
因为PA=PC，所以OP⊥AC，
所以ON，OC，OP两两垂直，
因为BC=2CD=2AD=2 2，PA=PC= 52AC，
所以AC=2，ON=OC=1，PC= 5，所以OP=2，
所以VC−PBM=12VC−PAB=12VP−ABC=12×13×12×2 2× 2×2=23．
【解析】(1)通过证明AB⊥平面PAC来证得PC⊥AB；
(2)转化三棱锥的顶点与底面，再根据三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=ex(ex−a)−a2x=e2x−exa−a2x，
∴f′(x)=2e2x−aex−a2=(2ex+a)(ex−a)，
①当a=0时，f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在R上单调递增，
②当a>0时，2ex+a>0，令f′(x)=0，解得x=lna，
当x
③当a<0时，ex−a>0，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2)，
当x
综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增，
(2)①当a=0时，f(x)=e2x>0恒成立，
②当a>0时，由(1)可得f(x)min=f(lna)=−a2lna≥0，
∴lna≤0，∴0
f(x)min=f(ln(−a2))=3a24−a2ln(−a2)≥0，
∴ln(−a2)≤34，
∴−2e34≤a<0，
综上所述a的取值范围为[−2e34,1]．
【解析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
(2)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
21.【答案】解：(1)由题意可得4a2+1b2=11−b2a2=34，解得：a2=8，b2=2，
所以椭圆C的方程为：x28+y22=1；
(2)当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为x=2，
则点A的坐标为A(2,−1)，
则S△AOP=12×2×2=2；
当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，
则直线PA的方程为y−1=k(x−2),(k≠12)，(k=12时，P，O，A三点共线)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x−2)+1x2+4y2=8，整理可得：(4k2+1)x2−(16k2−8k)x+16k2−16k−4=0，
由已知得Δ=(16k2−8k)2−4(4k2+1)(16k2−16k−4)=16(2k+1)2>0，
即k≠−12，
结合题意得2x1=16k2−16k−44k2+1，
所以x1=8k2−8k−24k2+1=2−8k+44k2+1，
则y1=k(x1−2)+1=−(8k+4)k4k2+1+1，
|PA|= (x1−2)2+(y1−1)2= (8k+44k2+1)2+[k(8k+4)4k2+1]2
=|8k+4| 1+k24k2+1，
而原点O到直线l的距离为d=|−2k+1| 1+k2=|2k−1| 1+k2，
所以S△PAO=12d⋅|PA|=12×|2k−1| 1+k2×|8k+4| 1+k24k2+1=2|4k2−1|1+4k2=2|1−21+4k2|，
因为k≠±12，所以1+4k2∈(1,2)∪(2,+∞),0<21+4k2<2且21+4k2≠1，−1<1−21+4k2<1且1−21+4k2≠0，
所以0<|1−21+4k2|<1，从而0
【解析】(1)根据椭圆过的点以及离心率，列方程，求出a2，b2，即得答案；
(2)讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线方程，联立椭圆方程，可求得A点坐标的表达式，从而求得|PA|的表达式，再求出原点到直线l的距离，即可求得△PAO的面积的表达式，结合k的取值范围，即可求得答案．
本题考查了椭圆方程的求解以及椭圆中三角形面积的取值范围问题，解答时容易出错的地方在于复杂的计算，计算量较大，并且基本都是字母参数的运算，因此要十分细心，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知曲线M的参数方程为x=2+2csαy=2sinα(α为参数，0≤α<2π)，
则曲线M的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4；
设N(x,y)，Q(x′,y′)，则PN=(x+2,y),NQ=(x′−x,y′−y)
由PN=NQ可得：x+2=x′−xy=y′−y，
所以x′=2x+2y′=2y，代入曲线M的方程得x2+y2=1，
所以动点N的轨迹方程为x2+y2=1，
结合极坐标和直角坐标的转化公式x=ρcsθ，y=ρsinθ，
x2+y2=1即化为极坐标方程为：ρ=1；
(2)将x=ρcsθ，y=ρsinθ代入(x−2)2+y2=4，
得曲线M的极坐标方程为ρ=4csθ，
联立ρ=4csθθ=θ0,θ0∈(0,π2)，可得ρA=4csθ0，而ρB=1，
所以|OA||OB|=4csθ0=2，所以csθ0=12，
又因为θ0∈(0,π2)，所以θ0=π3．
【解析】(1)消去参数得曲线M的直角坐标方程，设N(x,y)，Q(x′,y′)，由PN=NQ得x′=2x+2y′=2y，代入曲线M的方程即可求得动点N的轨迹方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得答案；
(2)求出曲线M的极坐标方程，联立射线l：θ=θ0(ρ≥0,0<θ0<π2)的方程，结合|OA||OB|=2，可列方程，即可求得答案．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，参数方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)由已知可得，|2x−1|
即x2−2x<0x>−1，解得0
(b2a+a2b)(a+b)=a2+b2+b3a+a3b
≥a2+b2+2 b3a⋅a3b=a2+b2+2ab=(a+b)2=1，
当且仅当b3a=a3b，即a=b=12时等号成立．
因为f(x)−f(x+1)
当x≥12时，不等式化为2x−1−(2x+1)=−2<1恒成立；
当−12
综上，不等式解集为{x|x>−14}．
【解析】(1)由已知可得(2x−1)2<(x+1)2x+1>0，求解不等式组，即可得到解集；
(2)利用基本不等式求出b2a+a2b的最小值，可得出|2x−1|−|2x+1|<1，分类讨论求解不等式的解集．
本题主要考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数x
2
4
5
6
8
乙型无人运输机指标数y
3
4
4
4
5
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