山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题及答案

这是一份山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．方差
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．，的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，其中是奇函数且在上为增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）

A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递增区间为
10．如图，在棱长为2的正方体中，为侧面上一点，为的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．若点为的中点，则过P、Q、三点的截面为四边形
B．若点为的中点，则与平面所成角的正弦值为
C．不存在点，使
D．与平面所成角的正切值最小为
11．如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A．B．以为直径的圆与直线相切
C．D．
三、填空题
12．如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．

13．已知斜率为的直线过双曲线的右焦点且交双曲线右支于A、B两点，在第一象限，若，则的离心率为 ．
14．关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
16．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．
(1)求盒中2号球的个数；
(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
17．如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
18．如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，的斜率分别为，，求的值；
(3)求△面积的最大值．
19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求的取值范围．
球号
1号球
3号球
答对概率
0.8
0.5
奖金
100
500
参考答案：
1．C
【分析】由数据特征可直接判断.
【详解】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；
平均数为，可能变，故B错；
中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；
方差为，有可能变，故D错.
故选：C
2．A
【分析】由，结合复数的化简式和除法公式可直接求解.
【详解】由得，
故复数的虚部为.
故选：A
3．D
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】依题意，.
故选：D.
4．A
【分析】结合二项式定理展开式通式的对应关系求出，再由充分、必要条件判断即可.
【详解】的展开式中含项为，
故，解得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】由得到，结合得到方程组，求出，进而得到余弦和正切值.
【详解】由得，
又，
故，即，
解得，故，
故.
故选：B
6．C
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，继而判断的取值范围和大小关系，结合函数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案.
【详解】由于是奇函数且在上为增函数，故，
当时，，且为偶函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又，
故，
故选：C
7．B
【分析】先根据两圆相交求出的范围，然后两圆方程相减求得直线的方程，进而可求得点的坐标，从而可得出答案.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为两圆相交，则，
即，解得，
两圆的方程相减得，
即直线的方程为，
当时，直线的方程为，
此时轴，与轴没有交点，不符题意，
当时，令，得，
即，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解.
【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，，故A错误；
为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，
，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可.
9．ACD
【分析】先利用图象求出的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简，对于A：直接求周期；对于B：令求对称轴；对于C：求出的范围，再利用余弦余弦求范围；对于D：令可求单调递增区间.
【详解】对于函数，
由图可知，
则，
所以，
又，
所以，
解得，又，
所以；
则，
所以
，
对于A：的最小正周期为，A 正确；
对于B：对于，令，得的对称轴方程为，B错误；
对于C：当时，，所以，
即在上的值域为，C正确；
对于D：令，解得，
即的单调递增区间为，D正确；
故选：ACD.
10．AB
【分析】全程采用建系法可验证ABCD选项的正确性，由向量平行可验证A；由线面角的正弦公式验证B，由向量垂直的坐标运算验证C，由线面角的正弦公式可求最小值，进而求出正切值.
【详解】
如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
对于A项，连接P、、Q、四点，当为的中点时，，，，，
，，，所以为平行四边形，A正确；

对B，当点为的中点，，，
，设平面的法向量为，则，
即，令，则，，
则与平面所成角的正弦值为，
故B正确；
对C，可设，，，
，，，令，
即，显然能取到，故C错误；
对D，当与平面所成角的正切值最小时，与平面所成角的正弦值也最小，，设的法向量为，
则与平面所成角的正弦值为
，当或2，时，
，由三角函数可得与平面所成角的正切值最小为，故D错误.
故选：AB
11．ACD
【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解.
【详解】对于A，令，
联立，消可得，
则，，
，
则
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，

则，，故C正确；
对于D，
则
，
而，
所以，故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可.
12．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，

则⊥平面，
因为正四棱台中，，，
故，所以，
设四棱台的高为，
故，解得，
故，
设，则，
，
故，解得，
故半径，
故该棱台外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
13．
【分析】根据已知条件及直线的斜率公式，利用锐角三角函数及点在双曲线上，结合齐次式及双曲线的离心率的公式即可求解.
【详解】过作轴，垂足为.如图所示

的斜率为，则,,
在双曲线上，
即，于是有，
进而得出，解得或（舍），
，即（负舍），
故的离心率为.
故答案为：.
14．
【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解.
【详解】（1）由①，
当时，解得，
当时，②，
①-②，得，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
经验证符合上式，所以．
（2）由（1）知，
，．
则，
故
，
所以，，，
故.
16．(1)4个
(2)推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语
【分析】（1）由取到异号球的概率为，设1，2，3号球的个数分别为n，，n，列方程求解；
（2）分先回答1号球中的谜语和先回答3号球中的谜语两种情况，分别计算奖金的数学期望，比较后得结论.
【详解】（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n，，n，
则取到异号球的概率，
，即．解得．
所以盒中2号球的个数为4个．
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，
则可能的取值为0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列为
的均值为，
若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，
记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，
．
Y的分布列为
的均值为，
因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）取中点为，连接，由面面垂直的性质得到平面，过点作直线的垂线交于点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接，，则且，
又且，且．
为平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过点作直线的垂线交于点，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

为直径，，，，．
在等腰梯形中，，，所以，
，，，，，
，，，．
设平面的法向量为，
则，，令则，．
，
设平面的法向量为，则，
取，
设平面与平面所成的角为，
则，
平面与平面所成角的余弦值为．
18．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据离心率、的值以及，求出和，即可求得椭圆方程；
（2）设直线、的倾斜角分别为、，根据图中的几何关系可知，即可求得的值，
（3）将直线与椭圆方程联立可求出和的坐标，再利用三角形的面积公式以及数量积公式将△面积表示为含有的表达式，利用换元法求出最值即可.
【详解】（1）由题意得，，解之得，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）知，所以，
设直线、、的倾斜角分别为、、、，
则，，，
则，所以，
所以，所以，即．
（3）设直线，
将直线方程与椭圆方程联立 得，
，∴，同理得，
由（2）知，，
又，
同理，，
，
∴，
∴，
，
，
令，则，
当，即时等号成立，所以的最大值是．
19．(1)，；
(2)答案见解析；
(3)．
【分析】（1）由，，列方程组求实数a，b的值；
（2）令利用导数研究单调性，又，可比较与的大小；
（3）由在上存在极值，所以在上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对的零点进行分析．
【详解】（1）由，，有，
可知，，，，
由题意，，，所以，所以，．
（2）由（1）知，，令，
则，
所以在其定义域内为增函数，又，
时，；时，；
所以时，；时，．
（3）由，
．
由在上存在极值，所以在上存在变号零点．
令，则，．
①时，，为减函数，，在上为减函数，，无零点，不满足条件．
②当，即时，，为增函数，，在上为增函数，，无零点，不满足条件．
③当，即时，令即，．
当时，，为减函数；时，，为增函数，
；
令，，，在时恒成立，
在上单调递增，，恒成立；
，，，则，，
；
，
令，
令，，
则在是单调递减，，所以，
，
令，则，，．
，即．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点，
又由③知，当时，，为减函数，，
所以此时，，在内无零点，
在上存在变号零点，综上所述实数m的取值范围为．
【点睛】方法点睛：
利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，而构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
X
0
100
600
P
0.2
0.4
0.4
Y
0
500
600
P
0.5
0.1
0.4