专题 解析几何 .极点极线结构及非对称韦达定理

这是一份专题 解析几何 .极点极线结构及非对称韦达定理，共5页。试卷主要包含了基础知识，非对称韦达定理，典例，练习等内容，欢迎下载使用。
椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.
从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:
（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?
（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?
（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？
如图，若点在曲线外，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，延长交于点,则直线即为点所对应的极线.
假设椭圆方程为
（1）焦点与准线：点与直线；（2）点与直线
2.非对称韦达定理
在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.
3.典例
（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
解析：由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
4.练习：（2010江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F. 设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,.
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即
联立方程组，解得：，所以点T的坐标为
（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、
（方法1）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法2）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.