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2024年高中物理新教材同步学案 选择性必修第一册 第1章 专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型 (含解析)
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专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？答案 由动能定理可得－eq \x\to(F)·d＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02解得eq \x\to(F)＝3.5×104 N木块与地面间的滑动摩擦力Ff＝μMg＝2 N两者之比为eq \f(F,Ff)＝17 500由此可知，子弹与木块间的平均作用力远大于木块与地面间的作用力，因此子弹和木块组成系统在相互作用过程中满足动量守恒的条件。2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大；(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？答案 (1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v解得：v＝eq \f(mv0,m＋M)(2)由能量守恒定律可知：eq \f(1,2)mv02＝Q＋eq \f(1,2)(m＋M)v2得产生的热量为：Q＝eq \f(Mmv02,2M＋m)(3)设木块最小长度为L，由能量守恒定律：FL＝Q得木块的最小长度为：L＝eq \f(Mmv02,2M＋mF).1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一颗质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。(1)求子弹和木块的共同速度大小以及它们在此过程中所产生的内能。(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？请计算并说明。答案 (1)6 m/s 882 J (2)能 理由见解析解析 (1)设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v解得v＝6 m/s此过程系统增加的内能ΔE＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝882 J。(2)假设子弹以v0′＝400 m/s的速度入射时没有射穿木块，则对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0′＝(M＋m)v′解得v′＝8 m/s此过程系统所损耗的机械能为ΔE′＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2＝1 568 J由功能关系有ΔE＝F阻x相＝F阻dΔE′＝F阻x相′＝F阻d′则eq \f(ΔE,ΔE′)＝eq \f(F阻d,F阻d′)＝eq \f(d,d′)解得d′≈10.7 cm因为d′>10 cm，所以能射穿木块。针对训练1 (多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是( )A．子弹的末速度大小相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大答案 ABC解析 以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v，可得滑块最终获得的速度：v＝eq \f(mv0,M＋m)，可知两种情况下子弹的末速度是相同的，故A正确；子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，两种情况下系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，故B正确；根据动能定理，滑块动能的增量等于子弹对滑块做的功，所以两次子弹对滑块做的功一样多，故C正确；由Q＝Ff·x相对知，由于x相对不相等，所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力不一样大，故D错误。二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从木板的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。答案 (1)系统的合外力为零，故系统的动量守恒。由于摩擦力对系统做负功，系统机械能不守恒。(2)根据动量守恒：mv0＝(m＋M)v系统机械能损失(摩擦生热)，Q热＝Ff·x相对＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2，Ff＝μmg若滑块恰未脱离木板，则L＝x相对解得L＝eq \f(Mv02,2μgm＋M)。1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 如图所示，一质量为m＝1 kg的滑块以初速度v0从光滑平台滑上与平台等高的静止的质量为M＝9 kg的小车，小车和滑块间的动摩擦因数为μ＝0.2，小车长L＝1 m，水平地面光滑，若滑块不滑出小车，滑块初速度v0应满足什么条件？(g＝10 m/s2)答案 v0≤eq \f(2\r(10),3) m/s解析 滑块以初速度v′从平台滑上小车，刚好滑到小车的最右端，此时两者速度相同(均为v)。由动量守恒定律得，mv′＝(M＋m)v从滑块滑上小车到两者速度相同，系统损失的动能等于因摩擦产生的热量，Q＝μmgL＝eq \f(1,2)mv′2－eq \f(1,2)(M＋m)v2解得v′＝eq \f(2\r(10),3) m/s若滑块不滑出小车，滑块的初速度v0≤v′，即v0≤eq \f(2\r(10),3) m/s。针对训练2 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C同时分别从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？答案 见解析解析 (1)A受力如图所示，A受到的合力为：FA合＝μmg－μmg＝0。(2)系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：m·2v－mv＝(m＋m＋m)v′，解得A、B、C最终的共同速度：v′＝eq \f(v,3)，即木板A最终运动的速度为eq \f(v,3)。(3)对系统，由能量守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(2v)2＝eq \f(1,2)(m＋m＋m)v′2＋μmgL，解得：L＝eq \f(7v2,3μg)。1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。专题强化练1．(多选)(2022·乐山市高二月诊断)如图所示，一子弹(可视为质点)以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，摩擦力大小为Ff，木块加速运动的位移为x。则以下说法正确的是( )A．子弹动能的减少量等于系统动能的减少量B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功D．系统因摩擦产生的热量为Ffd答案 BD解析 子弹射入木块的过程，由能量守恒定律知，子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块的动量变化量大小相等，方向相反，B正确；摩擦力对木块做的功为Ffx，摩擦力对子弹做的功为－Ff(x＋d)，可知二者不相等，系统因摩擦产生的热量为Ffd，C错误，D正确。2．如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为( )A．L B.eq \f(3L,4) C.eq \f(L,4) D.eq \f(L,2)答案 D解析 长木板固定时，由动能定理得：－μMgL＝0－eq \f(1,2)Mv02，若长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有Mv0＝2Mv，由能量守恒定律有μMgx＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)×2Mv2，得x＝eq \f(L,2)，D项正确，A、B、C项错误。3．(多选)(2022·济南市高二月考)质量为M、长度为d的木块放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动．质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度v0射入静止的木块。设子弹在木块中受到的阻力大小恒定，则( )A．拔去销钉，木块和子弹组成的系统动量守恒，机械能也守恒B．子弹在木块中受到的阻力大小为eq \f(mv02,2d)C．拔去销钉，子弹与木块相对静止时的速度为eq \f(mv0,M)D．拔去销钉，子弹射入木块的深度为eq \f(Md,M＋m)答案 BD解析 拔去销钉，木块和子弹之间的摩擦力属于系统内力，木块和子弹组成的系统动量守恒；但因摩擦力做功，故系统机械能不守恒，故A错误；当木块被销钉挡住时，由动能定理可知－Ffd＝0－eq \f(1,2)mv02，解得Ff＝eq \f(mv02,2d)，故B正确；拔去销钉，子弹与木块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得mv0＝(m＋M)v，解得v＝eq \f(mv0,M＋m)，故C错误；拔去销钉，对子弹射入木块的整个过程，根据能量守恒定律有－Ffx＝eq \f(1,2)×(m＋M)v2－eq \f(1,2)mv02，解得x＝eq \f(Md,M＋m)，故D正确。4．(2022·石家庄市期中)如图(a)，一长木板静止于光滑水平桌面上，t＝0时，小物块以速度v0滑到长木板上，图(b)为物块与木板运动的v－t图像，图中t1、v0、v1已知．重力加速度大小为g。由此可求得( )A．木板的长度B．物块与木板的质量C．物块与木板之间的动摩擦因数D．从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能答案 C解析 对小物块应用x＝eq \f(v0＋v1,2)t1可以求出物块相对木板滑行的距离，木板的长度可能等于该长度、也可能大于该长度，根据题意无法求出木板的长度，A错误；物块与木板组成的系统动量守恒，以物块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v1，可解出物块与木板的质量之比，但无法计算各自的质量，B错误；对物块，由动量定理得－μmgt1＝ mv1－mv0，v0与v1已知，解得μ＝eq \f(v0－v1,gt1)可以求出动摩擦因数，C正确；由于不知道木板的质量，无法求出从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能，D错误。5．(多选)(2022·山西长治二中期中)如图所示，一质量M＝8.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg的小木块A。给A和B以大小均为5.0 m/s、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数是0.5。则在整个过程中，下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )A．小木块A的速度减为零时，长木板B的速度大小为3.75 m/sB．小木块A的速度方向一直向左，不可能为零C．小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s，方向向左D．长木板的长度可能为10 m答案 AD解析 以向右为正方向，根据动量守恒定律可知Mv0－mv0＝Mv1＋0，解得v1＝3.75 m/s，A正确；根据动量守恒定律，最终小木块和长木板的速度为v2，则Mv0－mv0＝(M＋m)v2，解得v2＝3 m/s，因此A、B最终一起向右运动，且速度大小为3 m/s，B、C错误；根据能量守恒定律，有μmgL＝eq \f(1,2)Mv02＋eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v22，解得木板的长度至少为L＝8 m，因此长木板的长度可能为10 m，D正确。6．(2022·荆州市期末)如图所示，长木板C质量为mC＝0.5 kg，长度为L＝2 m，静止在光滑的水平地面上，木板两端分别固定有竖直弹性挡板D、E(厚度不计)，P为木板C的中点，一个质量为mB＝480 g的小物块B静止在P点。现有一质量为mA＝20 g的子弹A，以v0＝100 m/s的水平速度射入物块B并留在其中(射入时间极短)，已知重力加速度g取10 m/s2(1)求子弹A射入物块B后的瞬间，二者的共同速度大小；(2)A射入B之后，若与挡板D恰好未发生碰撞，求B与C间的动摩擦因数。答案 (1)4 m/s (2)0.4解析 (1)子弹射入物块B的过程A、B系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v1代入数据解得v1＝4 m/s。(2)由题意可知，B与D碰撞前达到共同速度，A、B、C系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得(mA＋mB)v1＝(mA＋mB＋mC)v2由能量守恒定律得eq \f(1,2)(mA＋mB)v12＝eq \f(1,2)(mA＋mB＋mC)v22＋μ(mA＋mB)g·eq \f(L,2) 代入数据解得μ＝0.4。7.质量为M＝3 kg的小车在光滑的水平轨道上匀速向右运动，速度为v1＝2 m/s。在小车下方中心O处悬挂一根长长的轻绳，绳下端拴一个质量m＝2 kg的钢块，钢块随小车一起运动，轻绳保持竖直方向，如图所示。一颗质量为m′＝0.4 kg的子弹从左边沿水平方向向右射来，速度为v2＝30 m/s，与钢块发生碰撞，碰撞时间极短，碰后子弹以20 m/s的速度反向弹回。重力加速度g＝10 m/s2。求钢块在此后的运动过程中离最低点的高度的最大值。答案 3 m解析 子弹与钢块相互作用的过程中，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，钢块碰后瞬间的速度为v，子弹碰后瞬间的速度v3＝－20 m/s，则m′v2＋mv1＝m′v3＋mv解得v＝12 m/s设钢块到达最高点时小车与钢块的共同水平速度大小为v′，钢块上升的最大高度为hm，根据水平方向动量守恒和系统机械能守恒有Mv1＋mv＝(M＋m)v′mg·hm＝eq \f(1,2)Mv12＋eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2联立解得hm＝3 m。8．(多选)如图所示，静止在光滑水平面上的木板，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝3 kg，质量m＝1 kg的铁块以水平速度v0＝4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回(弹簧始终在弹性限度内)，最后恰好停在木板的左端，则下列说法正确的是( )A．铁块和木板最终共同以1 m/s的速度向右做匀速直线运动B．运动过程中弹簧的最大弹性势能为3 JC．运动过程中铁块与木板因摩擦而产生的热量为3 JD．运动过程中铁块对木板的摩擦力对木板先做正功后做负功答案 ABD解析 设最终铁块与木板速度相同时大小为v，铁块相对木板向右运动时，相对木板滑行的最大路程为L，滑动摩擦力大小为Ff。取向右为正方向，根据动量守恒定律可知：mv0＝(m＋M)v，得v＝1 m/s，方向向右。两者最终以1 m/s的共同速度向右做匀速直线运动，A正确；铁块相对木板向右运动，当两者速度相同时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律知此时两者的速度也为v＝1 m/s，由能量守恒定律，铁块相对于木板向右运动过程有：eq \f(1,2)mv02＝Ff·L＋eq \f(1,2)(M＋m)v2＋Ep，铁块相对于木板运动的整个过程有：eq \f(1,2)mv02＝2Ff·L＋eq \f(1,2)(M＋m)v2，联立得弹簧的最大弹性势能Ep＝3 J，B正确；由功能关系知：运动过程中铁块与木板因摩擦而产生的热量Q＝2Ff·L＝6 J，C错误；由分析可知，木板始终向右运动，受到铁块的摩擦力先向右后向左，故摩擦力对木板先做正功后做负功，D正确。9.如图所示，质量mB＝2 kg的平板车B上表面水平，在平板车左端相对于车静止着一个质量mA＝2 kg的物块A(A可视为质点)，A、B一起以大小为v1＝0.5 m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，一颗质量m0＝0.01 kg的子弹以大小为v0＝600 m/s的水平初速度向右瞬间射穿A后，速度变为v＝200 m/s。已知A与B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终相对静止时A刚好停在B的右端，车长L＝1 m，g＝10 m/s2，求：(1)A、B间的动摩擦因数；(2)整个过程中因摩擦产生的热量。答案 (1)0.1 (2)1 600 J解析 (1)规定向右为正方向，子弹与A作用的过程，根据动量守恒定律得m0v0－mAv1＝m0v＋mAvA，代入数据解得vA＝1.5 m/s，子弹穿过A后，A以1.5 m/s的速度开始向右滑行，B以0.5 m/s的速度向左运动，当A、B达到共同速度时，A、B相对静止，对A、B组成的系统运用动量守恒定律，规定向右为正方向，有mAvA－mBv1＝(mA＋mB)v2代入数据解得v2＝0.5 m/s根据能量守恒定律知μmAgL＝eq \f(1,2)mAvA2＋eq \f(1,2)mBv12－eq \f(1,2)(mA＋mB)v22代入数据解得μ＝0.1。(2)根据能量守恒定律，整个过程中因摩擦产生的热量为Q＝eq \f(1,2)m0v02＋eq \f(1,2)(mA＋mB)v12－eq \f(1,2)m0v2－eq \f(1,2)(mA＋mB)v22代入数据解得Q＝1 600 J。
专题强化4 子弹打木块模型 滑块—木板模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒条件。2.会分析两物体在相对运动过程中的能量转换(重点)。3.能够从动量和能量的观点分析子弹打木块模型、滑块—木板模型(重难点)。一、子弹打木块模型1.如图所示，质量为M＝1 kg的木块静止于粗糙的水平面上，木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，一质量为m＝20 g、速度为v0＝600 m/s的子弹水平射入木块，穿出时的速度为v＝100 m/s，若木块的宽度为d＝0.1 m，重力加速度g＝10 m/s2，试求子弹与木块间的平均作用力与木块和地面间的滑动摩擦力之比，并根据结果分析在解决此类问题时应如何处理？答案 由动能定理可得－eq \x\to(F)·d＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02解得eq \x\to(F)＝3.5×104 N木块与地面间的滑动摩擦力Ff＝μMg＝2 N两者之比为eq \f(F,Ff)＝17 500由此可知，子弹与木块间的平均作用力远大于木块与地面间的作用力，因此子弹和木块组成系统在相互作用过程中满足动量守恒的条件。2.如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，则(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大；(2)子弹射入过程中产生的内能为多少？(3)木块至少为多长时子弹不会穿出？答案 (1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v解得：v＝eq \f(mv0,m＋M)(2)由能量守恒定律可知：eq \f(1,2)mv02＝Q＋eq \f(1,2)(m＋M)v2得产生的热量为：Q＝eq \f(Mmv02,2M＋m)(3)设木块最小长度为L，由能量守恒定律：FL＝Q得木块的最小长度为：L＝eq \f(Mmv02,2M＋mF).1．模型特点(1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。(地面光滑或不光滑都成立)(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。2．两种类型(1)子弹留在木块中(未穿出)①动量守恒：mv0＝(m＋M)v②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2其中d为子弹射入木块的深度。此过程相当于完全非弹性碰撞，动能损失最多。(2)子弹穿出木块①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)Mv22其中L为木块的长度，注意d≤L。例1 如图所示，在光滑的水平桌面上静止放置一个质量为980 g的长方形匀质木块，现有一颗质量为20 g的子弹以大小为300 m/s的水平速度沿木块的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块沿子弹运动方向的长度为10 cm，子弹打进木块的深度为6 cm。设木块对子弹的阻力保持不变。(1)求子弹和木块的共同速度大小以及它们在此过程中所产生的内能。(2)若子弹是以大小为400 m/s的水平速度从同一方向水平射向该木块，则在射中木块后能否射穿该木块？请计算并说明。答案 (1)6 m/s 882 J (2)能 理由见解析解析 (1)设子弹射入木块后与木块的共同速度为v，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0＝(M＋m)v解得v＝6 m/s此过程系统增加的内能ΔE＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2＝882 J。(2)假设子弹以v0′＝400 m/s的速度入射时没有射穿木块，则对子弹和木块组成的系统，由动量守恒定律得mv0′＝(M＋m)v′解得v′＝8 m/s此过程系统所损耗的机械能为ΔE′＝eq \f(1,2)mv0′2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2＝1 568 J由功能关系有ΔE＝F阻x相＝F阻dΔE′＝F阻x相′＝F阻d′则eq \f(ΔE,ΔE′)＝eq \f(F阻d,F阻d′)＝eq \f(d,d′)解得d′≈10.7 cm因为d′>10 cm，所以能射穿木块。针对训练1 (多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射穿一半厚度，如图所示，则上述两种情况相比较，下列说法正确的是( )A．子弹的末速度大小相等B．系统产生的热量一样多C．子弹对滑块做的功相同D．子弹和滑块间的水平作用力一样大答案 ABC解析 以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v，可得滑块最终获得的速度：v＝eq \f(mv0,M＋m)，可知两种情况下子弹的末速度是相同的，故A正确；子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，两种情况下系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，故B正确；根据动能定理，滑块动能的增量等于子弹对滑块做的功，所以两次子弹对滑块做的功一样多，故C正确；由Q＝Ff·x相对知，由于x相对不相等，所以两种情况下子弹和滑块间的水平作用力不一样大，故D错误。二、滑块—木板模型如图所示，在光滑的水平地面上，质量为m的滑块以初速度v0从木板的左边缘滑上质量为M的木板的上表面，若滑块始终未滑离木板，滑块和木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。(1)此过程系统的动量是否守恒？系统的机械能是否守恒？(2)若滑块恰未脱离木板，试求木板的长度L。答案 (1)系统的合外力为零，故系统的动量守恒。由于摩擦力对系统做负功，系统机械能不守恒。(2)根据动量守恒：mv0＝(m＋M)v系统机械能损失(摩擦生热)，Q热＝Ff·x相对＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(m＋M)v2，Ff＝μmg若滑块恰未脱离木板，则L＝x相对解得L＝eq \f(Mv02,2μgm＋M)。1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，若水平面光滑，滑块和木板组成的系统动量守恒。2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，此过程相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。例2 如图所示，一质量为m＝1 kg的滑块以初速度v0从光滑平台滑上与平台等高的静止的质量为M＝9 kg的小车，小车和滑块间的动摩擦因数为μ＝0.2，小车长L＝1 m，水平地面光滑，若滑块不滑出小车，滑块初速度v0应满足什么条件？(g＝10 m/s2)答案 v0≤eq \f(2\r(10),3) m/s解析 滑块以初速度v′从平台滑上小车，刚好滑到小车的最右端，此时两者速度相同(均为v)。由动量守恒定律得，mv′＝(M＋m)v从滑块滑上小车到两者速度相同，系统损失的动能等于因摩擦产生的热量，Q＝μmgL＝eq \f(1,2)mv′2－eq \f(1,2)(M＋m)v2解得v′＝eq \f(2\r(10),3) m/s若滑块不滑出小车，滑块的初速度v0≤v′，即v0≤eq \f(2\r(10),3) m/s。针对训练2 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另外两个质量也为m的物块B和C同时分别从A的左、右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，如图所示。物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ，假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞。试求：(1)B、C刚滑上长木板A时，A所受合外力为多大？(2)长木板A的最终运动速度为多大？(3)为使物块B、C不相撞，长木板A至少多长？答案 见解析解析 (1)A受力如图所示，A受到的合力为：FA合＝μmg－μmg＝0。(2)系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：m·2v－mv＝(m＋m＋m)v′，解得A、B、C最终的共同速度：v′＝eq \f(v,3)，即木板A最终运动的速度为eq \f(v,3)。(3)对系统，由能量守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(2v)2＝eq \f(1,2)(m＋m＋m)v′2＋μmgL，解得：L＝eq \f(7v2,3μg)。1．从物块滑上木板至两者共速时，若物块仍未脱离木板，此过程相当于完全非弹性碰撞过程。2．若地面光滑，物块和木板组成的系统动量守恒；若地面粗糙，系统的总动量将发生变化。专题强化练1．(多选)(2022·乐山市高二月诊断)如图所示，一子弹(可视为质点)以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，摩擦力大小为Ff，木块加速运动的位移为x。则以下说法正确的是( )A．子弹动能的减少量等于系统动能的减少量B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功D．系统因摩擦产生的热量为Ffd答案 BD解析 子弹射入木块的过程，由能量守恒定律知，子弹动能的减少量大于系统动能的减少量，A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块的动量变化量大小相等，方向相反，B正确；摩擦力对木块做的功为Ffx，摩擦力对子弹做的功为－Ff(x＋d)，可知二者不相等，系统因摩擦产生的热量为Ffd，C错误，D正确。2．如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为( )A．L B.eq \f(3L,4) C.eq \f(L,4) D.eq \f(L,2)答案 D解析 长木板固定时，由动能定理得：－μMgL＝0－eq \f(1,2)Mv02，若长木板不固定，以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有Mv0＝2Mv，由能量守恒定律有μMgx＝eq \f(1,2)Mv02－eq \f(1,2)×2Mv2，得x＝eq \f(L,2)，D项正确，A、B、C项错误。3．(多选)(2022·济南市高二月考)质量为M、长度为d的木块放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动．质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度v0射入静止的木块。设子弹在木块中受到的阻力大小恒定，则( )A．拔去销钉，木块和子弹组成的系统动量守恒，机械能也守恒B．子弹在木块中受到的阻力大小为eq \f(mv02,2d)C．拔去销钉，子弹与木块相对静止时的速度为eq \f(mv0,M)D．拔去销钉，子弹射入木块的深度为eq \f(Md,M＋m)答案 BD解析 拔去销钉，木块和子弹之间的摩擦力属于系统内力，木块和子弹组成的系统动量守恒；但因摩擦力做功，故系统机械能不守恒，故A错误；当木块被销钉挡住时，由动能定理可知－Ffd＝0－eq \f(1,2)mv02，解得Ff＝eq \f(mv02,2d)，故B正确；拔去销钉，子弹与木块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得mv0＝(m＋M)v，解得v＝eq \f(mv0,M＋m)，故C错误；拔去销钉，对子弹射入木块的整个过程，根据能量守恒定律有－Ffx＝eq \f(1,2)×(m＋M)v2－eq \f(1,2)mv02，解得x＝eq \f(Md,M＋m)，故D正确。4．(2022·石家庄市期中)如图(a)，一长木板静止于光滑水平桌面上，t＝0时，小物块以速度v0滑到长木板上，图(b)为物块与木板运动的v－t图像，图中t1、v0、v1已知．重力加速度大小为g。由此可求得( )A．木板的长度B．物块与木板的质量C．物块与木板之间的动摩擦因数D．从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能答案 C解析 对小物块应用x＝eq \f(v0＋v1,2)t1可以求出物块相对木板滑行的距离，木板的长度可能等于该长度、也可能大于该长度，根据题意无法求出木板的长度，A错误；物块与木板组成的系统动量守恒，以物块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v1，可解出物块与木板的质量之比，但无法计算各自的质量，B错误；对物块，由动量定理得－μmgt1＝ mv1－mv0，v0与v1已知，解得μ＝eq \f(v0－v1,gt1)可以求出动摩擦因数，C正确；由于不知道木板的质量，无法求出从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能，D错误。5．(多选)(2022·山西长治二中期中)如图所示，一质量M＝8.0 kg的长木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量m＝2.0 kg的小木块A。给A和B以大小均为5.0 m/s、方向相反的初速度，使A开始向左运动，B开始向右运动，A始终没有滑离B板，A、B之间的动摩擦因数是0.5。则在整个过程中，下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )A．小木块A的速度减为零时，长木板B的速度大小为3.75 m/sB．小木块A的速度方向一直向左，不可能为零C．小木块A与长木板B共速时速度大小为3 m/s，方向向左D．长木板的长度可能为10 m答案 AD解析 以向右为正方向，根据动量守恒定律可知Mv0－mv0＝Mv1＋0，解得v1＝3.75 m/s，A正确；根据动量守恒定律，最终小木块和长木板的速度为v2，则Mv0－mv0＝(M＋m)v2，解得v2＝3 m/s，因此A、B最终一起向右运动，且速度大小为3 m/s，B、C错误；根据能量守恒定律，有μmgL＝eq \f(1,2)Mv02＋eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v22，解得木板的长度至少为L＝8 m，因此长木板的长度可能为10 m，D正确。6．(2022·荆州市期末)如图所示，长木板C质量为mC＝0.5 kg，长度为L＝2 m，静止在光滑的水平地面上，木板两端分别固定有竖直弹性挡板D、E(厚度不计)，P为木板C的中点，一个质量为mB＝480 g的小物块B静止在P点。现有一质量为mA＝20 g的子弹A，以v0＝100 m/s的水平速度射入物块B并留在其中(射入时间极短)，已知重力加速度g取10 m/s2(1)求子弹A射入物块B后的瞬间，二者的共同速度大小；(2)A射入B之后，若与挡板D恰好未发生碰撞，求B与C间的动摩擦因数。答案 (1)4 m/s (2)0.4解析 (1)子弹射入物块B的过程A、B系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v1代入数据解得v1＝4 m/s。(2)由题意可知，B与D碰撞前达到共同速度，A、B、C系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得(mA＋mB)v1＝(mA＋mB＋mC)v2由能量守恒定律得eq \f(1,2)(mA＋mB)v12＝eq \f(1,2)(mA＋mB＋mC)v22＋μ(mA＋mB)g·eq \f(L,2) 代入数据解得μ＝0.4。7.质量为M＝3 kg的小车在光滑的水平轨道上匀速向右运动，速度为v1＝2 m/s。在小车下方中心O处悬挂一根长长的轻绳，绳下端拴一个质量m＝2 kg的钢块，钢块随小车一起运动，轻绳保持竖直方向，如图所示。一颗质量为m′＝0.4 kg的子弹从左边沿水平方向向右射来，速度为v2＝30 m/s，与钢块发生碰撞，碰撞时间极短，碰后子弹以20 m/s的速度反向弹回。重力加速度g＝10 m/s2。求钢块在此后的运动过程中离最低点的高度的最大值。答案 3 m解析 子弹与钢块相互作用的过程中，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，钢块碰后瞬间的速度为v，子弹碰后瞬间的速度v3＝－20 m/s，则m′v2＋mv1＝m′v3＋mv解得v＝12 m/s设钢块到达最高点时小车与钢块的共同水平速度大小为v′，钢块上升的最大高度为hm，根据水平方向动量守恒和系统机械能守恒有Mv1＋mv＝(M＋m)v′mg·hm＝eq \f(1,2)Mv12＋eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)(M＋m)v′2联立解得hm＝3 m。8．(多选)如图所示，静止在光滑水平面上的木板，右端有一根轻质弹簧沿水平方向与木板相连，木板质量M＝3 kg，质量m＝1 kg的铁块以水平速度v0＝4 m/s从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回(弹簧始终在弹性限度内)，最后恰好停在木板的左端，则下列说法正确的是( )A．铁块和木板最终共同以1 m/s的速度向右做匀速直线运动B．运动过程中弹簧的最大弹性势能为3 JC．运动过程中铁块与木板因摩擦而产生的热量为3 JD．运动过程中铁块对木板的摩擦力对木板先做正功后做负功答案 ABD解析 设最终铁块与木板速度相同时大小为v，铁块相对木板向右运动时，相对木板滑行的最大路程为L，滑动摩擦力大小为Ff。取向右为正方向，根据动量守恒定律可知：mv0＝(m＋M)v，得v＝1 m/s，方向向右。两者最终以1 m/s的共同速度向右做匀速直线运动，A正确；铁块相对木板向右运动，当两者速度相同时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律知此时两者的速度也为v＝1 m/s，由能量守恒定律，铁块相对于木板向右运动过程有：eq \f(1,2)mv02＝Ff·L＋eq \f(1,2)(M＋m)v2＋Ep，铁块相对于木板运动的整个过程有：eq \f(1,2)mv02＝2Ff·L＋eq \f(1,2)(M＋m)v2，联立得弹簧的最大弹性势能Ep＝3 J，B正确；由功能关系知：运动过程中铁块与木板因摩擦而产生的热量Q＝2Ff·L＝6 J，C错误；由分析可知，木板始终向右运动，受到铁块的摩擦力先向右后向左，故摩擦力对木板先做正功后做负功，D正确。9.如图所示，质量mB＝2 kg的平板车B上表面水平，在平板车左端相对于车静止着一个质量mA＝2 kg的物块A(A可视为质点)，A、B一起以大小为v1＝0.5 m/s的速度在光滑的水平面上向左运动，一颗质量m0＝0.01 kg的子弹以大小为v0＝600 m/s的水平初速度向右瞬间射穿A后，速度变为v＝200 m/s。已知A与B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终相对静止时A刚好停在B的右端，车长L＝1 m，g＝10 m/s2，求：(1)A、B间的动摩擦因数；(2)整个过程中因摩擦产生的热量。答案 (1)0.1 (2)1 600 J解析 (1)规定向右为正方向，子弹与A作用的过程，根据动量守恒定律得m0v0－mAv1＝m0v＋mAvA，代入数据解得vA＝1.5 m/s，子弹穿过A后，A以1.5 m/s的速度开始向右滑行，B以0.5 m/s的速度向左运动，当A、B达到共同速度时，A、B相对静止，对A、B组成的系统运用动量守恒定律，规定向右为正方向，有mAvA－mBv1＝(mA＋mB)v2代入数据解得v2＝0.5 m/s根据能量守恒定律知μmAgL＝eq \f(1,2)mAvA2＋eq \f(1,2)mBv12－eq \f(1,2)(mA＋mB)v22代入数据解得μ＝0.1。(2)根据能量守恒定律，整个过程中因摩擦产生的热量为Q＝eq \f(1,2)m0v02＋eq \f(1,2)(mA＋mB)v12－eq \f(1,2)m0v2－eq \f(1,2)(mA＋mB)v22代入数据解得Q＝1 600 J。
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