专题65 反比例函数背景下的面积问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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一、反比例函数的几何意义
1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为
二、利用k的几何意义进行面积转化
1.如图，直线与反比例函数（）交于、两点，与、轴的交点分别为、，
那么，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低
2.如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，
而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
例题精讲
【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是 ．
变式训练
【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4B．6C．10D．12
【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF＝4，则k的值为 ．
【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为 ．
变式训练
【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝ ．（结果用a，b表示）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3B．2C．D．4
2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的值是（ ）
A．18B．50C．12D．
3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4
4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（ ）
A．7B．C．D．3
5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCD＝3，则S△AOC为（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（ ）
A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）
7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（ ）
A．10B．5C．D．
8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（ ）
A．6B．9C．D．
9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ ．
10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 ．
11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP的面积为 ．
12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD＝6，则k的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为 ．
15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为 ．
16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式x+b的解．
17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cs∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．
18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求S△OAB．
19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB＝4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．
20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．
（1）求k的值；
（2）求四边形OABC的面积．
21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．
22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．
23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．
25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．
26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．
（1）求k的值；
（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；
（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．