专题56 一次函数中的倍、半角问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是 ．
变式训练
【变1-1】．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．
（1）直线AB的解析式为 ；
（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；
（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．
（1）求直线AB的关系式；
（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长的最小值；
（3）若∠POA＝∠BAO，直接写出点P的纵坐标．
【例2】．如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
变式训练
【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【变2-2】．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．


1．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）设点C为线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴、CE⊥y轴，垂足分别为D、E，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于B（0，8），点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．
（1）求证∠EAD＝∠OAB；
（2）求直线EA与y轴交点F的坐标．
3．如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．
4．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的倍，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，若一条平行于OA的直线DE与直线BC在第二象限内相交于点D，与y轴相交于点E，连接OD，当OC平分∠AOD时，求点D的坐标．
5．综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（ ）
6．平面直角坐标系中，已知A的坐标为（﹣2，0），B在y轴正半轴上，且，将线段AB绕点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点D是直线AC上的一点，且满足∠ADB＝∠ABC，求点D坐标．
7．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）请写出点A坐标 ，点B坐标 ，直线BC的函数解析式 ；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
8．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+12与x轴交于点A，将l向下平移16个单位后交y轴于点B．
（1）求∠OBA的余切值；
（2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结CA、CB，其中CA与y轴交于点E，求S△CBE：S△ABE的值；
（3）点M在直线x＝3上且位于第一象限，联结MA、MB，当∠BMA＝∠OBA时，求点M的坐标．
9．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
10．如图，直线y＝3x+3交x轴于点B，交y轴于点A，点C为x轴正半轴上一点，且AC＝BC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P从点O出发沿y轴的正方向运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，过点P作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D、E，若设DE＝d，求d与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在OA的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求点E的坐标．
11．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．
（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式 ；
（2）在（1）条件下，如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点坐标；
（3）在（1）（2）条件下，如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．
12．如图1，直线y＝x﹣5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： 、 、 ；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： ，并简要写出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．
13．如图，直线y＝kx+2（k＜0）与x轴、y轴分别交于点B、A．
（1）如图1，点P（﹣1，3）在直线y＝kx+2（k＜0）上，求点A、B坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，点A'是点A关于x轴的对称点，点Q是第二象限内一点，连接AQ、PQ、QA'和PA'，如果△PQA'和△AA'Q面积相等，且∠PAQ＝∠APA'，求点Q的坐标；
（3）如图3，点C和点D是该直线在第一象限内的两点，点C在点D左侧，且两点的横坐标之差为1，且CD＝k+2，作CE⊥x轴，垂足为点E，连接DE，若∠OAB＝2∠DEB，求k的值．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线AB于点E．
（1）直线l对应的函数表达式是 ，点E的坐标是 ；
（2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝﹣x+5分别交x轴、y轴于点A、B，经过点B的直线y＝x+b交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，点D在线段OB上（不与点O、B重合），连接CD并延长至点E，过点E作EF⊥OB于点F，EF交线段AB于点G，EF＝BD，设OD＝t，EG＝d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OM∥CE，OM交线段AG点M，连接EM并延长交x轴于点N，若∠BOM＝∠ANM，求点N的坐标．