江苏省南京市鼓楼区民办育英外国语学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份江苏省南京市鼓楼区民办育英外国语学校2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共26页。

A．B．
C．D．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．的算术平方根是3
C．（﹣6）2没有平方根
D．在数轴上不存在表示的点
3．（2分）在平面直角坐标系中，点（2022，﹣2023）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2分）如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A．2cm≤x≤5cmB．2cm≤x≤3cm
C．4cm≤x≤5cmD．9cm≤x≤12cm
5．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC上的一点，BN＝CM，CP＝BM，那么，∠NMP等于（ ）
A．90°﹣∠AB．90°﹣∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣∠A
6．（2分）已知，那么值是（ ）
A．B．C．D．或1
二.填空题（共10小题，每题2分）
7．（2分）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2＝ ．
8．（2分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝65°，∠B＝50°，则∠BCD的大小为 ．
9．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 ．
10．（2分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝ °．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，D是AB的中点，则∠BCD＝ °．
12．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，点A到直线l2的距离是3，点C到直线l2的距离是6，则正方形ABCD的面积为 ．
13．（2分）已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，则AD＝ ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若P在边AC上移动，则BP的取值范围是 ．
15．（2分）如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 ．
16．（2分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题，则AD的长为 ．
A．如图1，若AD⊥AB
B．如图2，若BD＝AB
三.解答题（共11小题）
17．（4分）（1）计算：；
（2）求下面式子中x的值：（2x+7）3＝﹣27．
18．（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且△ABC的三个顶点都在格点上．作出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′．
19．（4分）杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．我校近期也举办以“追光逐梦，活力青春”为主题的秋季学生运动会，请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽．
20．（8分）如图，点E在BD上，AE＝CE，AB＝BC．请用两种方法求证：AD＝CD．
21．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求AD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|．
（1）已知点P（﹣3，5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为4，试求出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值： ．
23．（6分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为BC＝6m、AC＝8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程）
24．（6分）观察下列勾股数：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…：a，b，c．
根据你发现的规律，请写出：
（1）当a＝19时，b＝ ，c＝ ；
（2）当a＝2n+1时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
25．（8分）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．
（1）用代数式表示这个魔方的棱长．
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①求出这个魔方的棱长．
②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ．
26．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
27．（8分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ ；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
参考答案与试题解析
一.选择题（共6小题，每题2分）
1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．的算术平方根是3
C．（﹣6）2没有平方根
D．在数轴上不存在表示的点
【解答】解：选项A：1的平方根是±1，不符合题意；
选项B：＝9，9的算术平方根是3，符合题意；
选项C：（﹣6）2＝36，36平方根是±6，不符合题意；
选项D：在数轴可以表示无理数，不符合题意；
故选：B．
3．（2分）在平面直角坐标系中，点（2022，﹣2023）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：点（2022，﹣2023）横坐标为正，纵坐标为负，故所在的象限是第四象限．
故选：D．
4．（2分）如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（ ）
A．2cm≤x≤5cmB．2cm≤x≤3cm
C．4cm≤x≤5cmD．9cm≤x≤12cm
【解答】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm），
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm），
∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm，
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC上的一点，BN＝CM，CP＝BM，那么，∠NMP等于（ ）
A．90°﹣∠AB．90°﹣∠AC．180°﹣∠AD．45°﹣∠A
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵BN＝CM，CP＝BM，
∴△MBN≌△PCM，
∴∠BMN＝∠CPM，
∵∠PMB＝∠NMP+∠BMN＝∠C+∠CPM，
∴∠NMP＝∠C＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
故选：B．
6．（2分）已知，那么值是（ ）
A．B．C．D．或1
【解答】解：∵，
则＝1+|a|＞1，
故0＜a＜1，
原式可化为﹣a＝1，
+|a|＝＝＝，
∴＝．
故选：A．
二.填空题（共10小题，每题2分）
7．（2分）已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2＝ 85或13 ．
【解答】解：当6和7都为直角边时，由勾股定理得x2＝62+72＝85，
当6为直角边，7为斜边时，x2＝72﹣62＝13，
综上，x2＝85或13，
故答案为：85或13．
8．（2分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若∠BAC＝65°，∠B＝50°，则∠BCD的大小为 130° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，
∴∠DAC＝∠BAC＝65°，∠D＝∠B＝50°，
∴∠BCA＝∠DCA＝180°﹣65°﹣50°＝65°，
∴∠BCD的大小为：65°×2＝130°．
故答案为：130°．
9．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 68°或22° ．
【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝46°，
∴∠A＝90°﹣46°＝44°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣44°）＝68°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣46°＝44°，
∴∠BAC＝180°﹣44°＝136°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣136°）＝22°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为68°或22°．
故答案为：68°或22°．
10．（2分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝ 45 °．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
BC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，D是AB的中点，则∠BCD＝ 35 °．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°＝35°，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝35°．
故答案为：35．
12．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，点A到直线l2的距离是3，点C到直线l2的距离是6，则正方形ABCD的面积为 45 ．
【解答】解：过点A作AE⊥l2于点E，过点C作CF⊥l2于点F，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵l1∥l2∥l3，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF＝AE，
∴BF2+CF2＝BC2，
∴BC2＝32+62＝45．
故答案为：45．
13．（2分）已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，则AD＝ 2 ．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
∴1＜AD＜3，
又∵AD是整数，
∴AD＝2，
故答案为：2．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若P在边AC上移动，则BP的取值范围是 ．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由，可得：6×4＝5×BP，
解得：，
即线段BP的最小值是：，
当点P在点C处时BP最大，即BP的最大值为6，
∴BP的取值范围是．
故答案为：．
15．（2分）如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 cm2 ．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△EPC，
∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．
故答案为：cm2．
16．（2分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在BC边上．请从A，B两题中任选一题作答．我选择 A或B 题，则AD的长为 或 ．
A．如图1，若AD⊥AB
B．如图2，若BD＝AB
【解答】解：A．作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC＝5，BC＝8．
∴BE＝CE＝4，
∴AE＝＝3．
∴AD2＝BD2﹣AB2＝AE2+DE2，
∴（4+DE）2﹣52＝32+DE2，
解得DE＝，
∴AD2＝32+（）2，
∴AD＝．
故答案为：；
B．作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BE＝CE＝4．BD＝AB＝5，ED＝5﹣4＝1，
∴AE＝＝3，
∴AD＝＝＝，
故答案为：．
三.解答题（共11小题）
17．（4分）（1）计算：；
（2）求下面式子中x的值：（2x+7）3＝﹣27．
【解答】解：（1）
＝3﹣（﹣1）+（﹣3）+﹣1
＝3+1﹣3+﹣1
＝；
（2）（2x+7）3＝﹣27，
2x+7＝﹣3，
2x＝﹣3﹣7，
2x＝﹣10，
x＝﹣5．
18．（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且△ABC的三个顶点都在格点上．作出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′．
【解答】如图，△A′B′C′即为所求．
19．（4分）杭州第19届亚运会（The 19th Asian Games）又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．我校近期也举办以“追光逐梦，活力青春”为主题的秋季学生运动会，请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽．
【解答】解：如图所示：（答案不唯一）．
20．（8分）如图，点E在BD上，AE＝CE，AB＝BC．请用两种方法求证：AD＝CD．
【解答】证明：方法一，在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠ABE＝∠CBE，
即∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AD＝CD．
方法二，如图，连接AC，
∵AE＝CE，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD．
21．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求AD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【解答】解：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵BC＝3，DB＝，
∴CD＝
＝
＝，
∴AD＝＝＝；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵AC＝4，
∴AD＝
＝；
∵BD＝，
∴AB＝5，
∵AC2+BC2＝42+32＝25＝52＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|．
（1）已知点P（﹣3，5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为4，试求出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值： 2 ．
【解答】解：（1）∵点P（﹣3，5）、点Q（1，0），|﹣3﹣1|＜|5﹣0|＝5，
∴点P与点Q的“近似距离”为5．
（2）①∵B为x轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（x，0）．
∵A、B两点的“近似距离”为4，A（0，﹣2），
∵|0﹣x|＝4，|﹣2﹣0|＝2，
解得x＝4或x＝﹣4，
∴点B的坐标是（4，0）或（﹣4，0），
②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），
∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝x，
∴若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，
若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；
∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，
故答案为：2．
23．（6分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为BC＝6m、AC＝8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的面积．（画出所有可能情况的图并写出计算过程）
【解答】解：如图①所示：S△ABD＝×8×12＝48（m2）；
如图②所示：S△ABD＝×8×10＝40（m2）；
如图③所示：在Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2，
即82+x2＝（x+6）2，
解得：x＝，
故S△ABD＝×8×（6+）＝（m2）．
24．（6分）观察下列勾股数：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…：a，b，c．
根据你发现的规律，请写出：
（1）当a＝19时，b＝ 180 ，c＝ 181 ；
（2）当a＝2n+1时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又∵c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
故答案为：180，181．
25．（8分）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．
（1）用代数式表示这个魔方的棱长．
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①求出这个魔方的棱长．
②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 ﹣2+1 ．
【解答】解：（1）这个魔方的棱长为（cm）；
（2）①这个魔方的棱长＝4（cm）；
②∵魔方的棱长为4cm，
∴小立方体的棱长为2cm，
∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8（cm2），
阴影部分的边长＝（cm）；
③D在数轴上表示的数为﹣2+1．
故答案为：﹣2+1．
26．（8分）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE．
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC＝30°，AD＝DC，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵AD＝DC，
∴AD＝CE；
（2）AD＝CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AFD是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，
∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，
在△BFD和△DCE中，
∴△BFD≌△DCE，
∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．
27．（8分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ 22.5° ；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝ 4θ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ，
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ，
∴θ1＝2θ，
同理可得：θ2＝3θ，
θ3＝4θ．
故答案为：4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．